数制的相互转换

5.2.2　数制的相互转换

将数由一种数制转换成另一种数制称为数制间的转换。由于计算机采用二进制，但用计算机解决实际问题时对数值的输入输出通常使用十进制，这就有一个十进制向二进制转换或由二进制向十进制转换的过程。也就是说，在使用计算机进行数据处理时首先必须把输入的十进制数转换成计算机所能接受的二进制数；计算机在运行结束后，再把二进制数转换为人们所习惯的十进制数输出。这两个转换过程完全由计算机系统自动完成不需人们参与。

1.十进制数转换成非十进制数

不同进位计数制之间的转换，实质上是基数间的转换。十进制数与非十进制数相互转换有以下两种情况：

（1）十进制整数转换成非十进制整数

十进制整数转换成非十进制整数时采用余数法：用十进制整数除基数，一直到当商是0时为止，然后将余数由下而上排列。其中二进制、八进制、十六进制的基数分别为2、8、16。

例5.1　把十进制数123转换成二进制数。

则（123）₁₀=（1111011）₂

例5.2把十进制数123 转换成八进制数。

则（123）₁₀=（173）₈

（2）十进制小数转换成非十进制小数

十进制小数转换成非十进制小数采用进位法，即乘基数取整数。把十进制小数不断用其他进制的基数去乘，直到小数的当前值等于0或满足所要求的精度为止，最后将所得到的乘积的整数部分由上而下排列。

例5.3　把十进制小数0.6875转换成二进制数。

0.6875×2=1.3750………整数为1

0.3750×2=0.7500………整数为0

0.7500×2=1.5000………整数为1

0.5000×2=1.0000………整数为1

0.0000………去掉整数部分后余下的纯小数为0，转换结束

则（0.6875）₁₀=（0.1011）₂

在进行转换时，如果一个数既有整数部分，又有小数部分，应将整数部分和小数部分分别进行转换，然后再组合起来。

例5.4　把十进制数（14.125）₁₀转换为二进制数。

则整数部分的结果是1110

小数部分0.125转换如下：

0.125×2=0.250………整数为0

0.250×2=0.500………整数为0

0.500×2=1.000………整数为1

则小数部分的结果是001，所以（14.125）₁₀=（1110.001）₂

上面的例子中，小数部分经过有限次乘2取整后即告结束。但也有许多情况可能是无限的，要根据精度的要求在适当的位数上截止。对八进制和十六进制也有同样的情况。

2.非十进制数转换成十进制数

非十进制转换成十进制采用位权法，即把各非十进制数按权展开求和。

例5.5　把二进制数（110110）₂转换为十进制数。

（110110）₂=1×2⁵＋1×2⁴＋0×2³＋1×2²＋1×2¹+0×2⁰

　　　　　 =32＋16＋0＋4＋2＋0

　　　　　 =（54）10

例5.6　把八进制数（165）₈转换为十进制数。

（165）₈ = 1×8²＋6×8¹＋5×8⁰

　　　　 = 64＋48＋5

　　　　 = 117

3.二、八、十六进制数之间的相互转换

8和16都是2的整数次幂，即8=2³、16=2⁴，因此3位二进制数相当于l位八进制数，4位二进制数相当于l位十六进制数。

二进制数转换成八进制数时，按“3位并1位”的方法进行。也就是说，以小数点为界，将整数部分从右向左每3位一组，最高一组不足3位时，在最左端添0补足3位，小数部分从左向右，每3位一组，最低一组不足3位时，在最右端添0补足3位。然后，将各组的3位二进制按2²、2¹、2⁰权展开后相加得一位八进制数。

二进制数与十六进制数间的相互转换类似于二进制数与八进制数间的相互转换，只是每4位分成一组。表5-3列出了各数制间的对应关系。

表5-3　各数制间的对应关系

例5.7　把二进制数10110101.11转换为八进制数。

例5.8　把二进制数10110001.00101转换为十六进制数。

例5.9　把十六进制数10AC转换为二进制数。

经转换后得到的二进制数0001000010101100。该二进制数中最左边的3个0可以省略。因此，（10AC）₁₆=（1000010101100）₂