伊藤过程的抽象

4.2.1　伊藤过程的抽象

伊藤过程已广泛应用于经济、自控等领域，尤其是“研究股市时最广泛使用的一种模型”。在实际应用中，伊藤微分方程的b(t，X(t))dt项常用来表示单位时间dt的期望漂移，b(t，X(t))称为漂移率，表示随机过程的总体趋势;∑(t，X(t))dB(t)表示变量X变化轨迹上的波动，∑(t，X(t))为波动率。伊藤过程直接把布朗运动理解为随机干扰，从而赋予了布朗运动最一般的意义。伊藤微分方程是带有随机项的动力学方程，它的解只能给出在未来时刻t 取X(t)值的概率。伊藤还直接通过布朗运动的样本轨线来定义随机积分，从而建立起随机积分论。在具体的应用中，可以赋予漂移率和波动率不同的含义，从而可以应用到不同的领域^［103］。

伊藤过程带有两个明显的特征:一个是随机扰动，表示粒子的局部性能;另一个是漂移，表示粒子宏观上的趋势。一般的元启发式算法，比如遗传算法、蚁群算法等均需要解决“探索”和“开发”的矛盾。如果把伊藤过程转变成一种启发式算法，并赋予漂移率和波动率不同的含义，可以开发出基于伊藤过程的智能启发式方法。这是因为，现代启发式方法本身就是一种随机过程，个体的演化和变迁是一连串具有动态关系的随机事件的定量运动，个体的运动都是根据当前的状态从而得到下一个状态，这里面既有一种确定的预测性又有一种不确定的随机性。可以看出，伊藤过程这种数学模型与启发式方法有很多相似之处。如果把伊藤随机过程映射为优化算法，需要解决两个关键问题:一个是如何设计波动过程，使得每个粒子能在局部的空间内进行搜索;另一个是如何设计伊藤过程的宏观趋势项，使得算法在宏观上朝着最优解的方向前进。根据伊藤积分公式，可以将漂移过程看成是所有的解都应该朝着当前最优解移动，以提高自己的评估值。伊藤方程中的漂移就可以映射到粒子的向优性上。这样一种运动是具有确定性的，即有确定的方向和速率。而粒子除了朝当前最优解移动之外，还应该随机地在自己的周围进行波动，从而达到两个目的:精细化搜索和跳出局部最优解。伊藤方程的波动就可以映射到粒子的随机性上。这样一种运动是具有随机性的，即有随机的方向和速率。受此启发，董文勇等^{［104，105］}通过对伊藤过程进行抽象，从而提出了伊藤算法(ITO)。