离散序列的基本运算

2.3　离散序列的基本运算

数字信号处理的目的，是从一个或多个给定的离散信号中，产生一个具有我们所需性质的信号。处理算法由加法、标量乘法、时间反转、延时和乘法等基本运算组合而成。我们通过简单的实验来说明这些运算的应用。

1．序列加法

两个离散序列相加是指两个序列中相同序号n的序列值逐项对应相加，构成一个新的序列:x(n)= x₁(n)+x₂(n)。

这样就有如下两种情况。

情况1　参加运算的两个序列具有相同的维数。

例2.7　求x(n)= δ(n－2)+δ(n－4)(0＜n＜10)。

运行结果如图2-7所示。

图2-7　相同维数的序列加法

情况2　参加运算的两个序列具有不同的维数。

例2.8　已知

x₁(n)= u(n+2)(－4＜n＜6)， x₂(n)= u(n－4)(－5＜n＜8)，求x(n)= x₁(n)+x₂(n)。

要求上述两个序列之和，必须对长度较短的序列补零，同时保持位置一一对应。程序如下:

运行结果如图2-8所示。

图2-8　不同维数的序列加法

2．序列移位

可按下式将一个离散信号序列进行移位，形成新的序列:

x₁(n)= x(n－m)，

当m＞0时，原序列x(n)向右移动m位，形成的新序列称为x(n)的延时序列;当m＜0时，原序列x(n)向左移动m位，形成的新序列称为x(n)的超前序列。

例2.9　求

x₁(n)= u(n+5)　(－10＜n＜10)，

x₂(n)= u(n－5)　(－10＜n＜10)，

并比较它们与u(n)的关系。

程序如下:

运行结果如图2-9所示。

图2-9　序列移位

3．序列乘法

与离散序列加法有所不同，这里参加运算的两个序列向量必须具有相同的维数。如果相乘的两个向量长度不相同，则可以通过对较短序列中无定义的点赋值为零进行零追加(补零)操作使得两者的长度相同，为此先要编写一个函数，如:

例2.10　用上面的程序求离散序列f₁(k)=(－2，－2， 0， 1， 2)，f₂(k)=(1， 1， 1)相乘的波形。

运行结果如图2-10所示。

图2-10　两个离散序列之积

4．序列反折

离散序列反折是指离散序列的两个向量以零时刻的取值为基准点，以纵轴为对称轴反折，在MATLAB中提供了fliplr函数可以对时间序列进行反折操作。

例2.11　已知一个信号

x(n)= e^－0．5n　(－4＜n＜4)，

求它的反折序列x(－n)。

程序如下:

运行结果如图2-11所示。

图2-11　序列反折

5．信号平滑

数字信号处理应用的一个常见例子是从被噪音“污染”的信号中移除噪声。假定信号s［n］被噪声d［n］所污染，得到一个含有噪声的信号

x［n］= s［n］+d［n］ ，

我们的目的是对x［n］进行运算，产生一个合理逼近s［n］的信号y［n］ 。通常对样本在时刻n附近的抽样值求平均值，从而产生输出信号，这是一种简单而有效的方法。

例2.12　采用三点滑动求平均的算法

y［n］=(x［n－1］+x［n］+x［n+1］)/3

实现上述目的。

图2-12　通过滑动平均的信号平滑

6．复杂信号的产生

更复杂的信号可通过对简单信号进行较为复杂的运算来产生。例如，振幅调制信号可用低频调制信号xL = cos(wLn)来调制高频信号xH［n］= cos(wHn)，得到的信号为

y［n］= A(1+m* xL［n］)xH［n］= A(1+m* cos(wLn))cos(wHn)其中m称为调制指数，用来确保1+m* xL［n］在可能的n的情况下都是整数。

例2.13　下面的程序可以用来产生一个振幅调制信号。

运行结果如图2-13所示。

图2-13　振幅调制信号