卷积和原理及其应用

3．2　卷积和原理及其应用

卷积和是求线性时不变系统输出响应(零状态响应)的主要方法。下面我们先一般性地来定义卷积和:

其中，卷积和用“* ”表示，与连续系统的卷积符号一致。以下我们将卷积和简称为卷积。

由于线性时不变系统的输出响应是通过卷积来实现的，因此卷积的性质也是线性时不变系统的性质，这是卷积的一个非常重要的应用。卷积的性质有以下几点:

(1)交换律

上式说明互换x(n)和h(n)的角色不影响输出响应的结果，(3．2)式右半部分可以把x(n)视为系统的单位冲激响应，把h(n)视为系统的输入，如图3-2所示。

图3-2　卷积交换律

(2)结合律

其物理学含义与结合律如图3-3所示。

图3-3　物理学含义及结合律图示

(3)分配律

从物理上解释，该性质意味着如果我们有两个线性时不变系统，它们的冲激响应分别为h₁(n)和h₂(n)，若用同一输入信号x(n)激励它们，则两个响应的和等于x(n)作用于一个冲激响应为

h(n)= h₁(n)+h₂(n)

的总系统的响应。于是，这个总系统可以看做两个线性时不变系统的并联，如图3-4所示。

图3-4　两个并联的LTI系统可由一个系统代替，该系统为h(n)= h₁(n)+h₂(n)

我们已经考虑了卷积的几条性质，现在考虑求卷积的方法。以下有几种不同的方法可以用来求卷积，选择哪一种简便取决于待求卷积序列的形式和类型。

1．直接计算法

当被卷积的序列可以用简单闭合形式的数学式表示时，常常可以很容易地通过直接计算(3．1)式中给出的和来求卷积。在直接求卷积时，通常必须计算有限个或无限个和，表3-1中列出的是一些较常见的级数闭合形式的表达式。

表3-1　一些常见级数的闭合表达式

例3.3　求信号

与h(n)= u(n)的卷积。

解用卷积的直接法得

由于k＜0时u(k)等于零，k＞n时u(n－k)等于零，所以，当n＜0时，y(n)=0;当n≥0时，有

因此

2．图解法

除了直接法外，可以用图解法求卷积。使用图解法的步骤如下:

(1)画出x(k)和h(k)这两个序列。

(2)选择一个序列h(k)，并将其按时间翻转形成序列h(－k)。

(3)把这个逆时间的序列移动n位(注意:如果n＞0，表示向左边移位(时延);反之表示向右移位(超前))。

(4)对所有k，把序列x(k)和h(n－k)相乘并求这些乘积之和，得到的值就是y(k)，这个过程要对所有可能的移位n重复进行。

此外，还有矩阵法和变换域法，可参阅参考文献［6］ 。

3．卷积的MATLAB求解

MATLAB提供了用于计算有限长序列之间卷积的函数，它们是conv，conv2和convn，其中conv2用来计算二维卷积。

调用格式:

例3.4　已知下面两个序列:

x(n)=(3， 11， 7， 0，－1， 4， 2)，－3≤n≤3;

h(n)=(2， 3， 0，－5， 2， 1)，－1≤n≤4，　　

求卷积y(n)= x(n)* h(n)。

运行结果:

图形显示如图3-5所示。

图3-5　卷积结果图

此时若用函数y = conv2(x， h)求解也可得到同样结果。另外还有一个问题就是题目给出的序列有特定的位置，即n并不是从1开始取值，而是出现了负值，这个问题将会在后面用conv_m函数得到解决。

例3.5　利用randn函数产生随机3阶方阵A和4阶方阵B，对方阵A和B求卷积。

此时若用命令y = conv(A， B)求解，MATLAB会出现错误提示信息:

??? Error using ==＞conv

A and B must be vectors．

由于conv函数既不提供也不接受任何定时信息，如果这些序列都有任意位置的话，那么必须明确的是y(n)的一个起始点和一个结束点。已知有限长序列很容易定下这些点。令

是两个有限长序列，根据图解法可得y(n)的起始点和结束点分别是

对conv函数进行简单扩充，命名为conv_m，它能完成任意位置序列的卷积，函数的MATLAB代码如下所示:

例3.6　利用conv_m函数完成例题3．4的卷积。

运行结果:

图形显示如图3-6所示。

图3-6　用conv_m求卷积

结果与例3．4的结果相同。