衡量精度的标准

5.2　衡量精度的标准

测量的任务不仅是对同一量进行多次观测，求得它的最后结果;同时，还必须对测量结果的质量及精度进行评定。这里所说的精度是指对某个量进行多次同精度观测中，其偶然误差分布的离散程度。观测条件相同的各次观测，称为等精度观测，但每次的观测结果之间又总是不完全一致。

测量工作中，观测对象的真值只有一个，而观测值有无数个，其真误差也有相同的个数，有正有负，有大有小。以真误差的平均值作为衡量精度的标准非常不实用，因为真误差的平均值都趋近于0。以真误差绝对值的大小来衡量精度也不能反映这一组观测值的整体优劣。因而，测量中引用了数理统计中均方差的概念，并以此作为衡量精度的标准。具体到测量工作中，以中误差、相对中误差和容许误差作为衡量精度的标准。中误差越大，精度越低;反之，中误差越小，精度越高。

5.2.1　中误差

设在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，其观测值为l₁，l₂，…，l_n，相应的真误差为Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，则中误差为

【例5.1】对某一三角形之内角用不同精度进行两组观测，每组分别观测10次，两组分别求得每次观测所得三角形内角和真误差为

第一组:+4″，+3″，+5″，－2″，－4″，－1″，+2″，+3″，－6″，－2″

第二组:+3″，+5″，－5″，－2″，－7″，－1″，+8″，+3″，－6″，－1″

试求这两组观测值的中误差。

【解】

比较m₁和m₂可知，第一组的观测精度比第二组高。

在测量中，有时并不知道所观测量的真值，而只能用观测值求得它的算术平均值，然后再求每个观测值的改正数v。如果观测次数为n，改正数也有n个，用改正数求中误差的公式为

关于这个公式的来源本章第5.4节再讨论。

中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这一组观测中某一次的观测精度。

5.2.2　相对中误差

在某些情况下，单用中误差还不能准确地反映出观测精度的优劣。例如丈量了长度为100m和200m的两段距离，其中误差均为±0.01m，显然不能认为这两段距离的精度相同。这时为了更客观地反映实际情况，还必须引入相对中误差的概念，以相对中误差K来作为衡量精度的标准。

相对中误差是中误差的绝对值与相应观测值之比，并用分子为1的分数来表示，即

在上例中，K₁=0.01/100=1/10000，K₂=0.01/200=1/20000。显然，后者的精度比前者精度高;当K中分母越大，表示相对中误差精度越高，反之越低。值得注意的是，观测时间、角度和高差时，不能用相对中误差来衡量观测值的精度，这是因为观测误差与观测值的大小无关。

5.2.3　允许误差

由偶然误差的第一特性可知，在相同观测条件下，偶然误差的值不会超过一定的限度。为了保证测量成果的正确可靠，就必须对观测值的误差进行一定的限制，某一观测值的误差超过一定的限度，就认为是超限，其成果应舍去，这个限度就是允许误差，也称限差。

对大量的同精度观测进行分析研究以及统计计算可以得出如下的结论:在一组同精度观测的误差中，其误差的绝对值超过1倍中误差的机会为32%;误差的绝对值超过2倍中误差的概率为5%;误差的绝对值超过3倍中误差的概率仅为0.3%。上述误差均指偶然误差而言。误差的绝对值超过3倍中误差的概率很小，所以在观测次数有限的情况下，可以认为大于3倍中误差的偶然误差实际上是不会出现的，所以一般情况下将3倍中误差认为是偶然误差的限差。即

在实际中，为了提高精度，在有些规范中规定偶然误差的限差为2倍中误差，即

在观测数据检查和处理工作中，常用容许误差作为精度的衡量标准。当观测值误差大于容许误差时，即可认为观测值中包含有粗差，应予以舍去不用或重测。