预应力混凝土结构计算的一般原理

6.3　预应力混凝土结构计算的一般原理

・6.3.1　计算内容・

预应力混凝土构件除应进行使用阶段的承载力计算及变形、抗裂度和裂缝宽度验算外，还应按具体情况对制作、运输及吊装等施工阶段进行验算。

计算和验算时，若将预应力作为荷载考虑，则应在荷载效应组合中加入预应力效应，并按式（6.5）进行组合：

式中　γ₀——结构构件的重要性系数，一级1.1，二级1.0，三级0.9；

　S_d——《建筑结构荷载规范》（GB 50009—2012）中的荷载效应组合设计值；

　S_p——预应力效应，按扣除预应力损失后的预应力钢筋合力N_p计算；

　γp——预应力的荷载分项系数。对承载能力极限状态，当预应力效应对结构有利时，取1.0，不利时取1.2，对正常使用极限状态，取1.0。

1）预应力产生的截面应力

由预加应力产生的混凝土法向应力及相应阶段预应力钢筋的应力，可分别按式（6.6）～式（6.14）计算。

（1）预应力钢筋与混凝土的应力①对先张法构件：

由预应力产生的混凝土法向应力：

相应阶段预应力钢筋的有效预应力：σ_pe=σ_con-σ_l-α_Eσ_pc

预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力：

②对后张法构件：

由预应力产生的混凝土法向应力：

相应阶段预应力钢筋的有效预应力：

预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力：

式中　A_n——净截面面积，即扣除孔道、凹槽等削弱部分以外的混凝土全部截面面积，以及纵向非预应力钢筋截面面积换算成混凝土的截面面积之和；

　A₀——换算截面面积，包括净截面面积以及全部纵向预应力钢筋截面面积换算成混凝土的截面面积；

　I₀，I_n——换算截面惯性矩、净截面惯性矩；

　e_p0，e_pn——换算截面重心、净截面重心至预应力钢筋及非预应力钢筋合力点的距离；

　y₀，y_n——换算截面重心、净截面重心至计算纤维处的距离；

　σ_l——相应阶段的预应力损失值，按表6.4计算；

　α E——预应力钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值；N_p0，N_p——先张法构件、后张法构件的预应力；

　σ_p2——由预应力次内力引起的混凝土截面法向应力。

（2）预应力以及合力点的偏心距

①对先张法构件：

②对后张法构件：

式中　σ_p0，σ′_p0——受拉区、受压区预应力钢筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋应力；

　σ_pe，σ′_pe——受拉区、受压区预应力钢筋的有效预应力；

　A_p，A′_p——受拉区、受压区纵向预应力钢筋的截面面积；

　A_s，A′_s——受拉区、受压区纵向非预应力钢筋的截面面积；

　y_p，y′_p——受拉区、受压区预应力合力点至换算截面重心的距离；

　y_s，y′_s——受拉区、受压区非预应力钢筋重心至换算截面重心的距离；

　σ_l5，σ′_l5——受拉区、受压区预应力钢筋在各自合力点处混凝土收缩和徐变预应力损失值；

　y_pn，y′_pn——受拉区、受压区预应力合力点至净截面重心的距离；

　y_sn，y′_sn——受拉区、受压区非预应力钢筋重心合力点至净截面重心的距离。

当式（6.11）至式（6.14）中的A′_p=0时，可取式中σ_l′₅=0；当计算次内力时，式（6.13）及式（6.14）中的σ_l5和σ_l′₅可近似取零。

2）预应力混凝土构件的截面承载力计算

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）给出了预应力混凝土构件截面承载力的计算公式，其实质如下：

①当计算轴心受拉构件的正截面受拉承载力时，将截面面积为A_p的全部预应力钢筋视作强度为f_py的普通钢筋。

②当计算受弯构件、偏心受拉构件、偏心受压构件的正截面承载力时，将截面面积为A_p的受拉区预应力钢筋视作强度为f_py的普通钢筋，将截面面积为A′_p的受压区预应力钢筋视作强度（σ′_p0-f′_py）的普通钢筋。

③预加压力能提高截面的受剪承载力和受扭承载力。

3）预应力混凝土构件的正常使用极限状态

（1）裂缝控制验算

根据正常使用阶段对结构构件裂缝控制的不同要求，将裂缝的控制等级分为三级：一级为正常使用阶段严格要求不出现裂缝；二级为正常使用阶段一般要求不出现裂缝；三级为正常使用阶段允许出现裂缝，但须控制裂缝宽度。具体要求是：

①对裂缝控制等级为一级的构件，要求按荷载效应的标准组合进行计算时，构件受拉边缘混凝土不产生拉应力。即：

式中　σ_ck——荷载标准组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力；

　σ_pc——扣除预应力损失后在抗裂验算边缘混凝土的法向应力，按式（6.6）和式（6.8）计算。

②对裂缝控制等级为二级的构件（一般要求不出现裂缝），要求按荷载标准组合计算时，构件受拉边缘混凝土拉应力不应大于混凝土抗拉强度的标准值，即：

③对裂缝控制等级为三级的构件，要求按荷载效应的标准组合并考虑荷载长期作用影响计算时，裂缝宽度最大值不超过规范规定的限值。即：

式中　ω_max——按荷载的标准组合并考虑荷载长期作用影响计算的最大裂缝宽度；

　ω_lim——规范规定的最大裂缝宽度限值。

对环境类别为二a类的预应力混凝土构件，在荷载准永久组合下，受拉边缘应力尚应符合下列规定：σ_cq-σ_pc≤f_tk。

式中　σ_cq——准永久组合下抗裂验算边缘的混凝土法向应力。

对预应力混凝土轴心受拉构件、受弯构件，纵向受拉钢筋重心一侧混凝土表面的最大裂缝宽度，仍可采用普通钢筋混凝土构件的有关公式计算，但原公式涉及的纵向受拉钢筋面积A_s应改用（A_s+A_p），计算纵向受拉钢筋应力时，原公式中按荷载标准组合计算的轴向力N_k、弯矩Mk应分别改用（N_k-N_p0）、［M_k-N_p0（z-e_p）］，其中N_p0按式（6.11）和式（6.13）计算，e_p按式（6.12）和式（6.14）计算。

（2）挠度验算

预应力混凝土受弯构件的刚度仍可采用普通钢筋混凝土构件的有关公式计算，但其中考虑荷载长期作用对挠度增大的影响系数θ应取2.0。另外，短期刚度B_s应使用《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）给出的预应力混凝土受弯构件的计算公式。

由荷载标准组合下构件产生的挠度减去预应力产生的反拱，即为预应力受弯构件的挠度。对预应力混凝土受弯构件在使用阶段的反拱值计算，在《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）中给出了计算方法。

4）预应力混凝土构件施工阶段验算

预应力混凝土构件在制作、运输和吊装等施工阶段，混凝土的强度和构件的受力状态与使用阶段往往不同，构件有可能由于抗裂能力不够而开裂，或者由于承载力不足而破坏。因此，除了对使用阶段进行计算和验算外，还应对施工阶段的承载力和裂缝控制进行验算。

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定，在预加应力、自重及施工荷载作用下（必要时应考虑动力系数），截面边缘的混凝土法向应力应不超过一定的限值。

・6.3.2　预应力混凝土轴心受拉构件计算和验算要点・

1）使用阶段

（1）承载力计算

当构件受轴向拉力破坏时，由于混凝土开裂而退出工作，所以在裂缝截面处外力全部由预应力钢筋和非预应力钢筋（因运输、吊装需要，在构件中常配置非预应力钢筋）承担，当加载至构件破坏时，它们的应力分别达到各自的强度设计值（σ_p=f_py，σs=f_y），如图6.7所示。可按式（6.18）进行承载力计算：

式中　N——轴向拉力设计值；

　f_py，f_y——预应力钢筋和非预应力钢筋的抗拉强度设计值；

　A_p，A_s——预应力钢筋和非预应力钢筋的截面面积。

图6.7　轴心受拉构件承载力计算简图

（2）抗裂验算

①严格要求不出现裂缝的构件。

式中　σ_ck——荷载标准组合下抗裂验算的换算截面A₀上的混凝土法向应力，σ_ck=N_k/A₀；

　N_k——按荷载效应标准组合计算的轴向拉力；

　σ_pc——扣除全部预应力损失后在抗裂验算边缘混凝土的法向应力。

②一般要求不出现裂缝的构件。要求荷载标准组合下，构件受拉边缘混凝土拉应力不应大于混凝土的抗拉强度标准值。即：

σc_k-σ_pc≤f_tk

（3）裂缝宽度验算

裂缝宽度应满足：

ω_max≤ω_lim

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定预应力混凝土轴心受拉构件的最大裂缝宽度限值ω_lim=0.2 mm。

按荷载标准组合并考虑荷载长期作用影响计算的最大裂缝宽度按式（6.22）计算：

式中　α_cr——构件受力特征系数，预应力混凝土构件当受弯和偏心受压时取1.5，轴心受拉时取2.2。

　ψ——裂缝间纵向受拉钢筋的应变不均匀系数，当ψ＜0.2时，取ψ=0.2；当ψ＞1时，取ψ=1.0。对直接承受重复荷载的构件，取ψ=1.0。

　σ_sk——按荷载标准组合计算的预应力混凝土轴心受拉构件纵向受拉钢筋的等效应力，按式（6.24）计算。

　N_k——按荷载效应标准组合计算的轴向拉力。

　N_p0——混凝土法向应力等于零时的预应力钢筋合力，即：N_p0=σ_p0A_p。

　d_eq——纵向钢筋的等效直径。

　ρ_te——按有效受拉混凝土面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，当ρ_te≤0.01时，取ρ_te= 0.01。

　A_te——轴心受拉构件的截面面积。

其他符号含义同前。

2）施工阶段

（1）施工阶段预压时全截面受压的轴心受压构件

对预压时全截面受压的构件，在预加力、自重以及施工荷载（必要时应考虑动力系数）作用下，其截面的混凝土法向应力应符合下列规定：

式中　σ_cc，σ_ct——相应施工阶段计算截面边缘纤维的混凝土压应力、拉应力，按式（6.28）计算：

　N_k，M_k——构件自重及施工荷载的标准组合在计算截面产生的轴向力值、弯矩值；

　f′_tk——与各施工阶段混凝土立方体抗压强度f′cu相应的抗拉强度标准值；

　W₀——验算边缘的换算截面弹性抵抗矩。

（2）后张法构件端部锚固区的局部受压验算

后张法构件中，预应力钢筋中的预压力是通过锚具传递给垫板，再由垫板传递给混凝土的。预压应力在构件的端面上是集中于垫板下的范围之内，然后在构件内逐步扩散，经过一定的扩散长度后才均匀地分布到构件的全截面上，一般取扩散长度等于构件的截面宽度。

如果预压力很大，垫板面积又较小，离开构件端部一定距离的截面虽然不会破坏，但垫板下的混凝土有可能发生局部挤压破坏。因此，应对构件端部锚固区的混凝土进行局部承压验算。为防止构件端部局部受压面积太小而在使用阶段出现裂缝，混凝土局部受压区的截面尺寸应满足要求；为防止构件端部在压力扩散区段内发生受压破坏，通常在该区段内配置方格网（不少于4片）或螺旋式间接钢筋，并进行局部受压承载力验算。