间接测量中误差的合成和估计

2．4．2　间接测量中误差的合成和估计

在实际测量中，误差常来源于许多方面，测量结果的总误差是测量各环节误差因素共同作用的结果。由此看出，测量总误差通常总是与有关的若干分项误差有关。

已知被测量与各参数的函数关系及各个测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差合成。误差合成在实际测量工作中常常被用到。

1）误差传递公式

测量的传递关系可直接用于已知确定性误差的传递计算。

（1）按定义计算测量结果的误差

设某量y由m个分项x₁，x₂，…，x_m合成，即

若各分项的实际值（真值）分别为x₁₀，x₂₀，…，xm0，各分项独立的绝对测量误差分别为：

Δx₁＝x₁－x₁₀

Δx₂＝x₂－x₂₀

┇

Δx_m＝x_m－x_m0

若y的实际值（真值）为y₀，误差Δy＝y－y₀，则由式（2．15）可得：

式（2．16）是直接按定义计算误差传递的方法，适于单独分析某项误差因素对测量结果的影响，特别是对不能化为简单线性关系时更有意义。但这种方法没有给出简明的传递关系，实用上较繁琐，若用于分析多因素的影响，缺点更为突出，因而有一定的局限性。

（2）绝对误差传递公式——误差传递函数计算的线性化

设某量y由m个分项x₁，x₂，…，x_m合成，其函数关系为：

y＝f（x₁，x₂，…，xm）

若x₁，x₂，…，x_m之间彼此独立无关，且只含确定性误差分别为Δx₁，Δx₂，…，Δx_m，它们的实际值（真值）分别为x₁₀，x₂₀，…，x_m0。由式（2．16）得函数y的误差为：

Δy＝f（x₁，x₂，…，x_m）－f（x₁₀，x₂₀，…，x_m0）

若在y₀＝f（x₁₀，x₂₀，…，x_m0）附近各阶偏导数存在，可把y按泰勒级数展开并略去展开式中2次以上的高阶无穷小高次项，以得到简明的误差关系式：

将展开式代入Δy式中，得

式（2．17）是绝对误差的传递公式。是误差传递系数。

式（2．17）中偏导数可用实际值（真值）x_i0代入求得，也可用测得值x_i代入求得。因x_i与x_i0差别甚小，相应的偏导数值十分接近。

式（2．17）表明，总误差Δy是各分项误差Δx_i与其传递系数的代数和，是线性化了的简单的误差传递关系。因为在作线性化处理时忽略了2次以上的高次项，所以严格说来，这是一个近似的关系式。但就一般情况而言，测量误差Δx_i相对来说是很小的，被略去的高次项也可忽略不计。式（2．17）实用上已具有足够的精度，所以应用广泛。

【例2．5】 电阻R由R₁、3R₂、2R₃串联而成，若已知R₁、R₂、R₃的测量误差分别是ΔR1、ΔR₂、ΔR₃，求R的误差。

解：由所给条件 R＝R₁＋3R₂＋2R₃，即 R＝f（R₁，R₂，R₃），可得：

【例2．6】 用间接法测量电阻消耗的功率，设电压U、电流I和电阻R的相对测量误差分别为ΔU／U、ΔI／I、ΔR／R，试求用以下三种方案所求出功率P的相对误差：①P＝UI；②P＝U²／R；P＝I² R。

解：

方案1：由式（2．17）得绝对误差为：

相对误差为：

方案2：由P＝U²／R和式（2．17）得绝对误差为：

相对误差为：

方案3：由P＝I² R和式（2．17）得绝对误差为：

相对误差为：

（3）相对误差传递公式

式（2．17）两边分别除以y，则可得相对误差的传递公式：

式（2．18）可表示为：

或

上式是相对误差传递公式，它说明对函数两边分别取自然对数，再求全微分，然后求和即可得到y的合成相对误差，计算比较方便。

【例2．7】 用相对误差公式重新计算上例。

解：

方案1：由P＝UI和式（2．18）得：

方案2：由P＝U²／R和式（2．18）得：

方案3：由P＝I² R和式（2．18）得：

2）典型函数的合成误差

（1）和差函数的合成误差

设y＝x₁±x₂，其绝对误差为：

若各分项误差的符号不能预先确定时，按最坏的情况考虑，Δx均为正或均为负，则估计最大可能的相对误差为从最大误差出发，仍取绝对值相加，即

相对误差为：

或

式中：γ_x1和γ_x2为各单项相对误差。

数值较大的那个量的相对误差在合成的总误差中占主要比例。为了减小合成误差，首先要减小测量这个量时的局部相对误差。此外，合成相对误差不会大于各局部相对误差中的最大者。当分项相对误差的符号为未知时，上两式仍需取绝对值相加。

由上式可见，差函数时，当x₁和x₂比较接近时，其合成误差比较大，所以通过两个量之差求被测量这种方法应尽量少用。

（2）积函数的合成误差

设y＝x₁x₂，对y求全微分得其绝对误差为：

要求其相对误差，可对y取对数再求全微分，即

式（2．26）说明，由积函数的合成相对误差等于各分项相对误差之和。当γ_x1和γ_x2分别有“±”号时，从最大误差出发，总误差应等于各分项误差绝对值之和，即

【例2．8】 已知电阻上的电压和电流的误差分别为±2．0%和±1．5%，求电阻耗散功率的相对误差。

解：电阻耗散的功率为P＝UI，此为积函数。根据式（2．27）得：

γ_Pm＝±（｜γ_U｜＋｜γ_I｜）＝±（2%＋1．5%）＝±3．5%

（3）商函数的合成误差

已知y＝x₁／x₂为商函数，对y求全微分可得其绝对误差为：

对y取对数，然后微分得到相对误差为：

可见，商函数的合成相对误差是各分项相对误差之差。但由于γ_x1和γ_x2往往前面有“±”号，从最大误差出发，仍取各分项误差的绝对值相加，即

【例2．9】 求电阻R₁和R₂并联后的总误差。

解：由题意得，由式（2．17）得绝对误差为：

因为：

所以：

将上式等号两边除以R的相对误差：

相对误差亦可由式（2．18）求得：

由相对误差关系可看出，若γ_R1＝γ_R2，则

γ_R＝γ_R1＝γ_R2

表示相对误差相同的电阻并联后，总相对误差与单个电阻的相对误差相同。

（4）幂函数的合成误差

设，k为常数，可见y是幂函数。对y取对数，然后微分，得合成误差为：

式中：n、m和p为指数，可能为整数、分数、正数或负数。若为正数则求积，负数则求商。

【例2．10】 用间接法测量某电阻消耗的电能，设测量电压U的相对误差为±1%，测量电阻R的相对误差为±0．5%，测量时间t的相对误差为±1．5%，求通过计算得出的消耗电能W的最大相对误差。

解：计算电能公式为：

W＝U² Rt

γ＝nγ₁＋mγ₂＋pγ₃＝2×1%＋1×0．5%＋1×1．5%＝4%

由绝对误差传递公式或相对误差传递公式均可计算出总的绝对误差与相对误差，实际计算时可根据具体情况选择。一般情况下，函数关系为和、差时，直接求偏微分计算较方便；对积、商、乘方、开方等关系，取对数后变为和、差式计算较方便。