用不变矩方法重建规则房屋模型

6.3.4　用不变矩方法重建规则房屋模型

基于机载激光雷达测量数据重建房屋模型是当前研究的热点和难点，目前国际上还处于研究初期，还有很大的发展空间，有可能彻底解决从航空影像中进行三维重建的瓶颈问题。目前，国际上重建三维建筑物模型所使用的数据有航摄像片、卫星影像和机载激光扫描测高数据等。重建的方法可分为模型驱动法(Model Driven)和数据驱动法(Data Driven)两种。模型驱动法通过CSG(Constructive Solid Geometry)来描述建筑物，该法通过事先建立一个含有各种立体图元(Shape Primitive)的模型库(Model Library)，用模型库进行模型匹配(Model Matching)，匹配效果最好的就作为建筑物的重建模型，这种方法主要用于半自动的三维重建系统(Suveg，et al，2000;Vosselman，2002)。数据驱动法是将建筑物量化成某些特征的集合，并直接基于实测数据计算建筑物的特征(如建筑物的形状参数等)，以惟一确定建筑物模型，该方法有望实现全自动的建筑物三维重建(Mass，1999b;Vosselman，et al，2002)。基于未经内插的机载激光雷达测量数据，用不变矩来重建规则房屋的三维模型，该方法属于数据驱动法。

在概率论中，矩(Moment)是一种数学期望，是随机变量的一种数字特征。矩可广泛应用于情景识别(Scene Recognition)、对象匹配(Object Matching)和数据压缩(Data Compression)等数字图像处理领域。基于不变矩可以获得图像的主要特征参数。对于机载激光雷达测量获得的三维激光点云数据，在某种程度上也可看作是一种低分辨率的灰度图像，即点位的高度值对应灰度值。这种离散的激光点云数据在求矩过程中的积分运算用求和运算代替。下面简要介绍如何利用不变矩来计算人字顶房屋的特征参数。人字顶房屋的特征参数包括房屋的位置、长、宽、平面主轴方向、屋顶高和屋顶的倾斜角七个量(如图6-18所示)，这七个参数惟一地确定一个人字顶房屋模型。

图6-18　规则房屋的特征参数(Vosselman，2002)

(1)用不变矩确定规则房屋的特征参数

第一步，确定特征参数与不变矩的函数关系式。联立多个不同阶的不变矩方程，可以推导出房屋特征参数与不变矩的函数关系式。第二步是计算不变矩的值。通过这两步可以计算出规则房屋的七个特征参数。下面具体给出这七个特征参数与不变矩的函数关系式。

①确定房屋的位置

规则房屋的位置可以认为是房屋点云P₁、P₂、P₃…P_n的地面投影的重心，即

其中，n为点云中点的总数。

对于脚点分布不均匀的三维激光点云，式(6.27)所求的房屋位置是不准确的。为了抵消“不均匀”的影响，Maas(1999c)提出先判断屋顶各面上各有多少点，对于人字顶，设各有n₁和n₂个点，取P=2n₁/(n₁+n₂)，则房屋位置的改正数是房屋宽(Y)和主轴方向的函数:

笔者认为，判断屋顶各面上各有多少点是一个不切实际的处理，其难度和复杂度要比不变矩本身大。因此，笔者设计了如下的改进方法:求出每个原始激光脚点到房屋中心位置点的距离，以这个距离作为权值重新求房屋的中心位置:

式中，d_P是各点到按式(6.27)求出的房屋中心位置点的距离。

②确定房屋主轴方向

定义规则房屋主轴方向为房屋的主轴与x轴的夹角。将房屋点云的地面投影的重心平移到坐标原点处，建立连续情况下的平移不变矩的方程式，其积分上下限与房屋平面的主轴方向有关，计算矩的值，建立关于平移不变矩和的积分方程，并解求方程组，最后得到房屋的平面主轴方向为:

需要注意的是，如果，则θ必须加上90°才能是房屋主轴的方向。

③确定房屋的长和宽

将房屋点云的地面投影的重心平移到坐标原点处后，再旋转使其主轴方向与x轴平行，建立连续情况下的旋转不变矩的方程式，其积分上下限与房屋的长和宽是简单的线性关系，计算矩的值，建立房屋的平面旋转不变矩和的积分方程组:

式中，L_X、L_Y分别为房屋的长和宽。解方程组，可求出房屋的长和宽分别为:

④确定屋顶类型

本文约定，将规则房屋暂且限定为平顶或人字顶。在重建时，通过比较“立体矩”和“平面矩”就可以确定屋顶的类型。设，如果r_q=1，则房屋为平顶;如果r_q＞1，则房屋的屋脊线平行于房屋主轴;如果r_q＜1，则房屋的屋脊线垂直于房屋主轴。

⑤屋顶的倾斜角

图6-19是一个标准的人字顶房屋，此房屋平面投影的重心已经平移到坐标原点处，其屋脊线(房屋主轴)已经旋转到和x轴平行，房屋的平均高程为:

在理想情况下，房屋的平均高程是屋顶高与墙壁高和的一半(见图6-19)。由立体二阶矩可列出方程组:

可得屋顶的倾斜角为:

图6-19　屋顶倾斜角和屋顶高(Vosselman，2002)

⑥确定屋顶高

由图6-17中的几何关系可以很容易地得到屋顶高的计算公式为:

将式(6.35)代入式(6.36)可得:当。另外还有一个有用的房屋特征是墙壁的高，即。

(2)不变矩重建规则房屋模型的实现

根据前面的分析，通过计算规则房屋三维点云的不变矩可以确定规则房屋的7个特征参数。若采用OpenGL来实现房屋三维重建，通常用这些特征参数来计算房屋特征点的坐标。规则房屋特征点包括房屋的4个角点、墙壁顶端的4个角点和屋脊线上的两个端点，将它们投影到地平面就有6个投影点。有了6个投影点的坐标和屋顶高和墙壁高后，即可得到以上所有特征点的坐标。下面结合实例进行说明。

实例1是一个标准人字顶的房屋，屋顶上有激光脚点1716个，脚点密度为4点/m²，所有点都在屋顶上，房屋墙壁上没有激光脚点(见图6-20)。根据不变矩可计算出该房屋的6个投影点的位置(如图6-21)。图6-22是基于不变矩方法重建出的房屋模型。

图6-20　单个房屋的三维点云

图6-21　房屋平面投影的6个投影点

图6-22　重建后房屋的立体模型

实例2中有5个房屋，其中一个是平顶房屋，其余4个是人字顶，共有激光脚点7149个，点位密度为4点/m²，房屋墙壁上没有点(如图6-23)。根据不变矩可计算出每个房屋的6个投影点的位置(如图6-24)。图6-25给出了基于不变矩重建的房屋模型。

图6-23　房屋群的三维点云

图6-24　房屋群平面投影的投影点

图6-25　重建后房屋群的立体模型

从以上的两个实例可以看出，对于规则的房屋，如果点位的数据质量比较好，使用不变矩可以重建出规则房屋的三维模型。

为了进一步说明该方法的可行性，笔者也做了一些比较计算。目前基于激光点云数据重建建筑物模型的研究并不十分成熟。但文献中用的较多的方法是基于平面分割算法从密集的激光测高数据中提取屋顶表面的平面面元，并辅以屋顶平面面元间的拓扑关系进行屋顶表面重构。笔者也用该法对上面实例中的激光点云数据进行了重构处理，然后比较了用两种方法获得的规则房屋的7个特征参数间的差异(见表6-1)。

(3)不变矩重建房屋模型精度分析

尽管目前有人研究基于三维激光点云数据重建建筑物模型，但鲜有文章讨论和评价重建模型的精度。笔者认为，其原因主要是研究还不够深入或者说还没有找到合适的方法来评价。当然，目前也有人根据已知房屋群的某些特征量有相同的值，通过重建后求出这些特征量的均方根误差来估计房屋重建的精度。这种方法只能适用于一些特殊的情况，依赖于房屋群本身的特点，精度评价方法没有普遍性。还有人根据已知测区内的GIS数据，通过对比房屋特征点的实地坐标和重建后计算出的坐标来估计房屋的重建精度(Maas，1999d)。这种方法需要测区内的GIS数据，而且计算出的误差不仅包含了模型重建的误差，更多的可能是激光脚点的点位误差。三维激光点云坐标本身的精度取决于机载激光雷达系统本身。

表6-1　不变矩法同基于平面分割法间的比较/cm

基于以上考虑，笔者认为评价房屋三维重建的精度应该考虑重建后的房屋模型与原始点云之间的重合程度，这有点类似于直线拟合的精度评价。这是一种内符合精度，它主要反映房屋三维重建的内部精度。

首先分析不变矩重建规则房屋模型的房屋顶面精度。用所求的房屋特征参数构造出房屋的顶面方程，评价房屋原始点云与房屋顶面的重合程度。房屋顶面的重建误差可以用下式估计:

式中，H_P是原始点的高程;H_C是用重建的屋顶面方程所算出的各点的高程，它反映了屋顶高和屋顶倾斜角两个特征参数的精度。笔者对实例1和实例2的房屋点云作了房屋顶面的误差分析。实例1的点云重建的规则房屋的顶面误差为0.07m。实例2点云中的5个房屋的顶面误差中最大的为0.21m，最小的为0.03m。

如果要评价规则房屋的平面特征参数的精度，就需要考虑重建的房屋模型的四条边缘线与点云的地面投影的边缘点集的重合程度，但问题是如何判断房屋点云的地面投影的边缘点集。笔者曾认为，如果能够作出房屋点云的地面投影的Delaunay三角网，就可以找到房屋点云的边缘点集。但经过实践，这样找出的边缘点集中只有很少几个点，并不能看成是房屋点云的边缘点集。因此，这里还没有解决评价重建房屋模型边缘线精度的问题，这是今后需要进一步研究的问题。

下面笔者进一步讨论一下噪声点对不变矩重建规则房屋模型的精度影响。在实例1的点云上面加入一噪声点，该点比房屋点云中的最高点还高出3m。比较前后计算出来的规则房屋的特征参数，房屋位置的坐标相差0.01m，坐标相差0.02m，平面主轴方向相差0.02°，顶面误差增大了0.03m。如果在实例1激光点云的侧方加入一个噪声点，与点云最近点相距3m，比较前后计算出来的规则房屋的特征参数，房屋位置的和坐标均相差0.02m，平面主轴方向相差0.05°，房屋的长相差0.03m，宽相差0.05m，顶面误差不变。这说明相对于房屋点云中的大量点来说，少数噪声点对低阶矩重建规则房屋模型的顶面精度的影响是很小的。

下面分析一下激光脚点的均匀程度对不变矩重建规则房屋模型的精度影响。图6-26是4个不均匀房屋点云的平面投影，用不变矩计算出的各房屋特征点的投影点的位置分别如图中所示。

4个图中只有房屋D的6个投影点的位置是比较准确的，而前3个都有较大的误差，以第一个的误差为最大。肉眼可以看出，房屋A中激光点云的点位密度是右边较密而左边较稀，左上角还缺了一块，房屋B中激光点云的点位密度是中间稀而两端密，房屋C中激光点云的地面投影的下面有一些噪声点，所有这些都造成了投影点的较大误差。可以看出，点位的均匀程度对不变矩计算规则房屋的特征参数的影响是较大的。基于以上分析，笔者认为，不变矩在进行基于离散点云的房屋三维重建过程中，其重建精度受到噪声点和点位分布的均匀程度的影响，其中点位分布的均匀程度对重建的精度影响明显。

图6-26　4个房屋平面点阵的6个投影点

使用不变矩重建规则房屋模型简单、快速，可以说，不变矩是目前所有基于三维点云的立体模型重建方法中速度最快的方法之一。随着机载激光雷达系统硬件技术的进一步发展，这种方法的稳健性也会越来越高。但不变矩重建规则房屋模型的缺点也是突出的。首先，该法目前通常只能重建规则房屋。从理论上讲，更高阶的不变矩可以反映更为详细的房屋特征信息，也就能重建更为复杂的房屋，但这要求解更为复杂和更多的积分方程，而这些方程的求解本身就十分困难，而且高阶的不变矩更容易受到噪声点的影响，可靠性更差。因此，高阶的不变矩很少应用到房屋的三维重建中来。替代的方法是将复杂房屋分解成一个个简单规则的房屋，应用低阶的不变矩来完成三维重建。其次，该法的稳健性有待提高，正如前面介绍的那样，不变矩重建房屋模型受到诸多因素的干扰，而且有时这种干扰还比较大，这样在使用不变矩重建房屋模型之前，要求有比较好的数据预处理方法剔除粗差、均匀化点位密度等措施。