球与圆柱的相贯线投影

三、回转体的截交线

回转体表面是由曲面或曲面和平面组成的，它的截交线一般是封闭的平面曲线。截交线上任一点都可看作是回转面上的某一条线（直线或曲线）与截平面的交点。因此，在回转面上适当地作出一系列辅助线（素线或纬圆），并求出它们与截平面的交点，然后依次光滑连接即得截交线。这种作图方法称为辅助线法。

回转体的截交线，就是求截平面与回转体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。

当截平面或回转体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。

（一）圆柱的截交线

1．基本类型

平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状。见表3-1所示。

表3-1　截平面和圆柱轴线的相对位置不同时所得的三种截交线

2．例题

例3-3：如图3-15（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。

分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。

作图：

（1）先求出截交线上的特殊位置点（即截交线上与各投影面距离最远和最近的点及位于轮廓素线上的点）。截交线椭圆的长轴Ⅰ、Ⅴ是最低点和最高点，位于圆柱的最左、最右两条素线上，Ⅲ、Ⅶ是最前点和最后点，位于圆柱的最前、最后两条素线上。根据水平投影1、3、5、7和正面投影1′、3′、5′、（7′）可求出侧面投影1″、3″、5″、7″。

（2）再求出截交线上的一般位置点，。任找Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅷ各点，根据水平投影2、4、6、8和正面投影2′、4′、（6′）、（8′）可求出侧面投影2″、4″、6″、8″。一般位置点的多少可根据作图准确程度的要求而定。

（3）依次光滑连接1″、2″、3″、4″、5″、6″、7″、8″即得截交线的侧面投影。

图3-15　圆柱的截交线

例3-4：如图3-16（a）所示，完成被截切圆柱的正面投影和水平投影。

分析：该圆柱左端的开槽是由两个平行于圆柱轴线的对称的正平面和一个垂直于轴线的侧平面切割而成。圆柱右端的切口是由两个平行于圆柱轴线的水平面和两个侧平面切割而成。

作图：作图步聚如图3-16所示。

图3-16　补全带切口圆柱的投影

（二）圆锥的截交线

1．基本类型

平面截切圆锥时，根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，其截交线有五种不同的情况。如表3-2所示。

表5-2　圆锥截交线

2．例题

例3-5：如图3-17（a）所示，求作被正平面截切的圆锥的截交线。

分析：因截平面为正平面，与轴线平行，故截交线为双曲线。截交线的水平投影和侧面投影都积聚为直线，只需求出正面投影。

图3-17　正平面截切圆锥的截交线

作图：

（1）先求出特殊位置点。由最高点Ⅲ和最低点Ⅰ、Ⅱ的侧面投影和水平投影求出正面投影1′、2′、3′。

（2）利用辅助平面法再求一般位置点。作辅助平面R与圆锥相交得一圆，该圆的水平投影与截平面P的水平投影相交得4和5两点，再由4、5和4″、（5″）求出4′、5′。

（3）依次光滑连接1′、4′、3′、5′、2′即得双曲线的正面投影。

（三）圆球的截交线

1．基本性质

平面在任何位置截切圆球的截交线都是圆。当截平面平行于某一投影面时，截交线在该投影面上的投影为圆的实形，在其他两面上的投影都积聚为直线，如图3-18所示。

图3-18　圆球的截交线

2．例题

例3-6：如图3-19（a）所示，完成开槽半圆球的截交线。

分析：球表面的凹槽由两个侧平面和一个水平面切割而成，两个侧平面和球的交线为两段平行于侧面的圆弧，水平面与球的交线为前后两段水平圆弧，截平面之间得交线为正垂线。

作图：首先画出完整半圆球的三视图，再根据槽宽和槽深尺寸依次画出正面、水平面和侧面的投影。

图3-19　开槽圆球的截交线

（四）综合题例

实际机件常由几个回转体组合而成。求组合回转体的截交线时，首先要分析构成机件的各基本体与截平面的相对位置、截交线的形状、投影特性，然后逐个画出各基本体的截交线，再按它们之间的相互关系连接起来。

例3-7：如图3-20（a）所示，求作顶尖头的截交线。

分析：顶尖头部是由同轴的圆锥与圆柱组合而成。它的上部被两个相互垂直的截平面P 和Q切去一部分，在它的表面上共出现三组截交线和一条P与Q的交线。截平面P平行于轴线，所以它与圆锥面的交线为双曲线，与圆柱面的交线为两条平行直线。截平面Q与圆柱斜交，它截切圆柱的截交线是一段椭圆弧。三组截交线的侧面投影分别积聚在截平面P和圆柱面的投影上，正面投影分别积聚在P、Q两面的投影（直线）上，因此只需求作三组截交线的水平投影。

图3-20　顶尖头的截交线