受弯构件正截面承载力计算

时间：2024-10-18 百科知识版权反馈

【摘要】：根据试验研究，受弯构件正截面的破坏形式主要与受弯构件的配筋率ρ的大小有关。配筋率ρ是指纵向受力钢筋的截面面积As与受弯构件的有效截面面积bh0比值的百分率。这时截面所能承担的弯矩即为破坏弯矩，这时的应力状态即作为构件承载力极限状态计算的依据。根据换算后的等效矩形应力图形和静力平衡条件，并根据图3.15，，可建立单筋矩形受弯构件正截面抗弯承载力的基本计算公式。

3.2　受弯构件正截面承载力计算

・3.2.1　受弯构件正截面破坏形式・

根据试验研究，受弯构件正截面的破坏形式主要与受弯构件的配筋率ρ的大小有关。配筋率ρ是指纵向受力钢筋的截面面积A_s与受弯构件的有效截面面积bh₀比值的百分率。但在验算最小配筋率时，有效面积应改为全面积。

式中　A_s——纵向受力钢筋的截面面积，mm²，见图3.15（f）；

　b——截面的宽度，mm；

　h₀——截面的有效高度，mm，见式（3.1）。

由ρ的表达式可以看出，ρ越大，表示A_s越大，即纵向受力钢筋的数量越多。

由于配筋率ρ的不同，钢筋混凝土受弯构件将产生不同的破坏情况，一般可划分为适筋梁破坏、超筋梁破坏、少筋梁破坏3种破坏形式，如图3.14所示。

图3.14　梁的破坏形式

（a）适筋梁破坏；（b）超筋梁破坏；（c）少筋梁破坏

1）适筋梁破坏形式

适筋梁是指纵向受力钢筋的配筋量适当的梁，也就是配筋率ρ合适的梁。适筋梁从施加荷载到破坏可分为3个阶段。

（1）第Ⅰ阶段——弹性工作阶段

从加荷开始到梁受拉区出现裂缝以前为第Ⅰ阶段。此时，荷载产生的压力由截面中和轴以上的混凝土承担，产生的拉力则由布置在梁下部的纵向受拉钢筋和中和轴以下的混凝土共同承担。当弯矩不大时，混凝土基本处于弹性工作阶段，应力与应变成正比，当弯矩增加到开裂弯矩时，由于混凝土抗拉能力比抗压能力低，受拉区边缘纤维应变恰好达到混凝土受弯时极限拉应变，梁处于将裂未裂的极限状态，而此时受压区边缘的应变量相对还很小，受压区混凝土基本上还属于弹性工作阶段，此时，称为第Ⅰ阶段末，可作为受弯构件抗裂度的计算依据。

（2）第Ⅱ阶段——带裂缝工作阶段

当弯矩再增加时，梁将在抗拉能力最薄弱的截面处首先出现第一条裂缝，一旦开裂，梁即由第Ⅰ阶段转化为第Ⅱ阶段工作。

在裂缝截面处，由于混凝土开裂，混凝土将退出工作，受拉区的拉力主要由钢筋承受，使得钢筋应力较开裂前突然增大很多，随着弯矩M的增加，受拉钢筋的拉应力迅速增加，梁的挠度、裂缝宽度也随之增大，截面中和轴上移，截面受压区高度减小，受压区混凝土塑性性质将表现得越来越明显，受压区应力图呈曲线变化。当弯矩继续增加时，受拉钢筋应力将达到屈服点f_y，此时称为第Ⅱ阶段末。

第Ⅱ阶段相当于梁使用时的应力状态，第Ⅱ阶段末可作为受弯构件使用阶段的变形和裂缝开展计算时的依据。

（3）第Ⅲ阶段——破坏阶段

钢筋达到屈服强度后，它的应力大小基本保持f_y不变，而变形将随着弯矩M的增加而急剧增大，使受拉区混凝土的裂缝迅速向上扩展，中和轴继续上移，混凝土受压区高度减小，压应力增大，受压混凝土的塑性特征表现得更加充分，压应力图形呈显著曲线分布。当弯矩M增加至极限弯矩时，称为第Ⅲ阶段末。此时，混凝土受压区边缘纤维到达混凝土受弯时的极限压应变，受压区混凝土将产生近乎水平的裂缝，混凝土被压碎，标志着梁已开始破坏。这时截面所能承担的弯矩即为破坏弯矩，这时的应力状态即作为构件承载力极限状态计算的依据。

综上所述，对于配筋合适的梁，其破坏特征是：受拉钢筋首先达到屈服强度，继而进入塑性阶段，产生很大的塑性变形，梁的挠度、裂缝也都随之增大，最后因受压区的混凝土达到其极限压应变被压碎而破坏，如图3.14（a）所示。适筋梁在破坏前，钢筋产生了较大的塑性伸长，从而引起构件较大的变形和裂缝，破坏过程比较缓慢，破坏前有明显的征兆，另外，由于适筋梁的材料强度能得到充分发挥，符合安全可靠、经济合理的要求，故梁在实际工程中都应设计成适筋梁。

2）超筋梁破坏形式

超筋梁是指纵向受力钢筋的配筋量过多的梁，也就是配筋率ρ较大的梁。

由于纵向受力钢筋过多，故当受压区边缘纤维应变达到混凝土受弯时的极限压应变时，钢筋的应力尚小于屈服强度，但此时梁已因受压区混凝土被压碎而破坏。试验表明，超筋梁由于钢筋过多，导致钢筋的应力不大，钢筋在梁破坏前仍处于弹性工作阶段，且钢筋的应变很小，梁裂缝开展不宽，梁的挠度亦不大，如图3.14（b）所示。

因此，超筋梁的破坏特征是：当纵向受拉钢筋还未达到屈服强度时，梁就因受压区的混凝土被压碎而破坏。因为这种梁是在没有明显征兆的情况下由于受压区混凝土突然压碎而被破坏，为脆性破坏。

超筋梁虽配置了很多的受拉钢筋，但由于其应力小于钢筋的屈服强度，不能充分发挥钢筋的作用，造成浪费，且梁在破坏前没有明显的征兆，破坏带有突然性，故工程实际中不允许设计成超筋梁。

3）少筋梁破坏形式

少筋梁是指纵向受力钢筋的配筋量过小的梁，也就是配筋率ρ较小的梁。

少筋梁在受拉区的混凝土开裂前，截面的拉力由受拉区的混凝土和受拉钢筋共同承担，当受拉区的混凝土一旦开裂，截面的拉力几乎全部由钢筋承受，由于受拉钢筋过少，所以钢筋的应力迅速达到受拉钢筋的屈服强度，并且进入强化阶段，若钢筋的数量很少，钢筋甚至可能被拉断，如图3.14（c）所示。

其破坏特征是：少筋梁破坏时，裂缝往往集中出现一条，不仅裂缝发展速度很快，而且裂缝宽度很大，几乎贯穿整个梁高，同时梁的挠度也很大，即使此时受压区混凝土还未被压碎，也可以认为梁已经被破坏了。

由于受拉钢筋过少，梁破坏时没有明显的征兆，是一种一裂即断的破坏，同样也属于脆性破坏性质。故在实际工程中不允许采用少筋梁。

・3.2.2　基本计算公式及适用条件・

1）基本假定

综上所述，钢筋混凝土受弯构件正截面承载力计算是以适筋梁为依据的，适筋梁的横截面如图3.15（a）所示，破坏时的实际应力图形如图3.15（b）所示，为了建立实用的计算公式，我们采用以下基本假定：

①平截面假定。即构件正截面在受荷弯曲变形后仍保持平面，也就是说截面中的应变按线性规律分布。

②不考虑受拉区混凝土参与工作，拉力完全由纵向钢筋承担。由于混凝土的抗拉强度很低，在荷载不大时就已经开裂，在第三阶段末，受拉区只在靠近中和轴的地方存在少许的混凝土，其承担的弯矩很小，所以在计算中不考虑混凝土的抗拉作用，拉力完全由纵向钢筋承担。

③采用理想化的应力与应变关系。按《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）推荐的混凝土应力与应变设计曲线，得到的假定应力图形，如图3.15（c）所示。

由于在进行截面设计时必须计算受压混凝土的合力，按《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）推荐的混凝土应力与应变设计曲线得到的假定应力图形是抛物线加直线，受压混凝土的合力计算十分不便。为了进一步简化计算，《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定，受压区混凝土的应力图形可简化为等效矩形应力图形，如图3.15（e）所示，图3.15（f）为经简化后的计算横截面。

图3.15　梁的受压区应力图

用等效矩形应力图形代替理论应力图形应满足的条件是：

①保持原来受压区混凝土的合力（C）大小不变；

②保持原来受压区混凝土的合力（C）作用点位置不变。

根据上述两个条件，经推导计算，得：

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定：当混凝土的强度等级不超过C50时，β₁=0.8，α₁=1.0；当混凝土的强度等级为C80时，β₁=0.74，α₁=0.94；在C50和C80之间时，α₁按内插法确定。

2）基本计算公式

根据换算后的等效矩形应力图形和静力平衡条件，并根据图3.15（e），（f），可建立单筋矩形受弯构件正截面抗弯承载力的基本计算公式。按照概率极限状态设计理论，承载力极限状态的设计表达式为S≤R，S在这里是荷载设计值产生的弯矩M，R在这里是受弯构件所能承担的极限弯矩Mu，即

M≤Mu

单筋矩形受弯构件正截面抗弯承载力的基本计算公式为：

或

式中　x——等效矩形应力图形的混凝土受压区高度；

　b——矩形截面宽度；

　h₀——矩形截面的有效高度，h₀=h-a_s；

　a_s——纵向受力钢筋合力点至截面近边的距离；

　f_y——受拉钢筋的强度设计值；

　A_s——受拉钢筋截面面积；

　f_c——混凝土轴心抗压强度设计值；

　α 1——系数，当混凝土强度等级不超过C50时，α 1=1.0，为C80时，α 1=0.94，其间按线性内插法确定。

在利用公式进行配筋计算时，一般根据式（3.10），利用求根公式求解一元二次方程有：x=再将求出的x代入式（3.9）求解A_s值；在利用公式进行承载力复核计算时，一般根据式（3.9）求解x，再将求出的x代入式（3.10）求解Mu值。

为简化计算，避免求解一元二次方程，也可利用系数法进行计算，具体方法如下：

公式可改写成

令α _s=ξ（1-0.5ξ），则上式变为：

公式可改写成M=f_yA_sh₀×（1-0.5ξ）。

令γ_s=（1-0.5ξ），则上式变为：

利用公式，可以求得：

经推导，相应的α s，γs，ξ之间存在以下关系：

求得ξ，γs后利用ξ与ξ_b比较，初步判断是否会发生超筋破坏，然后利用下式计算配筋面积A_s：

或　　

求出A_s后，便可确定钢筋的根数和直径，并根椐实配钢筋截面面积对照公式适用条件进行复核。

3）基本计算公式的适用条件

（1）相对受压区高度ξ、界限相对受压区高度ξ_b和最大配筋率ρ_max

若设受压区混凝土高度为x，截面有效高度为，ξ就称为相对受压区高度。

根据平截面假定，适筋梁在整个受荷过程中，截面的应变在梁的高度方向是呈直线变化的，如图3.15（d）所示，无论是适筋梁还是超筋梁，梁在破坏时受压区混凝土边缘应变均达到极限压应变ε_cu，ε_cu约为0.003 3。而梁在破坏时受拉钢筋的应变却不相同，对于适筋梁，在受压区混凝土边缘应变达到极限压应变ε_cu以前，钢筋就已经屈服，即钢筋的应变ε_s大于钢筋屈服时的应变ε_y；而超筋梁在受压区混凝土边缘应变达到极限压应变ε_cu时，钢筋还没有屈服，即钢筋的应变ε_s小于钢筋屈服时的应变ε_y。那么，当受压区混凝土边缘应变达到极限压应变的同时，受拉钢筋的应变正好进入屈服，即ε_s=ε_y时，就是适筋梁和超筋梁的分界点。将这个分界点时的混凝土受压区高度称为界限受压区高度，用x_b表示，就称为界限相对受压区高度，用ξ_b表示。显然当截面满足ξ≤ξ_b或x≤x_b时，就一定是适筋梁；反之就是超筋梁。

根据公式α 1 f_cbx=f_yA_s，有：

从式（3.19）中可以看出，配筋率ρ与受压区高度x成正比关系，当x=x_b时ξ=ξ_b，配筋率ρ就达到适筋梁的最大配筋率ρ_max。

也就是说当截面配筋率满足ρ≤ρ_max时，就一定是适筋梁，就不会发生超筋破坏。不同级别钢筋的ξ_b见表3.8。

（2）关于适筋梁与少筋梁的界限及最小配筋率的概念

为了保证受弯构件不出现少筋破坏，必须使截面的配筋率不小于某一界限配筋率ρ_min。《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）给出了最小配筋百分率ρ_min的限值：对于受弯构件的纵向受拉钢筋最小配筋百分率应取0.2%和%中的较大值。当计算所得的ρ＜ρ_min时，应按构造配置钢筋，并且使ρ≥ρ_min。

表3.8　界限破坏时的界限相对受压区高度ξ_b

（3）公式的适用条件

由上面的分析可知，为了防止受弯构件出现超筋破坏和少筋破坏，单筋矩形受弯构件正截面抗弯承载力的基本计算式（3.9）、式（3.10）、式（3.11）必须满足下列适用条件：

或

以上3个公式的意义一样，只要满足其中之一，就能防止配筋过多形成超筋梁。若将式（3.22）代入式（3.10）中，可求得单筋矩形截面所能承受的最大弯矩Mu，max，该式也能够作为防止形成超筋梁的条件：

或

式（3.25）、式（3.26）是为保证受弯构件不出现少筋破坏的条件。根据《规范》规定，在验算最小配筋率ρ_min时，受弯构件、大偏心受拉构件一侧受拉钢筋的配筋率应按全截面面积扣除受压翼缘面积′后的截面面积计算最小配筋率。

计算出钢筋截面面积A_s后，可查表3.9确定钢筋的实际根数及实际配筋面积A_s实，如果是板的配筋，可查表3.10每米板宽内的钢筋截面面积进行配筋，一般实际配筋面积A_s实与钢筋计算截面面积A_s二者之间相差不应超过±5%。

表3.9　钢筋的计算截面面积及公称质量表

表3.10　每米板宽内的钢筋截面面积

续表

注：表中钢筋直径6/8，8/10等指两种直径钢筋间隔放置。

・3.2.3　双筋矩形截面梁正截面承载力计算・

1）双筋矩形截面梁的概念和应用

在梁的受拉区和受压区同时按计算配置纵向受力钢筋的截面称为双筋截面。由于混凝土具有较好的抗压能力，在梁的受压区布置受压钢筋来承受压力，显然是不经济的，故一般情况下不宜采用。但在下列情况下可采用双筋截面：

①当截面承受的弯矩较大，而截面高度及材料强度又由于种种原因不能提高，以致按单筋矩形梁计算时出现x＞x_b，即出现超筋情况时，可采用双筋截面，此时在混凝土受压区配置受压钢筋来补充混凝土抗压能力的不足。

②构件在不同的荷载组合下承受异号弯矩的作用，即在同一截面既可能出现正弯矩又可能出现负弯矩，此时就需要在梁的上下方都布置受力钢筋。

③由于构造要求而在截面受压区配置一定的受压钢筋。

2）基本公式及适用条件

双筋截面受弯构件的破坏特征与单筋截面相似，不同之处是受压区既有混凝土受压又有受压钢筋A′_s承受压力，如图3.16所示。与单筋截面一样，按照受拉钢筋是否到达f_y来区分为适筋梁和超筋梁。为了防止出现超筋梁，同样必须遵守ξ≤ξ_b这一条件。

图3.16　双筋截面受弯构件计算简图

在双筋梁计算中，受压钢筋应力可以达到受压屈服强度f′_y的条件是：式中——受压区纵向钢筋合力点至截面受压边缘的距离。

对于受压钢筋的抗压强度设计值f′y的取值，《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定：

①当钢筋的抗拉强度设计值f_y≤400 N/mm²时，热轧钢筋取钢筋的抗压强度设计值等于抗拉强度设计值，即

②当钢筋的抗拉强度设计值f_y＞400 N/mm²时，取钢筋的抗压强度设计值这表明若受压区配置了高强度的钢筋，则当截面破坏时，钢筋的应力最多只能达到400 N/mm²。故受压钢筋不宜采用高强度的钢筋，否则其强度不能充分发挥。实际计算需要注意的是，HRB500，HRBF500两种钢筋的抗拉、抗压设计强度不相等。

（1）计算公式

双筋矩形截面受弯构件的计算简图，如图3.16所示。根据平衡条件可得到下列基本计算公式：

式中　′——钢筋的抗压强度设计值；

　′——受压钢筋截面面积；

　　——受压区纵向钢筋合力点至截面受压边缘的距离，计算方法同as。

（2）公式的适用条件

①为了防止出现超筋梁破坏，应满足：

或　　

②为了保证受压钢筋能达到规定的抗压强度设计值，应满足：

・3.2.4　T形截面承载力计算・

由于受弯构件产生裂缝后，裂缝截面处的受拉混凝土因开裂而退出工作，拉力可认为全部由受拉钢筋承担，因此，中和轴以下的混凝土可以去掉一部分，把原有的纵向受拉钢筋集中布置在腹板，由于在计算中是不考虑混凝土的抗拉作用的，所以截面的承载力不但与原有截面相同，而且可以节约混凝土，减轻构件自重。如图3.17所示，T形截面由翼缘和腹板组成。T形截面在工程中应用很广泛，如现浇楼屋盖、吊车梁、槽形板、空心板等也都按T形截面计算，如图3.18所示。应该注意的是，若翼缘处于梁的受拉区，当受拉区的混凝土开裂后，翼缘部分的混凝土就不起作用了，所以这种梁形式上是T形，但在计算时只能按腹板为b的矩形梁计算承载力。所以，判断梁是按矩形还是按T形截面计算，关键是看其受压区所处的部位。若受压区位于翼缘，则按T形截面计算；若受压区位于腹板，则应按矩形截面计算。

图3.17　T形截面梁

图3.18　按T形截面计算的梁板

计算T形梁时，根据中和轴位置的不同，将T形截面分为两类：当x≤h′_f（中和轴位于翼缘内）时为第一类T形截面，此类T形截面的受压区实际是矩形，所以可以将其作为宽度为b′_f的矩形来计算，计算方法与矩形截面计算基本一样，不同的是要用b′_f代替b；当x＞h′_f（中和轴通过腹板）时为第二类T形截面，此类T形截面的受压区为T形，就不能按矩形来计算，如图3.19所示。

图3.19　T形截面受压区的两种不同情况

理论上说，T形截面的翼缘宽度b′_f越大，截面受力性能就越好。因为当截面承受的弯矩M一定时，翼缘宽度b′_f越大，则受压区高度x就越小，内力臂就越大，从而可以减少纵向受拉钢筋的数量。但通过试验和理论分析表明，T形截面梁受力后，翼缘上的纵向压应力的分布是不均匀的，离肋部越远数值越小。因此，当翼缘很宽时，考虑到远离肋部的翼缘部分所起的作用已很小，故在实际设计中应把翼缘限制在一定的范围内，称为翼缘的计算宽度b′_f。在b′_f范围内的压应力分布假定是均匀的，《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）对翼缘宽度b′_f的取值有具体的规定。

1）第一类T形截面