2.3.2 常用的信道编码
差错控制中涉及的编码称为差错控制编码，亦称信道编码。以下介绍了几种简单、常用的信道编码方式。
1.重复码
在数字通信中，把每个信息比特u重复n遍形成一个码字c＝（u，u，…，u），称为重复码。由于信道噪声干扰，接收端接收到的码组y中的某些比特可能是错的。接收端的译码原则为少数服从多数，即如果y中多数比特是“1”，则判定发送的是“1”；否则判定发送的是“0”。
例2.2 现假设发送端欲传送的信号u＝0，可以按照如下3种不同的方式进行传输。
（1）不重复发送
不重复发送方式最为简单，直接发送要传输的信息，但是没有任何抗干扰能力。如发送信息“0”，由于信道噪声干扰，在接收端可能误判为“1”。对于接收到的“1”，接收端无法判断是否正确，更不涉及纠正的问题，如图2-7（a）所示。
（2）重复发送一次
采用重复发送一次的方式，传输效率将降低一半。但是如果在传输过程中仅有一位可能出错，则这种传输方式可以发现错误，但却不能纠正。例如，欲发送信息“0”，经信道编码实际发送信号为“00”，当仅有一位出错时，接收端接收到的信号可能是“01”或“10”，此时，接收端可明确判断接收到的信号发生错误，但却不能纠正错误，即无法判断发送信号是“0”还是“1”，如图2-7（b）所示。
（3）重复发送两次
采用重复发送两次的方式，传输效率进一步降低，但它能发现两个错误或纠正一个错误。
若假定在传输过程中仅有一位可能出错，则发送端欲发送“0”时，经信道编码实际发送信号为“000”，当有一位出错时，接收端接收到信号可能为“001”、“010”、“100”，显然无论接收到哪种信号，依据接收端译码原则均能判定发送信号是“0”，如图2-7（c）所示。此时，接收端不仅能发现错误并且能纠正一位错误。
若假定在传输过程中有两位可能出错时，则接收端接收到信号可能为“001”、“010”、“100”、“011”、“110”、“101”，此时无论接收到哪种信号，均只能判断出现错误，但究竟发送信号是“0”还是“1”则无法判断，如图2-7（d）所示。
图2-7 重复码
综上所述，简单重复方式的重复码人为地增加了信号的冗余度，尽管可以提高抗干扰能力，但大幅度降低了编码效率，因此不是一种很好的编码方法。
2.奇（偶）校验码
奇（偶）校验码的编码规则是在欲传输信号的末尾添加一位，以保证码组中“1”的个数是奇（偶）数个。
例2.3 若待传信息为u＝（u1，u0），按照奇（偶）校验码方式对其进行信道编码。
解：按照偶校验码方式对其进行信道编码，如表2-7所示。
表2-7 偶数验码方式进行信道编码
按照奇校验码方式对其进行信道编码，如表2-8所示。
表2-8 奇校验方式进行信道编码
显然，奇（偶）校验码的编码方式可以发现奇数个在传输中出现的差错，即在接收端计算“1”的个数，如果是奇（偶）数个则认为无差错，否则认为有差错。
奇（偶）校验码与重复码相比，冗余信息只增加了一位，传输的有效性得以保证，但抗干扰性很差。
3.线性分组码
例2.4 若待传信息为u＝（u2，u1，u0），信息位数k＝3，按照如下方式进行信道编码：编码器输入为7位（即n＝7）C＝（c6，c5，c4，c3，c2，c1，c0），其中前三位为信息位，后四位为监督位，取值分别为
则信道编码器输出规则可以用矩阵形式表示
其中，G称为生成矩阵，G可以进一步分解为两个分块矩阵k阶单位方阵I和k×（n-k）阶矩阵Q。
上述编码方式就属于线性分组码。重复码和奇偶校验码均属于线性分组码。
若U＝（0，1，1），按照上述编码方式，则经信道编码后输出为
一般而言，线性分组码的编码规则为：信息u通过生成矩阵G的线性变换得到信道编码c。
通过数学推导可知
其中，O表示一个1×（n-k）阶的全零矩阵。
对于例2.4而言，有
若在传输过程中，码字C发生了错误，使接收端接收到的信号变为R，即
R＝C＋E
其中，E为错误矢量，令E＝（en-1…e0），当ei≠0时，表示C的第i个码元ci出现错误。
若令
则称S为分组码的检校子。进一步简化S，则有
将不同错误的可能性代入上式，即可得出对应的检校子。对于例2.4，部分错误矢量与对应的检校子如表2-9所示。
表2-9 错误矢量与对应的检校子
显然，表2-9将接收到信号进行处理后，根据得到的检校子即可找到对应的错误矢量，然后按照错误矢量校正接收信号。
对例2.4而言，若接收端接收到的信号为R＝（0111110），则有
查找表2-9可知，与检校子［0100］相对应的错误矢量不止一个，如［0000100］和［1110000］等。此时，通常选择错误最少的错误矢量，即选择［0000100］。根据错误矢量可对接收信号进行校正，即e2＝1时，表示C的第2个码元c2出现错误，因此实际发送信号为［0111010］。
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