线性时不变系统

3．1　线性时不变系统

1．系统的定义

将输入序列x(n)处理成输出序列y(n)的唯一性变换或运算定义为离散时间系统，记为

y(n)= T(x(n))，

式中，T(·)用来表示这种变换关系，如图3-1所示。对变换T加上各种约束条件就定义了各类时域离散系统。

图3-1　LIT系统变换关系图

一个离散时间系统既可以是一个硬件装置，也可以是一个数学表达式。输入序列x(n)、输出序列y(n)也分别称为系统激励和系统响应。

2．线性系统

如果一个系统满足下列性质:

(1)齐次性:若y(n)= T(x(n))，则对任意常数a，有

T(ax(n))= ay(n);

(2)叠加性:若y₁(n)= T(x₁(n))，y₂(n)= T(x₂(n))，则有

T(x₁(n)+x₂(n))= y₁(n)+y₂(n)，

那么称这个系统是线性的，这个系统称为线性系统。

若将齐次性和叠加性综合，即考虑线性特性，则线性系统T可表示为

T(ax₁(n)+bx₂(n))= aT(x₁(n))+bT(x₂(n))= ay₁(n)+by₂(n)，其中，a， b为任意常数。

3．时不变系统

若系统响应与激励的关系对于系统的时刻无关，则称之为时不变系统，即如果输出y(n)是系统对于输入x(n)的响应，输入x(n)延迟k个单位，为x(n－k)，而系统的输出序列的值保持不变，只是在时间上有相应的延时，为y(n－k)。

对于时不变系统，若T(x(n))= y(n)，则

T(x(n－k))= y(n－k)．

同时满足线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变系统，简记为LTI(Linear Time Invariant)系统。

例3.1　判断系统y(n)= ax(n)+b(a， b为非零常数)是否为线性时不变系统。

解令输入为x(n－n₀)，则输出为

T(x(n－n₀))= ax(n－n₀)+b = y(n－n₀)，

即系统为时不变系统。

又因为

T(px₁(n)+qx₂(n))= a(px₁(n)+qx₂(n))+b，

而

py₁(n)+qy₂(n)= a(px₁(n))+b+a(qx₂(n))+b，

由于b为非零常数，故系统不是线性的。

综上可知，系统为非线性时不变系统。

例3.2　判断系统y(n)= x(n²)是否为线性时不变系统。

解令输入为x(n－n₀)，则输出为

T(x(n－n₀))= x［(n－n₀)²］= y(n－n₀)，

所以系统为时不变系统。

又因为

T(ax₁(n)+bx₂(n))= ax₁(n²)+bx₂(n²)= ay₁(n)+by₂(n)，

所以系统为线性系统。

综上所述，该系统为线性时不变系统。