滤波器的网络结构

4．1　IIR滤波器的网络结构

数字滤波器可按照其冲激响应h(n)的时间特性，分为无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。前者的h(n)包含无限个非零值，持续无限长的时间;后者的h(n)只包含有限个非零值。本章重点讲述IIR滤波器的设计。

在时域中，一个IIR滤波器可以用线性常系数差分方程来表示:

下面讨论IIR滤波器的网络结构以及一些基本运算方框图和流程图(图4-1)的表示方法。

图4-1　基本运算的方框图和流程图

IIR冲激响应的特点如下:

(1)单位冲激响应是无限长的。

(2)系统函数H(z)在有限z平面上有极点存在。

(3)结构上存在着输出到输入的反馈，也就是结构上是递归型的^［15］。

对于同一个函数H(z)可以有多种不同的结构，它的基本结构有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型、级联型和并联型4种。

1．直接Ⅰ型

对直接Ⅰ型，滤波器的有理系统函数为

其结构如图4-2所示。

图4-2　直接Ⅰ型

此结构的特点是:

(1)两个网络级联:第一个横向结构M节延时网络实现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。

(2)共需N+M级延时单元。

(3)系数不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。

(4)极点对于系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系数的变化过于灵敏，也就是对有限精度运算过于灵敏，容易出现不稳定或产生较大误差。

2．直接Ⅱ型(典范型)

对于直接Ⅰ型的系统函数H(z)，我们可以用一种简化的直接形式递归滤波器结构来表示它，即直接Ⅱ型(典范型)，如图4-3所示。

图4-3　直接Ⅱ型结构图

此结构的特点是:

(1)两个网络级联:第一个有反馈的N节延时网络实现极点，第二个横向结构M节延时网络实现零点。

(2)实现N阶滤波器(一般N≥M)只需N级延时单元，所需延时单元最少，即延时单元的个数等于滤波器的阶次，故又称典范型。

(3)同直接Ⅰ型一样，具有直接型实现的一般缺点。

3．级联型

级联型是将系统函数按照零极点进行因式分解，表示成一阶或二阶子系统的乘积形式，对于任何具有实系数的系统函数H(z)可以分解成连乘的形式:

其中， A₀为系数， H_i(z)为子滤波器的系统函数，为z^－1的一阶或二阶有理式，即

或

其结构图如图4-4所示。

此结构的特点是:

(1)每个二阶节系数单独控制一对零点和一对极点，而不影响其他零点、极点，有利于控制频率响应。

图4-4　级联结构的一阶基本节和二阶基本节结构

(2)若分子、分母中二阶因子配合成的二阶节方式不同，以及二阶节排列次序不同，其级联结构就不同，有限精度带来的误差也不同，所以选择合适的配合与排列次序，将得到比较高的运算精度。

4．并联型

并联型是将上述级联型中因式分解展开成部分分式的形式:

其中，H_i(z)的一般形式为

或

其结构图如图4-5所示。

图4-5　数字滤波器的并联结构

此结构的特点是:

(1)并联型结构可以用调整系数a_1i， a_2i的办法来单独调整一对极点的位置，能精确调整每对极点，但全体零点随任一个系数的改变而改变，不能像级联型那样可以单独调整零点位置。

(2)各并联基本节的误差相互无影响，故比级联型的误差要稍微小一些。