算术平均值及其中误差

5.4　算术平均值及其中误差

5.4.1　算术平均值的原理

设相同条件下对一未知量进行观测，共n次，观测值为L₁，L₂，…，L_n，所观测的真值为X，每次观测值的真误差Δ₁，Δ₂，…，Δ_n，则有下列公式

将上式两边相加再除以n，则有

根据偶然误差第四个特性，则有

由此可知

从上式可知，当观测次数n趋向于无穷大时，算术平均值就趋向于未知量的真值。在实际测量工作中，n是有限的，算术平均值通常作为未知量的最可靠值。即

5.4.2　算术平均值中误差

微分式(5.27)得

上式表明，算术平均值的中误差仅为一次观测值中误差的，因此，当观测次数增加时，可提高观测结果的精度。

从图5.5可以看出，当观测次数达到9次左右时，在增加观测次数，算术平均值的精度提高也很微小，因此，不能单纯依靠增加观测次数来提高测量精度，还必须从测量方法和测量仪器方面来提高测量精度。

图5.5　算术平均值中误差与观测次数的关系

5.4.3　用改正数计算观测值的中误差

按中误差的定义计算中误差时，需要知道观测值的真误差Δ，但一般情况下真值X是不知道的，因此也就无法求得观测值的真误差，那么，如何评定其观测精度呢?在实际工作中，通常是用观测值的改正数计算中误差。计算公式推导如下。

用算术平均值可以求得每次观测值的改正数v_i(i=1，2，…，n)

式(5.29)等号两边相加，则有

由此可知，对任何一未知量进行一组等精度观测，改正数的总和应为零。

式(5.26)是表示真误差的公式，在计算算术平均值中并不知道真误差，只能求得改正数，将式(5.29)与式(5.26)相减再整理后得

令δ=(X－x)，将式(5.30)两边同时平方相加再除以n得

因为[v]=0，上式即为

又因为δ=(X－x)，X=，所以

由于Δ₁，Δ₂，…，Δ_n为真误差，所以Δ₁Δ₂+Δ₂Δ₃+…+Δ_n－1Δ_n也具有偶然误差的特性。根据偶然误差第四特性，当n无穷大时，它们的总和也为零;当n为较大数值时，其值与[ΔΔ]相比要小很多，因而可以忽略不计，故式(5.31)可写为

根据中误差的定义m=±，式(5.32)可变为

这就是公式(5.5)，即用改正数求中误差的公式。

5.4.4　算术平均值的中误差计算算例

求算术平均值的中误差的公式为

【例5.6】某一段距离共丈量了6次，结果如表5.2所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。

表5.2　距离丈量结果计算

注意:由于数字的取舍而引起的误差称为“凑整误差”或“取舍误差”。为避免取舍误差的迅速积累而影响测量成果的精度，在计算中通常采用“4舍6入，5前单进双舍”的凑整规则，即:

(1)若拟舍去的第一位数字是0至4中的数，则被保留的末位数不变;

(2)若拟舍去的第一位数字是6至9中的数，则被保留的末位数加1;

(3)若拟舍去的第一位数字是5，其右边的数字皆为0，则被保留的末位数是奇数时就加1，是偶数时就不变。

例如:若取至毫米位，则1.1084m、1.1076m、1.1085m、1.1075m都应记为1.108m。

习题和思考题

1.说明测量误差的来源，在测量中如何对待错误和误差?

2.什么是系统误差?什么是偶然误差?偶然误差有什么重要的特性?

3.什么是中误差、极限误差和相对误差?

4.为什么等精度观测的算术平均值是最可靠值?

5.用等精度对16个独立的三角形进行观测，其内角和闭合差分别为:+4″、+16″、－14″、+10″、+9″、+2″、－15″、+8″、+3″、－22″、－13″、+4″、－5″、+24″、－7″、－4″，求三角形内角和闭合差的中误差和观测角的中误差。

6.用钢尺丈量A、B两点间距离，共量6次，观测值分别为187.337m、187.342m、187.332m、187.339m、187.344m及187.338m，求算术平均值D、观测值中误差m、算术平均值中误差M及相对中误差K。

7.在三角形ABC中，C点不易到达，测量∠A=74°32'15″±20″，∠B=42°38'50″± 30″求∠C值及中误差。

8.在一直线上依次有A、B、C三点，用钢尺丈量得AB=87.245m±10mm，BC=125.347m±15mm，求AC的长度及中误差。在这三段距离中哪一段的精度高?

9.DJ₆型光学经纬仪一测回的方向中误差m_方=±6″，求用该仪器观测角度时一测回的测角中误差是多少?如果要求某角度的算术平均值的中误差M_角=±5″，用这种仪器需要观测几个测回?

10.沿一倾斜平面量得A、B两点的倾斜距离l=25.000m，中误差m_l=±5mm，A、B两点间的高差h=2.42m，中误差m_h=±6mm，用正勾股定理可求得A、B两点间的水平距离D，求D值及中误差M_D是多少?

11.在三角形ABC中，已知AB=c=148.278m±20mm，∠A=58°40'52″±20″，∠B=53°33'20″±20″，求BC=a、AC=b的边长及其中误差。