分形理论简介

5．3．1　分形理论简介

1．分形理论的诞生

客观世界的不规则性促使人们去了解和研究这类“不光滑集”，于是，分形几何学应运而生。早在20世纪初，英国剑桥大学Besicovitch学派便开展分维数集合的几何研究^［164］。1967年，Mandelbrot在美国权威学术刊物《科学》上发表了论文“英国的海岸线有多长”，文中他做出了令人震惊的答案：“英国海岸线的长度是不确定的！”，其原因在于海岸线长度依赖于测量时所用的尺度。他首次提出“分形”，开创了一种崭新的理论萌芽。1973年，Mandelbrot在法兰西学院讲学时，指出分形几何可以处理客观世界中那些极不规则的构型，阐述了分形几何的思想。1975年，Mandelbrot首先提出“fractal（分形）”概念，fracta1源于拉丁文“fractus”，原意是“不规则或破碎”。1977年，他出版了第一本书《分形：形态、偶然性与维数》（Fractal：Form，Chance　and Dimension）；1982年，他出版了著名的专著《自然界的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature），这两部著作的发表标志着分形理论的诞生^{［165～167］}。

Mandelbrot创立的“分形几何学”（Fractal geometry）是处理一些极不规则但又有自相似“层次”结构的几何对象的有利工具^［168］。他最大的贡献在于提出了“物体或几何图形维数的变化可以是连续的”这一惊人的论断，即其维数可以不是整数。1982年，他给出了分形的定义：如果一个集合在欧氏空间中的Hausdorff（豪斯道夫）维数Df严格大于拓扑维数Dt，则称该集合为分形集合，简称为分形集。1986年，他又给出分形的另一个定义：分形是局部和整体有某种方式相似的形。后一种概念比较形象和具体，强调图形中局部和整体之间的自相似性，体现了分形具有跨越不同尺度的对称性^［169］。Mandelbrot成功地发展了分形几何学的理论，因此享有崇高的声誉，在科学界被同行尊称为“分形之父”^［170］。分形几何开阔了人类眼界，启发了科学家的思维。

自然界大多数物体的形状是极不规则的、极不光滑的，分形现象广泛地存在于自然界各个方面。例如，浮动翻卷的云朵、深邃莫测的星空、令人眼花燎乱的宇宙星系、变化无常的闪电径迹、纷扬飘舞的雪花、弯弯曲曲的海岸线、连绵起伏的山脉轮廓、粗糙不平的断面、九曲回肠的河流、枝繁叶茂的树木和根系；纵横交错的血管、人体的经络结构、小肠的绒毛组织、大脑皮层褶皱、肺部支气管的分布；晶体的结构、铁磁材料的磁畴、金属断裂的断口……^［171］，这些用规则的几何图形显然是无法描绘的。此外分形现象还可以描述人类社会中普遍存在的各种不规则现象，如动荡的股市、经济收入分配关系、棉花的价格波动、一些传染病的流行过程等等，它们不能用传统的几何方法来加以描绘^［172］。可见，分形现象是自然界中无处不在的一种普遍现象，它们的特点是极不规则或极不光滑，然而放大或缩小若干倍后，共同特征就是都存在着自相似性（self－similarity）。因此，大自然中普遍存在的自相似现象都可以用分形来描述，分维数是描述分形的定量参数。

随着科学的不断进步和人们对自然及社会认识的进一步深入，促进了新型的能够描述大自然丰富多彩面貌的几何学———分形理论的产生。分形理论是近二十年发展起来的一门新学科，主要研究无特征尺度的自相似性。分形理论自诞生之日起就与应用研究密不可分，已被广泛地应用于物理学、化学、生物学、医学、地质学、冶金学、岩石力学、材料工程等众多领域，在经济学、书法艺术学、社会科学等其他方面也展现了令人注目的广阔的应用和发展前景^{［173～177］}。

2．分形的定义及特征

（1）分形的定义

所谓分形（fractal）是指某种具有不规则、破碎形状的、同时部分又与整体具有某种方式下的相似性，其维数不必为整数维的几何体或演化着的形态。需要注意的是，分形形体不是任意复杂和粗糙的形体或形态，而是“粗糙同时又自相似”，介于几何混沌和欧氏几何之间的第三种可能类型的图形。

（2）分形的主要特征

分形维数（又称分维数）简称为分维，其变化是连续的，定量地描述分形结构的自相似程度、不规则程度或破碎程度。分形的主要特征如下：

①自相似性

自然界有许多类似海岸线的复杂曲线，都有一个重要性质———自相似性。所谓自相似性是指某种结构或过程的特征从不同空间尺度或时间尺度来看都是相似的。也就是局部与整体相似，局部中又有相似的局部，每一小局部中包含的细节并不比整体所包含的少，不断重复的无穷嵌套，形成了奇妙的分形图案，它们不但包括严格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈现出的自相似性。分形的自相似性可以概括表达为^［178］：

自相似性是分形体的本质特征，其特点存在于一定标度范围内，这种局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似的特征，被Mandelbrot称为自相似性。

②标度不变性^［179］

所谓标度不变性是指在分形上任选某局域对它进行放大，这时得到的放大图又会显示出原图的形态特征。从整体上看，分形几何图形处处不规则，如薄膜生长图形，但在不同尺度上，图形的规则性又是相同的，其局部形状和整体形状相似。具有自相似性的范围就叫做无标度区，具有无标度性特征物就是分形物。因此，分形是一种无标度性对象。

③分维性

分形物不能用长度、面积、体积等规则几何对象的整数维来度量和表征，分形的特征是分数维。分维是对分形对象内部不均匀性、层次结构性的整体数量特征的刻画。复杂的分形一般需要同时运用多种分维来刻画。

④拥有生成元^［180］

生成元又叫分形元。分形体系内任何一个相对对立的部分，在一定程度上都是整体的再现和缩影。构成分形整体相对独立的部分称为生成元或分形元。判断一个事物是否为分形物的特征之一就是看它是否拥有生成元。