1.4 逻辑结构设计
概念结构（E－R图）需要转换成为选定DBMS支持的数据模型，并对其进行优化，从而生成DBS的逻辑结构（模式），进而设计用户模式（外模式）。
1.4.1 关系与关系模式
集合A1，…，An的笛卡儿积为:
A1×…×An＝｛（a1，…，an）｜ai∈Ai，i＝1，…，n｝
其中，（a1，…，an）叫元组（Tuple），用t表示；ai叫分量，用t［Ai］表示。
关系R:笛卡儿积的子集。关系由关系模式和关系的值组成。
关系模式R（A1，…，An）:组成关系的所有属性名的集合。例如:职工（姓名，性别）。
关系的值是所有元组的集合。例如:｛（“张三”，“女”），（“李四”，“男”）｝。
【例1.16】已知姓名和性别的域分别为｛“张三”，“李四”｝和｛“男”，“女”｝，则姓名和性别的笛卡儿积和关系（设为:职工）如图1.25所示。
图1.25 笛卡儿积与关系
▲思考:在“例1.16中”，添加年龄及其域｛16，18，19｝，则姓名×性别×年龄＝？姓名×性别×年龄的元组有多少个？请构造一个有意义的关系。
1.4.2 E－R图向关系模型的转换
E－R图转换为关系模式的规则如下:
一个实体转换为一个关系模式。实体名就是关系模式名；实体的属性就是关系模式的属性；实体的PK就是关系模式的PK。
三种联系（一对一、一对多和多对多）的转换规则不尽相同。
（1）多对多联系转换。
一个多对多联系转换为一个独立的关系模式。联系名就是关系模式名；关系模式的属性是由与联系相关联的实体的PK以及联系本身的属性组成；关系模式的PK是与联系相关联的实体的PK的组合。
【例1.17】把“例1.14”的E－R图转换为关系模式，并用下划线标注PK。
分析:学生和课程分别转换为一个关系模式，转换后PK不变；选课是多对多联系，转换为一个关系模式，转换后的PK是（学号，课程号）。即，
学生（学号，姓名，性别，年龄）
课程（课程号，课程名，学分）
选课（学号，课程号，成绩）
（2）一对多联系转换。
一对多联系不再转换为一个独立的关系模式，而是与多端的实体进行归并。多端的实体转换后的关系模式的属性是由多端实体的属性、一端实体的PK以及联系本身的属性共同组成，关系模式的PK同多端实体。
【例1.18】把“例1.13”的E－R图转换为关系模式，并用下划线标注PK。
分析:学院和教师分别转换为一个关系模式，转换后PK不变；聘用是一对多联系，所以与教师进行合并，转换后的PK同教师。即，
学院（院号，院名，院址，电话）
教师（工号，院号，姓名，性别，E－mail）
（3）一对一联系转换。
一对一联系不再转换为一个独立的关系模式，而是与任意一端的实体进行归并。归并端的实体转换后的关系模式的属性是由本一端实体的属性、另一端实体的键以及联系本身的属性共同组成，关系模式的PK同归并端实体。
【例1.19】把“例1.12”的E－R图转换为关系模式，并用下划线标注PK。
分析:班级和班长分别转换为一个关系模式，转换后PK不变；任职是一对一联系，所以与任意一端实体（班级或者班长）进行归并，转换后的PK同选定一端实体。
班级（班号，学号，班名，人数，任职期限）
班长（学号，姓名，年龄，性别）或者
班级（班号，班名，人数）
班长（学号，班号，姓名，年龄，性别，任职期限）
【例1.20】把“例1.15”的E－R图转换为关系模式，并用下划线标注PK。
分析:零件、仓库和职工分别转换为一个关系模式，转换后的PK不变。库存和工作均是一对多联系，分别向零件和职工归并。即，
仓库（库号，面积，电话）
零件（零件号，库号，零件名，规格，单价，库存量）
职工（工号，库号，姓名，年龄，职称，合同期）
综上所述，利用转换规则，可以方便地把E－R图转换为关系模式的集合，即逻辑结构。
1.4.3 数据完整性
1.4.3.1 数据完整性规则
数据完整性是指数据的正确性、一致性和相容性。具体包括实体完整性、参照完整性和用户定义完整性。数据完整性规则就是为了确保数据完整性，设立的一系列约束。
（1）实体完整性:如果属性（属性组）A是主属性，则A的取值不能为空。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄），主属性学号的取值非空且唯一。
（2）参照完整性:如果X是关系R的外键，且X是关系S的主键，则关系R中X的取值要么为空值，要么为S的主键的值。
外键:如果X不是关系R的主键，但却是关系S的主键，则称X是R的外键（Foreign Key，FK）。其中，R是外键表，S是主键表。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄）、课程（课程号，课程名，学分）和选修（学号，课程号，成绩），则学号是选课的FK，学号是学生的PK，即选课中学号的取值必须是学生中的学号的值。课程号是选课的FK，课程号是课程的PK，选课中课程号的取值必须是课程中的课程号的值。
（3）用户定义完整性:根据DBS的应用需求，用户自己规定的一系列约束。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄）和选修（学号，课程号，成绩），则性别只能是男或女；年龄的取值为6到96；成绩的取值为0到100等。
1.4.3.2 数据完整性控制机制
完整性控制机制应该具备定义、检查和违约处理等功能。
（1）定义:提供定义数据库完整性约束的功能及其接口。
（2）检查:提供检查插入、修改和删除等操作是否违背了完整性约束的功能。
（3）违约处理:对于破坏完整性的违约操作，提供相应的违约处理能力。
常用的违约处理如下（违约处理针对插入、修改和删除等操作）:
（1）置空:对于违约操作所涉及的数据，把数据置为空值。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄，专业号）和专业（专业号，专业名，类别，简介），如果在专业中需要删除专业号为Z0101的专业，但是在学生中存在该专业的学生，则需要在学生中把该专业的学生的专业号置空，表示未定专业。
（2）拒绝更新:对操作仅提供违约信息，并拒绝执行操作。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄）和选修（学号，课程号，成绩），如果在学生中需要删除学号为S2012010101的学生，而选课中存在该生的选课，所以拒绝操作。
（3）受限更新:对操作不是直接拒绝，而是根据实际情况决定是否接受操作。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄）和选修（学号，课程号，成绩），如果在学生中需要删除学号为S2012020202的学生，而选课中该生无选课，所以接受操作。
（4）级联更新:对操作不是直接接受，而是变违约为非违约，并接受操作。
例如:对于学生（学号，姓名，性别，年龄）和选修（学号，课程号，成绩），如果在学生中需要删除学号为S2012010101的学生，而选课中存在该生的选课，所以在学生中删除学号为S2012010101的学生的同时，级联删除选课中该生的所有选课。
▲思考1:知道学生、课程和选课关系已经建立了相应的实体、参照和用户定义约束，如果需要删除学生中的一个元组，请给出比较完整的处理策略。
▲思考2:知道学生、课程和选课关系已经建立了相应的实体、参照和用户定义约束，如果在选课关系插入一个新元组，请给出比较完整的处理策略。
▲思考3:理解拒绝更新、受限更新和级联更新的优缺点、区别与联系。
目前，比较流行的RDBMS均提供了完整性控制机制，用于保证数据库的完整性。
1.4.4 关系模式规范化
对于关系数据库，由于数据之间通常存在一定的联系，从而导致属性之间存在一定的依赖和约束关系，因此需要通过规范化消除依赖。例如:对于关系模式SInfo（学号，姓名，性别，课程号，课程名，成绩），姓名依赖于学号，成绩依赖于学号和课程号等。
1.4.4.1 函数依赖
已知关系模式R（U），X和Y是U的子集，对于R（U）的任意关系R，R中的任意元组t1，t2，若t1［X］＝t2［X］，则t1［Y］＝t2［Y］，表明X确定Y或Y依赖于X。记作:X→Y。
如果X不确定Y，则记为:X→Y。
等价描述:R（U）的任意关系R的任意元组t1，t2，若t1［Y］≠t2［Y］，则t1［X］≠t2［X］。
例如:关系模式SInfo（学号，姓名，性别，生日，课程号，课程名，成绩），则
学号→姓名；（学号，课程号）→成绩；SName→生日。
如果X→Y，且Y≤X，则称X→Y是平凡依赖，即集合的任意子集均平凡依赖于自身。平凡依赖必然成立。函数依赖的集合称为函数依赖集（记作F）。
常用的函数依赖包括:完全依赖、部分依赖和传递依赖。
（1）完全依赖:对于关系模式R（U，F），如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’，都满足X’→ Y（即Y不依赖于X的任意真子集），则称Y完全依赖于X，记作X─F→Y；否则，Y部分依赖于X，记作X─P→Y。
例如:对于关系模式SC（学号，课程号，成绩），则（学号，课程号）─F→成绩。对于R（A，B，C，D，E），如果F＝｛A→C，AB→D，AB→E，C→E｝，则AB─P→C；AB─F→D；AB─P→E。
CK的等价定义:设X是关系模式R（U，F）的属性组，如果X─F→U，则X是CK。
例如:上例中，（学号，课程号）是SC的CK。AB是R（A，B，C，D，E）的CK。
（2）传递依赖:对于关系模式R（U，F）中，如果X→Y，Y→Z，并且Y→ X，则称Z传递依赖于X，记为:X─T→Z。
例如:在关系模式SInfo（学号，姓名，院号，院名，院长）中，则学号─T→院长。
1.4.4.2 关系模式规范化
关系模式规范化是利用关系规范化理论，对关系模式进行分解和优化，从而消除冗余数据和数据之间的依赖关系，使系统达到规范要求，并在一定程度上解决插入异常、修改异常、删除异常和数据冗余等问题。
范式是满足系统规范要求的关系模式的集合。即范式是规范化的关系模式。
常用范式:第一范式（First Normal Form，1NF）、第二范式（2NF）、第三范式（3NF）、BC范式（Boyce Codd Normal Form，BCNF）、第四范式（4NF）和第五范式（5NF）等。其中，1NF、2NF和3NF是关系规范化理论的核心。R满足第n范式，记为R∈nNF。
常用范式之间的联系如图1.26所示。
图1.26 范式关系图
（1）1NF:如果关系模式R的属性都是不可分的属性。
（2）2NF:如果R∈1NF，且R的每个非主属性都完全依赖于R的CK。
等价描述:对于R∈1NF，如果存在非主属性部分依赖于R的CK，则R∈2NF。
（3）3NF:如果R∈2NF，且R的每个非主属性都不传递依赖于R的CK。
【例1.21】已知学生信息SInfo（U，F）。
U＝｛SNo，SName，SSex，SBirth，SAge，DNo，DName，DHead，CNo，CName，Credit，Grade｝，其中SNo表示学号，SName表示姓名，SSex表示性别，SBirth表示生日，SAge表示年龄，DNo表示系号，DName表示系名，DHead表示系主任，CNo表示课程号，CName表示课程名，Credit表示学分，Grade表示成绩。
F满足:1个学生只能属于1个系；1个系只能有1个系主任；1个学生可选多门课程，1门课程可被多个学生选。
（1）请判断SInfo是否满足2NF？若不是，则分解关系模式，使之满足2NF。
（2）请判断SInfo是否满足3NF？若不是，则分解关系模式，使之满足3NF。
分析:
①1NF判断:不难看出，SBirth→SAge，所以SAge冗余，即得出
SInfo（SNo，SName，SSex，SBirth，DNo，DName，DHead，CNo，CName，Credit，Grade）又因每个属性均为不可分的属性，所以，SInfo满足1NF。
②2NF判断:由F可知，SInfo的依赖关系如图1.27所示。
图1.27 SInfo的数据依赖关系
其中，实箭头（→）表示完全依赖，虚箭头（
）表示部分依赖。即
F＝｛SNo→SName，SNo→SSex，SNo→SBirth，SNo→DNo，DNo→DName，DNo→DHead，（SNo，CNo）→Grade，CNo→CName，CNo→Credit｝所以，SInfo的PK为（SNo，CNo）；SNo和CNo为主属性；其余属性为非主属性。
由于SNo→（SName，SSex，SBirth，DNo，DName，DHead），则存在部分依赖:
由于CNo→（CName，Credit），则存在部分依赖:（SNo，CNo）
─→（CName，Credit）
关系模式的完全依赖为:（SNo，CNo）
Grade，即SInfo不满足2NF。所以，分解SInfo＝SD∪SC∪C。如图1.28所示。
SD（Usd，Fsd）:Usd＝｛SNo，SName，SSex，SBirth，DNo，DName，DHead｝
Fsd＝｛SNo→（SName，SSex，SBirth，DNo，DName，DHead），DNo→（DName，DHead）｝
SC（Usc，Fsc）:Usc＝｛CNo，CName，Credit｝；Fsc＝｛CNo→（CName，Credit）｝
C（Uc，Fc）:Uc＝｛SNo，CNo，Grade｝；Fc＝｛（SNo，CNo）→Grade｝
③3NF判断:SC和C显然满足3NF，而SD不满足。
由于Fsd存在:SNo→DNo和DNo→（DName，DHead），所以非主属性DName和DHead均传递依赖于（SNo，CNo），即SD不满足3NF。所以，分解SD＝S∪D。如图1.28所示。
S（Us，Fs）:Us＝｛SNo，SName，SSex，SBirth，DNo｝；Fs＝｛SNo→（SName，SSex，SBirth，DNo）｝
D（Ud，Fd）:Ud＝｛DNo，DName，DHead｝；Fd＝｛DNo→（DName，DHead）｝
图1.28 SInfo的2NF＋3NF分解
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