平面与平面立体的截交线

3.3.2　平面与平面立体的截交线

平面与平面立体相交，截交线是由直线围成的平面图形。多边形的各边是截平面与平面立体各表面的交线，其各顶点是平面立体的棱线与截平面的交点或两条截交线的交点。求截交线时，可根据具体情况选择求两平面的交线或求直线与平面的交点或两者兼用等方法。

例3.9　求三棱锥SABC被正垂面P截切后的投影。

分析：如图3.16（a）所示，截平面P与三棱锥的各个棱线均相交，其截交线为三角形，三角形的三个顶点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ即为三棱锥的三条棱线与截平面的交点。因为截平面为正垂面，所以截交线的正面投影积聚为直线，为已知投影，其水平投影和侧面投影均为三角形。作图步骤如下：

①如图3.16（b）所示，标出点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1′、2′、3′；

②按照投影规律求出截交线的水平投影1、2、3和侧面投影1″、2″、3″；

③1、2、3和1″、2″、3″均可见，所以△123和△1″2″3″亦可见，将其连成粗实线；

④整理轮廓线。将棱线的水平投影加深到与截交线水平投影的交点1、2、3点处；同理，棱线的侧面投影加深到1″、2″、3″点处。

图3.16　三棱锥的截交线及投影

例3.10　求如图3.17（a）所示五棱柱被正垂面P截切后的水平投影和侧面投影。

分析：因为截平面为正垂面P，所以截交线的正面投影都重合在P上，即截交线的正面投影已知，只要作出截交线的水平投影，则可作出截交线的侧面投影，从而完成五棱柱被切割后的侧面投影。作图步骤如下：

①如图3.17（b）所示，画出五棱柱的侧面投影；

②在已知的正面投影上标出截交线上各点的投影a′、b′、c′、d′、e′；

③由五棱柱的积聚性，求出各点的水平投影a、b、c、d、e；

④由各点的水平投影和正面投影求出其侧面投影a″、b″、c″、d″、e″；

⑤截交线的三面投影均可见，按顺序用粗实线连接各点的同面投影；

图3.17　五棱柱的截交线及投影

⑥整理轮廓线。