传感器的一般数学模型

1.1　传感器的一般数学模型

传感器作为感受被测量信息的器件，希望它能按照一定的规律输出有用信号。因此，需要研究其输出-输入关系及特性，以便用理论指导其设计、制造、校准与使用。为此，有必要建立传感器的数学模型。由于传感器可能用来检测静态量（即输入量是不随时间变化的常量）、准静态量或动态量（即输入量是随时间而变的变量），应该以带随机变量的非线性微分方程作为数学模型。但这将在数学上造成困难。实际上，传感器在检测静态量时的静态特性与检测动态量时的动态特性通常可以分开来考虑。于是对应于输入信号的性质，传感器的数学模型常有静态与动态之分。

1.1.1　静态模型

静态模型是指在静态条件下（即输入量对时间t的各阶导数为零）得到的传感器数学模型。若不考虑滞后及蠕变，传感器的静态模型可用一代数方程表示，即

y＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_nxⁿ　　　　　　　　　（1-1）

式中，x——输入量；

y——输出量；

a₀——零位输出；

a₁——传感器的灵敏度，常用K或S表示；

a₂，a₃，…，a_n——非线性项的待定常数。

图1-1　传感器的静态特性

（a）y＝a₁x；　　　　　（b）y＝a₁x＋a₃x³＋a₅x⁵＋…；（c）y＝a₁x＋a₂x²＋a₄x⁴＋…；　　（d）y＝a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋…

这种多项式代数方程可能有四种情况，如图1-1所示。这种表示输出量与输入量之间的关系曲线称为特性曲线。通常希望传感器的输出-输入关系呈线性，并能正确无误地反映被测量的真值，即图1-1（a）所示。这时，传感器的数学模型为

y＝a₁x（1-2）

当传感器特性出现如图1-1中（b）、（c）、（d）所示的非线性情况时，就必须采取线性化补偿措施。

1.1.2　动态模型

有的传感器即使静态特性非常好，但由于不能很好反映输入量随时间（尤其快速）变化的状况而导致严重的动态误差。这就要求认真研究传感器的动态响应特性。为此建立的数学模型称为动态模型。

1.微分方程

对传感器的基本要求是输出信号不失真，即希望其输出特性呈线性。实际上大多数情况下传感器并不能在很大范围内保持线性，但却总可以找出一个限定范围作为它的工作范围，并在一定精度（或误差）的条件下作为线性系统来处理。因此，在研究传感器的动态响应特性时，一般都忽略传感器的非线性和随机变化等复杂的因素，将传感器作为线性定常系统考虑。因而其动态模型可以用线性常系数微分方程来表示:

式中a₀、a₁、…、a_n；b₀、b₁、…、b_m——取决于传感器参数的常数。对于传感器，除b₀≠0外，一般b₁＝b₂＝…＝b_m＝0。

用微分方程作为传感器数学模型的好处是，通过求解微分方程容易分清暂态响应与稳态响应。因为其通解仅与传感器本身的特性及起始条件有关，而特解则不仅与传感器的特性有关，而且与输入量x有关。缺点是求解微分方程很麻烦，尤其当需要通过增减环节来改变传感器的性能时显得很不方便。

2.传递函数

如果运用拉氏变换将时域的数学模型（微分方程）转换成复数域（s域）的数学模型（传递函数），上述方法的缺点就得以克服。由控制理论知，对于用式（1-3）表示的传感器，其传递函数为

式中，s＝σ＋jω，是个复数，称为拉氏变换的自变量。

图1-2　框图表示法

可见传递函数是又一种以传感器参数来表示输出量与输入量之间关系的数学表达式，它表示了传感器本身的特性，而与输入量无关。用框图示意见图1-2。

有时也可以采用算子形式的传递函数来描述传感器的动态特性，采用这种形式时，只要将式（1-4）及图1-2中之s置换成D即可。

对于多环节串、并联组成的传感器或测量系统，如果各环节阻抗匹配适当，可忽略相互间的影响，总的传递函数可按下列代数式求得:

图1-3　系统分类示意框图

（a）串联系统；（b）并联系统

对于n个环节的串联系统［图1-3（a）］

对于n个环节的并联系统［图1-3（b）］

这样就容易看清各个环节对系统的影响，因而便于对传感器或测量系统进行改进。

采用传递函数法的另一个好处是，当传感器比较复杂或传感器的基本参数未知时，可以通过实验求得传递函数。