快速傅里叶变换()

2.6　快速傅里叶变换(FFT)

在信号处理中，离散傅里叶变换有着十分重要的意义，对信号的很多操作都需要通过DFT来完成。但在实际计算中，当N很大时，计算一个N点DFT的计算量便相当大，直接影响着信号处理的效率。快速傅里叶变换(FFT)能通过较少DFT的计算次数来提高处理效率，从而使得DFT在实际中得到广泛的应用。

本节将介绍FFT的一种基本应用:序列线性卷积计算，以及在MATLAB平台上的实现过程。设长度为N的序列x₁(n)和x₂(n)的循环卷积和线性卷积分别为

y₁(n)= x₁(n)x₂(n)，

y₂(n)= x₁(n)* x₂(n)，

由时域循环卷积定理，我们有，若X₁(k)和X₂(k)分别为序列x₁(n)和x₂(n)的DFT，则

DFT(y₁(n))= X₁(k)X₂(k)，

那么通过以下几步便可以利用FFT来求解y(n):

(1)用FFT来求解x₁(n)和x₂(n)的DFT，即X₁(k)和X₂(k)。

(2)求出Y₁(k)= X₁(k)X₂(k)。

(3)利用IFFT计算出Y₁(k)的IDFT:y₁(n)= IDFT(Y₁(k))。

对于线性卷积，长度为N和M的序列x₁(n)和x₂(n)，只要将它们补足成长度为L = N+M－1的序列，就有

x₁(n)* x₂(n)= x₁(n)x₂(n)，

因此，也可以用上面的方法来计算线性卷积。

例2.22　已知x₁(n)， x₂(n)如表2-2所示，直接计算x₁(n)和x₂(n)的线性卷积y₁(n)，并利用FFT算法求解它们的线性卷积y₂(n)，并进行比较。

表2-2

MATLAB程序如下:

习题

2．1　现对三个信号x_a1= cos 2πt，x_a2=－cos 6πt，x_a3= cos 10πt进行理想采样，采样频率为Ω_s=8π，求三个采样输出序列，比较这个结果。画出波形及采样点位置，并解释频谱混叠现象。

2．2　一个理想采样系统，采样频率为Ω_s= 8π，采样后经理想低通G(jΩ)还原，

现有两个输入信号，分别为x_a1= cos 2πt，x_a2= cos 5πt，问输出信号y_a1(t)，

y_a2(t)有没有失真?如果有，是什么失真?

2．3　连续信号x_a(t)= cos(2πf₀+φ)，式中f₀=20 Hz，φ =。

(1)求出x_a(t)的周期。

(2)用采样间隔T =0．02 s对x_a(t)进行采样，写出采样信号(t)的表达式。

(3)画出(t)对应的序列x_a(n)，并求出x_a(n)的周期。

2．4　已知h(n)= a^－nu(－n－1)，0＜a＜1，通过直接计算卷积和的办法，试确定单位抽样响应为h(n)的线性移不变系统的阶跃响应。

2．5　设系统差分方程

y(n)= ay(n－1)+x(n)，

其中x(n)为输入，y(n)为输出。当边界条件为(1)y(0)=0，(2)y(－1)= 0时，试判断系统都是线性的、移不变的。

2．6　随机产生一个噪声，并用四点滑动平均算法对该信号进行平滑。

2．7　已知一个连续时间信号

f₀=1 Hz，取最高有限带宽频率f_m=4f₀。分别显示原连续时间按信号波形和F_s＞2f_m，F_s=2f_m，F_s＜2f_m三种情况下抽样信号的波形，并给出每种波形对应的幅度谱。

2．8　已知有限长序列x(n)=(3， 3， 4， 2， 5， 8， 2， 11)，设y(n)为x(n)左移4位得到的新序列，先求出x(n)的N点DFT X(k)，再由时域移位定理获得y(n)的N点DFT Y(k)。用图形分别表示以上结果。

2．9　已知有限长序列x(n)=(1， 4， 6， 11， 2， 7， 8， 9， 10)，把序列x(n)分解成循环偶序列x₁(n)和循环奇序列x₂(n)，并用图形表示以上结果。