正等测画法

时间：2023-10-22 百科知识版权反馈

【摘要】：当投影方向S与轴测投影面P垂直，且空间直角坐标系中的各轴均与投影面P成相同的角度时，所形成的轴测投影即为正等轴测投影，简称“正等测图”。由于它画法简单，立体感较强，所以在工程上较常用。图2．7．5是按简化轴向伸缩系数为1画出的正等测图。一般情况下，圆的正等测投影为椭圆。图2．7．15是平面图形的正等测图。

2．7．2　正等测画法

当投影方向S与轴测投影面P垂直，且空间直角坐标系中的各轴均与投影面P成相同的角度时，所形成的轴测投影即为正等轴测投影，简称“正等测图”。由于它画法简单，立体感较强，所以在工程上较常用。

1．轴间角和轴向变形系数

根据计算，正等测的轴向伸缩系数p＝q＝r＝0．82，轴间角∠X₁O₁Y₁＝∠X₁O₁Z₁＝∠Y₁O₁Z₁＝120°。画图时，规定把O₁Z₁画成铅垂位置，因而O₁X₁轴及O₁Y₁与水平线均成30°角，故可直接用30°三角板作图（如图2．7．3所示）。

图2．7．3　正等测的轴间角及轴向变形系数

为作图方便，常采用简化伸缩系数，即取p＝q＝r＝1。这样便可按实际尺寸画图。但画出的图形比原轴测投影大些，各轴向长度均放大＝1．22倍。

图2．7．4是按轴向伸缩系数为0．82画出的正等测图。图2．7．5是按简化轴向伸缩系数为1画出的正等测图。

2．点的正等测投影的画法

图2．7．6示出点A（X_A，Y_A，Z_A）的三面正投影图，依据轴测投影基本性质及点的投影与坐标的关系，便可作出图2．7．7所示的点A的正等测投影图。其作图步骤如下：

图2．7．4　按轴向变形系数为0．82画正等测图

图2．7．5　按轴向变形系数为1画正等测图

图2．7．6　点的投影

图2．7．7　点的正测图

①作出正等轴测轴O₁Z₁、O₁X₁及O₁Y₁；

②在O1X1轴上截取O1ax1＝XA；

③过点a_x1作直线平行于O₁Y₁轴，并在该直线上截取a_x1a₁＝Y_A；

④过点a₁作直线平行于O₁Z₁轴，并在该直线上截取A₁a₁＝Z_A，得A₁，点A₁即为空间点A的正等测图。

应指出的是，如果只给出轴测投影A₁，不难看出，点A的空间位置不能唯—确定。实际上点的空间位置是由它的轴测投影和次投影确定的。所谓次投影，是指点在坐标面上的正投影的轴测投影。如点A的空间位置就是由A₁和A在XOY坐标面上的正投影a的轴测投影来确定的。

【例1】　已知斜垫块的正投影图（图2．7．8），画出其正等测图。

图2．7．8　斜垫块的正投影图

作图步骤：（1）在斜垫块上选定直角坐标系；

（2）如图2．7．9（a），画出正等轴测轴，按尺寸a、b，画出斜垫块底面的轴测投影；

（3）如图2．7．9（b），过底面的各顶点，沿O₁Z₁方向，向上作直线，并分别在其上截取高度h₁和h₂，得斜垫块顶面的各顶点；

（4）如图2．7．9（c），连接各顶点画出斜垫块顶面；

（5）如图2．7．9（d），擦去多余作图线，描深，即完成斜垫块的正等测图。

图2．7．9　作垫块的正等测图

（a）作底面矩形；（b）取各棱线高；（c）画项面；（d）加深

【例2】　已知形体的正投影图（图2．7．10），画出其正等测图。

图2．7．10　形体的正投影图

分析：形体由矩形底块和楔形斜板组成。坐标原点和坐标轴的确定如图2．7．10所示。可以看出，楔形板各侧棱线都不与坐标轴平行，其轴测投影的长度并不按正等测轴向变形系数缩变。画这些棱线时应先沿轴测量，画出棱线端点的轴测投影。

作图步骤：（1）如图2．7．11（a），画出正等测轴，根据正投影图，画出矩形底块的轴测投影。（2）如图2．7．11（b），作楔形板上、下底面的轴测投影。①自原点O₁沿O₁Z₁轴向上量取20mm，得点E₁。②过点E₁作OX₁轴平行线，并在其上自点E₁向右量取6mm，得点A₁，再量取6mm，得点B₁。

③分别过点A₁和B₁作O₁Y₁轴平行线，并在其上分别沿O₁Y₁方向量取楔形板上底面的长度尺寸，得点C₁和D₁。平面图形A₁B₁C₁D₁即为上底的轴测投影。

④在O₁X₁Y₁面上，作出楔形板下底面的轴测投影。

（3）见图2．7．11（c），作出各侧棱线，擦去多余作图线，描深，即完成形体的正等测图。

图2．7．11　作形体的正等测图

（a）画轴测轴和矩形底块；（b）画楔形板各顶点；（c）画各棱线，加深

3．圆的正等测投影的画法

一般情况下，圆的正等测投影为椭圆。画圆的正等测投影时．一般以圆的外切正方形为辅助线。先画出外切正方形的轴测投影——菱形，然后再用四心法近似画出椭圆。

现以图2．7．12所示水平位置的圆为例，介绍圆的正等测投影的画法。其作图步骤如下。

图2．7．12　水平圆的正投影

①在图2．7．12所示的正投影图上，选定坐标原点和坐标轴，并沿坐标轴方向作出圆的外切正方形，得正方形与圆的四个切点A、B、C和D。

②画出正等轴测轴O1X1和O1Y1，沿轴截取O1A1＝OA，B1O1＝BO，C1O1＝CO，O1D1＝OD，得点A1、B1、C1 和D₁，如图2．7．13（a）所示。

③过点A₁、B₁作直线平行于O₁Y₁轴，过点C₁、D₁作直线平行于O₁X₁轴，交得菱形A₁B₁C₁D₁，此即为圆的外切正方形的正等测投影，如图2．7．13（b）所示。

④以点O₀为圆心，以O₀B₁为半径作圆弧，以点O₂为圆心，以O₂A₁为半径作圆弧，如图2．7．13（c）所示。

⑤作出菱形的对角线，线段O₂A₁、O₀B₁分别与菱形长对角线交于点O₃、O₄。以点O₃为圆心，O₃A₁为半径作圆弧；以点O₄为圆心，O₄C₁为半径作圆弧，如图2．7．13（d）所示。

图2．7．13　圆的正等测图的近似画法

（a）画轴测轴，截取四个点；（b）过四点作菱形；（c）画大圆弧；（d）画小圆弧

以上四段圆弧组成的近似椭圆，即为所求圆的正等测投影。

图2．7．14示出三个坐标面上相同直径圆的正等测投影，它们是形状相同的三个椭圆。

每个坐标面上圆的轴测投影（椭圆）的长轴方向与垂直于该坐标面的轴测轴垂直，而短轴则与该轴测轴平行。

以上圆的正等测的近似画法，也适用于平行坐标面的圆角。

如图2．7．15（a）所示，平面图形上有四个圆角。每一段圆弧相当于整圆的四分之一。其正等测参见图2．7．15（b）。每段圆弧的圆心是过外接菱形各边中点（切点）所作垂线的交点。

图2．7．14　各坐标面圆的正等测投影

图2．7．15（c）是平面图形的正等测图。其中圆弧D₁B₁是以O₂为圆心，R₂为半径画出的；圆弧以O₃为圆心，R₃为半径画出，D₁、B₁、C₁等各切点，均利用已知的r来确定。

4．曲面立体正等测投影图的画法

画回转体的轴测投影，应首先掌握圆的正等测投影，特别是要掌握与坐标面平行或重合的圆的正等测投影的画法。

1）圆柱的正等测图

【例3】　作出图2．7．16（a）所示圆柱的正等测图。

分析：根据圆柱的对称性和可见性，可选圆柱的顶圆圆心为坐标原点，如图2．7．16（a）所示，这样便于作图。

图2．7．15　圆角正等测图画法

（a）平面图形；（b）圆的正等测图；（c）平面图形的正等测图

图2．7．16　圆柱正等测图的画法

（a）圆柱投影图；（b）顶圆轴测图；（c）画底圆和转向轮廓线；（d）结果

作图步骤：（1）以圆柱顶圆圆心为坐标原点，选定坐标轴，如图2．7．16（a）所示。

（2）作轴测轴，画出顶圆的轴测图，如图2．7．16（b）所示。

（3）从顶圆圆心向下量取h，作底圆的轴测图，并作出平行于Z₁轴并与两椭圆相切的转向轮廓线，如图2．7．16（c）所示。

（4）擦去作图线，并加深，结果如图2．7．16（d）所示。

从图2．7．16（c）中可知，圆柱底面后半部分不可见，故不必画出。由于上、下两椭圆完全相等，且对应点之间的距离均为圆柱高度h，所以只要完整地画出顶面椭圆，则底面椭圆的三段圆弧的圆心以及两圆弧相连处的切点，沿Z₁轴方向向下量取高度h即可找出。这种方法称为移心法，可简化作图过程。

轴线垂直于V面、W面的正圆柱的轴测图画法与垂直于H面的相同，只是椭圆长轴方向随圆柱的轴线方向而异，即圆柱顶面、底面椭圆的长轴方向与该圆柱的轴线垂直，如图2．7．17所示。

图2．7．17　三个方向圆柱的正等测图

2）斜截圆柱的正等测图

【例4】　作出图2．7．18（a）所示形体的正等测图。

分析：由投影图可知圆柱被一个平面截切，截切后的截交线是椭圆弧。作图时应先画未截切之前的圆柱，再画斜截面。

作图步骤：（1）画圆柱的左端面。选定轴测轴，画外切菱形和四心椭圆，如图2．7．18（b）所示。

（2）沿O₁X₁轴向右量取X，作右端面椭圆，作平行于O₁Y₁轴的直线与两椭圆相切，完成圆柱的正等测图，如图2．7．18（c）所示。

（3）用坐标法作出截面上—系列的点。先作最低点1₁和2₁。可在左端面上沿O₁Z₁轴向下量Z₁．再引线平行于O₁Y₁轴，交椭圆于点1₁、2₁，如图2．7．18（d）所示。再作最前点3₁、最后作点4₁和最高点5₁。分别过中心线与椭圆的交点引平行于O₁X₁轴的圆柱素线，对应量取X₁和X₂，得点3₁、4₁和5₁，如图2．7．18（e）所示。在适当位置作中间点。先在投影图上选定点6₁、7₁，再沿O₁Z₁向上量取Z₂并作直线平行于O₁Y₁轴，向右量取X₂，可得点6₁和7₁，如图2．7．18（f）所示。