2．2．4 两直线的相对位置
空间两直线的相对位置可以有平行、相交、交叉和垂直四种情况。
1．两直线平行
空间两直线平行，则它们的同面投影必然相互平行。如图2．2．7所示，AB∥CD，则ab ∥cd，a′b′∥c′d′。
反之，如果两直线的各个同面投影相互平行，则两直线在空间也一定相互平行。
空间两直线平行，则其各同面投影的长度之比也必相等，即ab∶cd＝a′b′∶c′d′。
两直线平行判定如下。
①若要从投影图上判断两条一般位置直线是否平行，只要看它们的两个同面投影是否平行即可。
图2．2．7 两直线平行
②若要从投影图上判断两条某一投影面的平行线是否平行，则需要通过两直线在该投影面上的投影是否平行来判断，即：
水平线，看其水平投影是否平行；
正平线，看其正面投影是否平行；
侧平线，看其侧面投影是否平行。
2．两直线相交
空间两直线相交，则它们的各同面投影也必定相交，并且交点符合点的投影规律。如图2．2．8所示，AB、CD相交于K，则k、k′一定分别是ab与cd、a′b′与c′d′的交点，且k、k′是K点的两个投影，kk′必垂直于OX轴。
两直线相交的判定如下。
①对于两条均为一般位置直线的情况，只要任意两个同面投影的交点的连线垂直于相应的投影轴，即可判定这两条直线在空间一定相交。
②对于一条为一般位置直线，一条为投影面平行线的情况：
利用第三面投影进行判定；
利用直线上的点分线段为定比进行判定。
图2．2．8 两直线相交
3．两直线交叉
当空间两直线既不平行也不相交时，称为两直线交叉。
两交叉直线的同面投影可能平行，也可能相交（图2．2．9（a））。
两交叉直线若其同面投影都相交，则是由于两直线上点的同面投影重影所致（图2．2．9（b））。
图2．2．9 两直线交叉
（a）一面投影相交，一面投影平行；（b）两面投影均相交
两直线交叉的判定：若两空间直线有两个同面投影相交，但两交点的连线不垂直于相应的投影轴，则可判定这两直线交叉。
4．两直线垂直
互相垂直的两直线，可能是相交的，也可能是交叉的，所以垂直是相交或交叉的特例。
一般情况下，两垂直直线的投影并不垂直。
特例：互相垂直的两直线中有一条平行于某一投影面时，在其投影面上的投影相互垂直，如图2．2．10所示。
图2．2．10 两直线垂直
两直线垂直的判定：若两直线的某一面投影互相垂直，且其中有一条直线平行于该投影面，则这两直线在空间一定互相垂直。
【例3】 已知两直线AB、CD相交，求直线CD的V面投影，如图2．2．11（a）所示。
作图步骤：根据相交两直线的投影特点，过直线ab、cd的交点引OX轴的垂线并延长交a′b′于一点，连接c′与该点并延长，与过d点并与OX轴垂直的直线相交于点d′，连接c′d′，即为所求，如图2．2．11（b）所示。
图2．2．11 补全相交两直线的投影
（a）题图；（b）图解
【例4】 已知四边形ABCD的正面投影及AB、BC边的水平投影，补全平面ABCD的水平投影，如图2．2．12（a）所示。
图2．2．12 补全平面的水平投影
（a）题图；（b）图解
作图步骤：根据四边形ABCD为平面，其对角线AC、BD必共面，对角线相交且交点必符合点的投影规律。
（1）如图2．2．12（b），在V投影面上连接a′c′、b′d′，设交点为e′。
（2）在H投影上面连接ac，过e′作OX轴的垂线并延长与ac相交，得交点e。
（3）连接be并延长，过点d′作OX轴的垂线并延长与be的延长线相交，交点为d。
（4）连接ad、cd，则abcd即为所求。
课后作业
1．根据形体的直观图，在投影图上标出直线AB、BC、CD、EF的投影，并判别它们对投影面的相对位置。
2．补画下列直线的第三面投影，并判别各直线对投影面的相对位置。
3．已知直线CD两端点坐标C（30，5，10），D（10，20，10），作它们的三面投影图，并判别CD对投影面的相对位置。
4．回答下列直线对各投影面的倾角。
5．在AB线上定一点K，使AK∶KB＝3∶2。
6．在CD线上定一点K，使CK＝10。
7．已知水平线AB长为30mm，对V面夹角β＝30°，求它的两面投影。
8．判别下列两直线的相对位置（平行、相交、交叉）。
9．已知直线AB、CD相交，CD为水平线，求作c′d′。
10．过A点分别作水平线和正平线与直线MN相交。
11．过A点作正平线与直线CD相交。
12．已知AB、CD两直线相交于点K，求直线AB的正面投影。
13．作直线MN，使其平行于EF且与AB、CD都相交。
14．作直线EF平行于直线AB且与直线CD相交。
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