受弯构件变形与裂缝计算

时间：2024-10-18 百科知识版权反馈

【摘要】：钢筋混凝土受弯构件的正截面受弯承载力及斜截面受剪承载力计算是保证承载能力极限状态的计算，是保证结构构件安全可靠的前提条件。除此之外，还应对构件进行正常使用极限状态的验算，即对构件进行变形验算及裂缝宽度计算。受弯构件在荷载效应的标准组合作用下的刚度简称短期刚度，用Bs表示。

3.4　受弯构件变形与裂缝计算

结构和构件按承载能力极限状态进行计算后，还应当按正常使用极限状态进行验算。钢筋混凝土受弯构件的正截面受弯承载力及斜截面受剪承载力计算是保证承载能力极限状态的计算，是保证结构构件安全可靠的前提条件。除此之外，还应对构件进行正常使用极限状态的验算，即对构件进行变形验算及裂缝宽度计算。

考虑到结构构件当其不满足正常使用极限状态时所带来的危害性比不满足承载力极限状态时要小，其相应的可靠指标也要小些，故《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定，验算变形及裂缝宽度时荷载均采用标准值，不考虑荷载分项系数。

由于构件的变形及裂缝宽度都随时间而增大，因此验算变形及裂缝宽度时，应按荷载的标准组合并考虑长期作用影响来进行。

・3.4.1　变形验算・

受弯构件的变形验算，就是对受弯构件进行挠度验算，即要求受弯构件的计算挠度f小于或等于规范规定的挠度允许值［f］：

1）受弯构件的变形验算的特点

在材料力学中，已经学习了匀质弹性材料受弯构件变形的计算方法，如跨度为l₀的简支梁在均布荷载（g+q）的作用下，其跨中的最大挠度为：

因此，匀质弹性材料梁的跨中挠度可以统一写为：

式中　EI——为匀质弹性材料梁的截面抗弯刚度，当梁截面尺寸及材料确定后，对于弹性材料的受弯构件EI是一常数；

　M——梁跨中最大弯矩；

　S——与构件的支承条件及所受荷载形式有关的挠度系数。

对于钢筋混凝土受弯构件来说，在荷载不大时，受拉区的混凝土就已开裂，随着裂缝的宽度和高度的增加，裂缝处的实际截面减小，即梁的惯性矩I随之减小，导致梁的刚度下降。同时，随着弯矩的增加，梁塑性变形的发展，变形模量也随之减小，即E也随之减小。由此可见，钢筋混凝土梁的截面抗弯刚度不是一个常数，而是随着弯矩的大小而变化，并与裂缝的出现和开展有关。同时，随着荷载作用持续时间的增加，钢筋混凝土梁的截面抗弯刚度还将进一步减小，梁的挠度还将进一步增大。故不能用EI来表示钢筋混凝土的抗弯刚度。

为了区别于匀质弹性材料受弯构件的抗弯刚度EI，规范规定用B代表钢筋混凝土受弯构件的刚度。钢筋混凝土梁在荷载效应的标准组合作用下的截面抗弯刚度，简称为短期刚度，用B_s表示；钢筋混凝土梁在荷载效应的标准组合作用下并考虑荷载长期作用的截面抗弯刚度，简称为长期刚度，用B表示。

计算钢筋混凝土受弯构件的挠度，实质上是计算它的抗弯刚度，对于梁来说，只要计算出它的抗弯刚度，就可按照弹性材料梁的变形公式算出梁的挠度。

2）受弯构件在荷载效应的标准组合作用下的刚度——短期刚度B_s

受弯构件在荷载效应的标准组合作用下的刚度简称短期刚度，用B_s表示。在梁的试验中，出现裂缝的第Ⅱ阶段的应变具有以下特点：

①由于裂缝的出现，梁的受拉区多处开裂，沿梁纵轴各截面的钢筋应变是不均匀的，呈波浪形变化，接近裂缝的应变大，远离裂缝的应变小。为了便于计算，用表示钢筋的平均应变，用ε_s表示裂缝截面处的钢筋应变，二者的关系为：

式中　ψ——钢筋应变的不均匀系数，当混凝土基本退出工作时，ψ=1.0。

②受压混凝土的应变也是不均匀的，在裂缝处中和轴上升，混凝土受压边缘的应力增大，应变也最大，在裂缝之间中和轴下降，混凝土受压边缘的应力减小，应变也较小。试验表明，在裂缝处的应变（以ε_c表示）和裂缝间的平均应变（以表示）差别不大，其波动幅度要小于钢筋的应变波动幅度。二者关系如下：

式中　ψ_c——受压边缘混凝土应变的不均匀系数。

试验表明，在纯弯段，截面平均应变和的连线大体上为一直线，说明截面的平均应变是符合平截面假定的，即变形前的截面为一平面，变形后仍为一平面。其平均曲率为：

根据式（3.59）并综合考虑其几何关系、物理关系、平衡关系及钢筋混凝土的受力变形特点，最后得出钢筋混凝土受弯构件短期刚度B_s的计算公式为：

式中　α _E——钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值，

　′——T形、工字形截面受压翼缘面积与腹板有效面积的比值，，《混凝土结构设计规范》规定，当截面h′_f＞0.2h₀时，取h′_f=0.2h₀；

　ψ——裂缝间纵向受拉钢筋应变的不均匀系数，按式（3.66）计算；

　ρ——纵向受拉钢筋的配筋率ρ=A_s/（bh₀）；

　E_s——纵向受拉钢筋的弹性模量；

　h₀——梁截面有效高度，mm。

3）按荷载效应的标准组合并考虑荷载长期作用影响的刚度——长期刚度B

试验表明，在长期荷载作用下，钢筋混凝土梁的挠度将随时间而不断缓慢增长，抗弯刚度随时间而不断降低，这一过程往往要持续很长时间。其主要原因是由于受压区混凝土在压力的持续作用下产生了徐变，使混凝土的压应变随时间而增长。另外，裂缝之间受拉区混凝土的应力松弛、受拉钢筋和混凝土之间粘结滑移徐变，都使受拉混凝土不断退出工作，从而使受拉钢筋平均应变随时间增大。

由此可见，长期荷载作用下的挠度要大于短期荷载作用下的挠度，其比值一般通过试验确定，以受弯构件挠度的增长系数θ来表示。影响θ的主要因素是受压钢筋，因为受压钢筋对混凝土的徐变有约束作用，可减少构件在长期荷载作用下的挠度增长。《混凝土结构设计规范》规定ρ′=0时，θ=2.0；当ρ′=ρ时，θ=1.6；当ρ′介于0和ρ之间时，θ按内插法取用。θ的计算公式为：

式中　θ——长期荷载作用下受弯构件挠度的增长系数；

　ρ′——受压钢筋的配筋率，ρ′=A′_s/（bh₀）；

　ρ——受拉钢筋的配筋率，ρ=A_s/（bh₀）。

《混凝土结构设计规范》规定：对翼缘位于受拉区的T形截面，θ应增大20%。

由于构件上作用的全部荷载中一部分是长期作用的荷载，另一部分是短期作用的荷载。现设Mq为按荷载长期作用计算的弯矩值，即按荷载效应的准永久组合计算的弯矩；设Mk为按短期作用计算的弯矩值，即按荷载效应的标准组合计算的弯矩。《混凝土结构设计规范》规定，计算矩形、T形、倒T形和工字形截面受弯构件的刚度B可按式（3.62）计算：

式中　B——按荷载效应的标准组合，并考虑荷载长期作用影响的刚度；

　M_q——按荷载效应的标准组合计算的弯矩值，取计算区段的最大弯矩值；

　M_k——按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值，取计算区段的最大弯矩值；

　θ——考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数；

　B_s——荷载效应的标准组合作用下受弯构件的短期刚度。

4）最小刚度原则

由上述的分析可知，钢筋混凝土构件截面的抗弯刚度随弯矩的增大而减小，在荷载作用下，同一根梁各截面的弯矩是不相同的，弯矩较小的截面，裂缝出现较少甚至没有裂缝，其抗弯刚度较大；而弯矩较大的截面，则裂缝较多，其抗弯刚度较小。在实际设计中，为了简化计算通常采用“最小刚度原则”，即在同号弯矩区段采用其最大弯矩（绝对值）截面处的最小刚度作为该区段的抗弯刚度B来计算变形。如对于简支梁即取最大正弯矩截面计算截面刚度，并以此作为全梁的抗弯刚度。

计算钢筋混凝土受弯构件的挠度，先要计算在同一符号弯矩区段内的最大弯矩，而后求出该区段弯矩最大截面的刚度B，再根据梁的支座类型套用相应的力学挠度公式。求得的挠度值f应小于或等于［f］即式（3.55），式中的［f］取值见表3.11。

表3.11　受弯构件的挠度限值

注：①表中l₀为构件的计算跨度；

②表中括号内的数值适用于使用上对挠度有较高要求的构件；

③如果构件制作时预先起拱，且使用上也允许，则在验算挠度时，可将计算所得挠度值减去起拱值，对于预应力混凝土构件，尚可减去预应力所产生的反之拱值；

④计算悬臂构件的挠度限值时，其计算跨度l₀按实际悬臂长度的2倍取用。

・3.4.2　裂缝计算・

由于混凝土的抗拉强度很低，只要构件中的拉应力超过了混凝土的抗拉强度，就会在垂直于拉应力区方向产生裂缝。对于一般的工业与民用建筑来说，是允许构件带裂缝工作的，但也有一些构件由于外观要求或耐久性要求，对构件的裂缝开展宽度进行严格的限制。从外观要求考虑，裂缝过宽将给人以不安全的感觉；从耐久性要求考虑，如果裂缝过宽，在有水或空气侵入时，裂缝处的钢筋将锈蚀甚至严重锈蚀，导致钢筋截面面积减小，使构件的承载力下降。因此必须对构件的裂缝宽度进行控制。

1）裂缝产生的原因及裂缝控制等级

（1）裂缝产生的原因

受弯构件的裂缝按其产生的原因可分为以下几类：

①由各种作用效应引起的裂缝。这类裂缝是由于构件拉应力超过混凝土抗拉强度而使受拉区混凝土产生的垂直裂缝。通常，由于混凝土受弯构件受拉区开裂时，钢筋的应力很低，因此按照承载力极限状态设计的钢筋混凝土构件，在使用阶段一般都是带裂缝工作的。

②由于钢筋锈蚀产生的裂缝。由于混凝土保护层碳化或其他原因导致钢筋锈蚀，锈蚀产物的体积膨胀，这种体积膨胀会使钢筋周围的混凝土产生较大的拉应力，引起混凝土开裂，甚至混凝土保护层脱落。

③其他原因引起的混凝土裂缝。除了上述原因外，由于地基的不均匀沉降、混凝土的收缩及温差等也会使混凝土构件产生裂缝。另外由于施工不当、养护不好、拆模过早等，也会造成裂缝。

本节主要介绍由各种作用效应引起的裂缝的裂缝宽度计算方法。

（2）裂缝控制等级

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）将裂缝控制等级划分为三级。

①一级：严格要求不出现裂缝的构件。按荷载效应标准组合进行计算时，构件受拉边边缘的混凝土不应产生拉应力。

②二级：一般要求不出现裂缝的构件。按荷载效应标准组合进行计算时，构件受拉边边缘的混凝土拉应力不应大于混凝土轴心抗拉强度标准值；按荷载效应准永久组合进行计算时，构件受拉边边缘的混凝土不宜产生拉应力。

③三级：允许出现裂缝的构件。按荷载效应标准组合并考虑长期作用影响计算时，构件的最大裂缝宽度ω max不应超过允许的最大裂缝宽度ω_lim，即：

ω_lim为最大裂缝宽度的允许值，见表3.12。对于一般的钢筋混凝土构件来说，在使用阶段一般都是带裂缝工作的，故按三级标准来控制裂缝宽度。

2）受弯构件裂缝宽度的计算

受弯构件的裂缝包括由弯矩产生的正应力引起的垂直裂缝和由弯矩、剪力产生的主拉应力引起的斜裂缝。对于主拉应力引起的斜裂缝，当按斜截面抗剪承载力计算配置了足够的腹筋后，其斜裂缝的宽度一般都不会超过规范所规定的最大裂缝宽度允许值，所以，主要讨论由弯矩引起的垂直裂缝的情况。目前，国内外有关裂缝计算的公式很多，就其研究方法而言，基本可以分为两类：第一类是以粘结-滑移理论为基础的半理论半经验的计算方法，按照这种理论，裂缝的间距取决于钢筋和混凝土间粘结应力的分布，裂缝的开展是由于钢筋和混凝土间的变形不再维持协调，出现滑移而产生的。第二类是以数理统计为基础的经验计算方法。我国《混凝土结构设计规范》提出的裂缝宽度计算公式主要是以粘结-滑移理论为基础建立的。

表3.12　结构构件的裂缝控制等级及最大裂缝宽度限制