闸门动力分析的基本理论

7.2　闸门动力分析的基本理论

闸门受到的初始干扰(初速度或初位移)或原有的动力荷载(干扰力)取消后，仅在其自身的惯性力(Miü_i)和弹性恢复力(K_i u_i)作用下产生的振动，称为闸门的自由振动。

闸门受到动力荷载作用下产生的振动，称为闸门的强迫振动。闸门在强迫振动时会产生动位移、动应力、振动速度和加速度，这称之为闸门的动力响应。

闸门动力分析主要介绍闸门的动态特性参数(自振频率、振型和阻尼)和闸门振动的加速度、动位移和动应力的强迫振动响应的理论计算问题。

7.2.1闸门所受的动力荷载(干扰力)

静力荷载与动力荷载的区别在于荷载大小、方向或位置随时间变化的快慢。以闸门的自振周期为参考指标，相对于自振周期变化较慢的荷载称为静力荷载，闸门所产生的加速度可以忽略。反之，相对于自振周期变化较快的荷载称为动力荷载，闸门产生的加速度不可忽略。

闸门动力荷载主要源于闸门开启和关闭全过程的脉动水压力。此外，闸门的摩擦或漂浮物的冲击等也是动力荷载之一。因此，闸门的动力荷载有如下两种。

1.冲击荷载

作用于闸门的时间很短的荷载称为冲击荷载。其特点是荷载在极短的时间内急剧增大或急剧减小，对闸门的作用主要取决于它的冲量。脉冲锤敲击闸门、漂浮物撞击闸门等都属于冲击荷载。

2.随机荷载

随机荷载是一种非确定性荷载，即荷载在未来的任一时刻的数值都是无法具体确定的。如作用在闸门上的脉动水压力，风荷及地震荷载等。

7.2.2闸门振动的微分方程

对闸门进行动力分析时，需要列出并求解其动力方程——振动微分方程。本书所要阐述的闸门动力分析问题，属于具有微小振幅的振动问题，适用于叠加原理，故用来表示闸门质量运动的振动微分方程属于线性方程。

根据工程振动理论，建立闸门的振动微分方程可用牛顿第二定律、拉格朗日运动方程、惯性力法(动静法)等方法。对闸门来说，最简便的方法是惯性力法。即应用达朗伯尔原理，将闸门各部分的惯性力假想地加在闸门上，按静力平衡的方法来建立振动微分方程。具体做法是用影响系数法，即分别建立柔度矩阵(位移是力的函数)和刚度矩阵(力是位移的函数)，然后，根据达朗伯尔原理，在闸门各点上虚加惯性力，由柔度影响系数求得闸门在干扰力(动力荷载)及惯性力共同作用下的位移(位移协调方程)，从而建立闸门的振动微分方程。如果假定闸门为一有限个自由度(n个自由度)的体系，闸门的i点在某一瞬时的振动位移为X_i(t)，则根据上述办法建立闸门的振动微分方程为:

上式为一线性非齐次常微分方程组。式中:［M］、［C］、［K］分别为闸门结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，它们均是n阶矩阵;{X(t)}、{(t)}、{(t)}及{P(t)}分别为闸门n阶的位移向量(列阵)、速度向量(列阵)、加速度向量(列阵)及干扰力(动力荷载)向量(列阵)，它们都是时间t的函数。

在线性问题中，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵中的元素都是常数。

如果干扰力(动力荷载)向量为零，即干扰力取消后，系统仅在其初速度或初位移或两者兼有的作用下，则闸门结构将处于自由振动状态;反之，干扰力向量不为零，即动力荷载存在时，闸门结构处于强迫振动状态。

7.2.3闸门结构的动态特性

闸门结构的自振频率、主振型及阻尼等参数，统称为闸门结构的动态特性参数。

闸门的动态特性参数是闸门动力分析的重要内容之一，特别是闸门的自振频率，它是闸门产生共振的条件之一，要防止闸门出现共振，消除闸门的振动，首先要知道其自振频率。可见，闸门的自振频率是闸门动态特性中的重要数量指标，它只与闸门结构的质量(惯性)和刚度(复原性)有关，与外界的干扰因素无关。

n个自由度的闸门结构体系对应有n个自振频率ω_nj(j= 1，2，…，n)。对于多自由度体系来说，求解ω_nj就要归结到求解体系的广义特征值问题，即求解特征矩阵方程，其特征矩阵方程为:

式中:若令λ_j=，λ_j称为结构的j阶特征值;{A_i}^(j)为j阶自振频率对应的主振型列阵，称为特征向量;［M］、［K］分别为质量矩阵和刚度矩阵。

若式(7-2)具有非零解，则其系数行列式必须为零，即

闸门结构在振动过程中，其在某一特定的初始条件下，闸门各部分质量将以同一自振频率ω_nj、同一相位角φ_j(同步)和不同振幅A^(j)_i做简谐振动。对于同一自振频率ω_nj，各部分质量的振幅(位移值)之间在任何瞬时均保持固定不变的比值，即恒有的关系，亦即闸门结构体系的变形形态保持不变。因此，{A_i}^(j)各元素的比值完全确定了闸门振动的形态。也就是说，对应于每一个自振频率ω_nj，相应的闸门结构振动形态称为闸门的j阶主振型，或称j阶模态。此时，闸门的振动称为第j阶主振动。

主振型可用向量{A_i}^(j)或矩阵［{A_i}⁽¹⁾，{A_i}⁽²⁾，…，{A_i}⁽ⁿ⁾］=［A］来表述，对于同一体系，其任意两个振型之间有着振型正交性的重要特征，即

两式在数学上表示两个主振型向量的数量积为零。

闸门结构的阻尼［C］对振动的影响，一般比闸门结构的质量和刚度对振动的影响小，因此，可以用近似法来表述阻尼矩阵。如果它是一个比例阻尼，可以近似表示为其正比于质量矩阵和刚度矩阵，或正比于它们的线性组合，即

式中:［C］、［M］、［K］分别为闸门结构的阻尼矩阵、质量矩阵和刚度矩阵，α、β为比例系数，它们分别是与自振频率ω_nj和阻尼比ξ_j有关的系数。

综上所述，求解闸门结构的动态特性参数问题就是求解其特征矩阵方程问题，特征矩阵方程是关于特征值λ_j=的一元n次代数方程，由此可以解出闸门结构的n个自振频率和相应的主振型相对值。但n的次数多了就要借助于数值分析和电脑来求解。其中较为方便且有利于电算的有矩阵迭代法等方法(可参阅有关文献)。

7.2.4闸门结构的动力响应

动力分析的主要目的是求解闸门结构的动力响应。若闸门的动力荷载为确定性的荷载，则动力响应求解的关键就在于求得非齐次微分方程(7-1)的解。对于在特殊情况下的简单非耦合体系，容易找到或求得用解析式表示的方程的精确解。但对于复杂的闸门结构来说这是办不到的，是不可能求得其精确解的。要想得到较为理想的动力分析结果，就须将其力学模型的自由度取得多一些，可取到几百上千个，甚至几十万个都可以，这些巨大的计算工作量，可借助数值积分方法用电脑解决。此外，当对式(7-1)进行一般的数学变换又不能消除耦合、任意阻尼和非线性等问题时，也需求助于数值积分方法。

目前求解式(7-1)的方法大致可分为两大类:一类是解耦分析法(振型叠加法)，另一类为直接积分法。

解耦分析法用于求解自由度数目相对较少、易于解耦的结构体系。解耦分析法的思路是:首先采用矩阵迭代法求解体系的动态特征参数(模态参数)ω_nj和ξ_i，从而建立主振型矩阵(解耦矩阵)［A_p］;然后用解耦分析法(振型叠加法)将多自由度的闸门结构体系分解为单个自由度体系的叠加，而单个自由度体系的动力响应问题可以用杜哈美积分求解，这样就可以求解式(7-1)，得到闸门结构强迫振动的响应。

直接积分法则可用于解决工程振动的绝大多数问题，它采用了多种数值积分方法，包含有中心差分法、威尔逊-θ法、Newmark法和Houbolt法等。对闸门这样的复杂结构，一般采用后一种直接积分法求解。直接积分法的基本思路是:将本来应寻求的、任何时刻t都满足闸门结构振动微分方程的位移向量X(t)，代之以寻求仅在离散时刻点t_i(i= 1，2，3，…)满足这一组方程的X_ti，当然X_ti不完全是X(t_i)，故而其导出的解为近似解。为了提高计算精度、稳定性和降低计算费用，在每个时间间隔Δt内，位移、速度、加速度都被特别地假设为某种变化规律，各种不同的假设也就引出了上述各种不同的算法。

直接积分法的误差依赖于积分的每一步截断误差和舍入误差，以及每步误差在以后各步中的传播情况，前者与积分步长有关，后者取决于算法本身的稳定性。

7.2.5闸门结构的随机振动问题

闸门振动的激励因素主要是脉动水压力。此外，闸门启闭过程的摩擦力或水面漂浮物的冲击等也可能引起闸门的振动。总的来说，引起闸门振动的激励均为非确定性荷载，即使是确定性荷载，但闸门本身的形状参数、材料参数等也具有非确定性，因此，闸门结构的强迫振动一般都属于随机振动。

随机振动的不确定性和不规则性是对单个现象观测而言的。实际上，大量同一随机振动的测试结果都存在一定的统计规律性。也就是说，所谓统计规律性就是在一定条件下多次重复某项实验或观察某种现象所得的结果呈现的规律性。因此，要研究随机振动，就要研究大量实验数据的统计规律性，我们在上一章闸门的动态检测中已作过专门介绍。

目前求解闸门门体的随机振动问题方法不少，但几乎最后都归结到结构可靠度问题上来，这是结构设计从定值法向概率设计法转轨的必经之路和方向。线性、平稳随机振动理论现已较成熟，非线性、非平稳问题正在发展，为了稳妥，通常尽量把非线性、非平稳问题转化为线性、平稳问题。例如，地震是典型的非平稳随机过程，但如只考虑地震的强震阶段，就可以将地震时地面运动简化为一个平稳运行过程。因此，结构的地震响应也可以在一段过渡期后被认为是平稳随机过程，这样就便于研究结构的随机振动问题了，而且工程结构抗震所关心的结构最大动力响应往往就出现在强震阶段(平稳随机过程中)。同样的道理，闸门在脉动水压力作用下产生的随机振动响应问题也是取其强振阶段来研究，这样闸门的随机振动就可认为是一平稳随机过程，问题就可以解决了。