平面与回转体的截交线

3.3.3　平面与回转体的截交线

平面与回转体相交，其截交线一般是直线、曲线或直线和曲线围成的封闭的平面图形，这主要取决于回转体的形状和截平面与回转体的相对位置。当截交线为一般曲线时，应先求出能够确定其形状和范围的特殊点，它们是曲面立体转向线上的点，以及最左、最右、最前、最后、最高和最低点等。然后再按需要作适量的一般位置点，连成截交线。下面研究几种常见曲面立体的截交线，并举例说明截交线投影的作图方法。

1.平面与圆柱相交

平面与圆柱相交，由于截平面与圆柱轴线的相对位置不同，截交线有三种形状：矩形、圆及椭圆，见表3.1。

表3.1　平面截切圆柱的截交线

例3.11　如图3.18（a）所示，求正垂面P截切圆柱的侧面投影。

分析：如图3.18（a）所示，圆柱轴线为铅垂线，截平面P倾斜于圆柱轴线，故截交线为椭圆，其长轴为ⅠⅡ，短轴为ⅢⅣ。因截平面P为正垂面，故截交线的正面投影积聚在p′上；又因为圆柱轴线垂直于水平面，其水平投影积聚成圆，而截交线又是圆柱表面上的线，所以，截交线的水平投影也积聚在此圆上；截交线的侧面投影为不反映实形的椭圆。

截交线上的特殊点包括确定其范围的极限点，即最高、最低、最前、最后、最左、最右各点，以及圆柱体转向轮廓线上的点（对投影面的可见与不可见的分界点），截交线为椭圆时还需求出其长短轴的端点。点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ即为特殊点，其中，Ⅰ、Ⅱ分别为最低点（最左点）和最高点（最右点），同时也是长轴的端点；Ⅲ、Ⅳ分别为最前、最后的点，也是椭圆短轴的端点。若要光滑地将椭圆画出，还需在特殊点之间选取一般位置点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ。截交线有可见与不可见之分时，分界点一般在转向线上，其判别方法与曲面立体表面上点的可见性判别相同。

图3.18　圆柱的截交线及投影

作图步骤如下。

①找特殊点。如图3.18（b）所示，在已知的正面投影和水平投影上标明特殊点的投影1′、2′、3′、4′和1、2、3、4，然后再求出其侧面投影1″、2″、3″、4″，它们确定了椭圆投影的范围。

②求一般位置点。选取一般位置点的正面投影和水平投影为5′、6′、7′、8′和5、6、7、8，按投影规律求得侧面投影5″、6″、7″、8″。

③判别可见性，光滑连线。椭圆上所有点的侧面投影均可见，按照水平投影上各点的顺序，光滑连接1″、5″、3″、7″、2″、8″、4″、6″、1″诸点成粗实线，即为所求截交线的侧面投影。

④整理轮廓线，将轮廓线加深到与截交线相交的点处，即点3″和点4″处，轮廓线的上部分被截掉，不应画出。

例3.12　如图3.19（a）所示，补全圆柱被开槽后的水平投影和侧面投影。

分析：圆柱上端开一通槽，是由两个平行于圆柱轴线的侧平面和一个垂直于圆柱轴线的水平面截切而成。两侧平面与圆柱面的截交线均为两条铅垂素线，与圆柱顶面的交线分别是两条正垂线；水平面与圆柱的截交线是两段圆弧。

作图步骤如下。

①如图3.19（b）所示，根据投影关系，作出截切前圆柱的侧面投影。

②在正面投影上标出特殊点的投影1′、2′、3′、4′、5′、6′，按投影关系从水平投影的圆上找出对应点1、2、3、4、5、6（左边与右边对称点省略不注）。

③根据特殊点的正面投影和水平投影求出其侧面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″。

④判别可见性，按顺序连线。水平投影：连接3、4和2、5，其他投影积聚在圆周上。侧面投影：1″、2″、3″、4″、5″、6″可见，将其连接成实线，点3″和点4″与顶面的侧面投影重合，两截平面的交线2″5″的侧面投影应为虚线。

⑤加深轮廓线到与截交线的交点处，即点1″和点6″处，上边被截掉。圆柱左边被截切部分的侧面投影与右边重合。

图3.19　切槽圆柱的投影

若圆柱上端左右两边均被一水平面P和侧平面Q所截，其截交线的形状和投影请读者自行分析，其投影如图3.20所示。要注意点1″到最前素线、点4″到最后素线之间不应有线。

如图3.21所示为在空心圆柱即圆筒的上端开槽的投影图，其外圆柱面截交线的画法与图3.19相同，内圆柱表面也会产生另一套截交线，其画法与外圆柱面截交线的画法相似，各截平面与内圆柱面的截交线的侧面投影均不可见，应画成虚线。还应注意在中空部分不应画线，圆柱孔的轮廓线均不可见，应画成虚线。

2.平面与圆锥相交

当截平面与圆锥轴线的相对位置不同时，其截交线有五种基本形式，见表3.2。

图3.20　截切圆柱的投影

图3.21　切槽空心圆柱的投影

表3.2　平面与圆锥相交的截交线

求圆锥体的截交线，实质上是求圆锥面上的一系列点的投影，可用纬圆法或素线法求得。其中截交线为直线段时，只需求两个端点；为椭圆时，则要求出一对共轭轴上的各端点及适当数量的一般点；为抛物线或双曲线时，就要求适当数量点，才能连成光滑曲线。

例3.13　如图3.22（a）所示，求正垂面截切圆锥的投影。

分析：正垂面倾斜于圆锥轴线，且θ＞α，截交线为椭圆，其长轴是ⅠⅡ，短轴是ⅢⅣ。截交线的正面投影有积聚性，故利用积聚性可找到截交线的正面投影；水平投影和侧面投影仍为椭圆，但不反映实形。作图步骤如下。

①找特殊点。如图3.22（b）所示，首先求椭圆长、短轴的端点：点Ⅰ和Ⅱ是椭圆长轴的端点，其正面投影为1′、2′，利用点、线从属对应关系，直接求出1、2和1″、2″；椭圆的长轴ⅠⅡ与短轴ⅢⅣ互相垂直平分，由此可求出短轴端点的正面投影3′、4′，利用圆锥表面取点的方法求出3、4和3″、4″。点Ⅶ、Ⅷ是圆锥侧面投影轮廓线上的点，也属于特殊点，求点Ⅶ、Ⅷ各投影的方法与求点Ⅰ、Ⅱ的相同。

图3.22　圆锥被正垂面截切的投影

②求一般位置点。利用圆锥表面取点的方法求适当数量的一般位置点，如图中的点Ⅴ、Ⅵ。

③判别可见性，光滑连线。椭圆的水平投影和侧面投影均可见，分别按Ⅰ、Ⅴ、Ⅲ、Ⅶ、Ⅱ、Ⅷ、Ⅳ、Ⅵ、Ⅰ的顺序将其水平投影和侧面投影光滑连接成椭圆，并画成粗实线，即为椭圆的水平和侧面投影。

④整理轮廓线。侧面投影的轮廓线加深到与截交线的交点7″、8″处，上部被截掉不加深。

图3.23所示为侧平面截切圆锥求截交线的作图过程。截平面平行于圆锥轴线，截交线是双曲线。其正面投影和水平投影都有积聚性，侧面投影反映实形。作图时先求出特殊点的各投影，再求适量一般位置点的投影。

图中2″、3″、1″是截交线上特殊点的侧面投影，5″、4″是一般位置点的侧面投影，光滑连接2″、5″、3″、4″、1″各点，即为截交线的侧面投影。截平面与圆锥侧面投影的轮廓线没有交点，应完整画出。

3.平面与球体相交

平面与球体的截交线是圆。当截平面平行于投影面时，截交线的投影反映实形；当截平面垂直于投影面时，截交线的投影为直线，长度等于截交线圆的直径；当截平面倾斜于投影面时，截交线的投影为椭圆。

例如图3.24中的截平面是水平面，截交线圆的水平投影反映实形，正面投影为长度等于截交线圆的直径的直线，图中画出了截去球冠（截去的球冠的正面投影用细双点画线表示，也可不画）后的球体的两面投影。

图3.23　圆锥被侧平面截切的投影

图3.24　球体被水平面截切的投影

例3.14　如图3.25（a）所示，求正垂面截切球体的投影。

分析：正垂面截切球体，截交线的形状为圆，其正面投影积聚成直线，长度等于截交线圆的直径；水平投影和侧面投影均为椭圆，利用球体表面取点的方法，求出椭圆上的特殊点和一般位置点的投影，按顺序光滑连接各点的同面投影成为椭圆即可。

作图步骤如下。

①找特殊点。先求出椭圆的长轴ⅢⅣ和短轴ⅠⅡ的投影，如图3.25（b）所示。再求水平投影转向轮廓线上点Ⅴ、Ⅵ的投影和侧面投影转向轮廓线上点Ⅶ、Ⅷ的投影，如图3.25（c）所示。

②求一般位置点。根据连线的需要，在1′2′之间取适当数量的点，再利用辅助圆法求出其正面投影和侧面投影（本例省略）。

③判别可见性，光滑连线。截交线的正面投影和水平投影都可见，按顺序光滑连接，如图3.25（d）所示。

④整理轮廓线。正面投影的轮廓线加深到与截交线的交点1′、2′处，其上面部分被切去；水平投影的轮廓线加深到与截交线的交点5、6处，左边部分被切去；侧面投影的轮廓线加深到与截交线的交点7″、8″处，其上面部分被切去，整理结果如图3.25（e）所示。

图3.25　球体被正垂面截切的投影

例3.15　如图3.26（a）所示，补全球体切槽后的水平投影和侧面投影。

分析：球被两个侧平面和一个水平面截切，其截交线的空间形状均为部分圆弧。水平面截圆球其截交线的水平投影反映实形，正面投影和侧面投影积聚成直线，两侧平面与球的交线其侧面投影反映实形，正面投影和水平投影积聚成直线，三个截平面的交线为两条正垂线。

作图步骤如下。

①如图3.26（b）所示，在正面投影上标出1′、2′、3′、4′、5′、6′、7′、8′各点。

②求水平面与球截交线的投影。截交线的水平投影是圆弧234和圆弧678，其半径可由正面投影上3′（7′）至轮廓线的距离得到；侧面投影是直线3″2″（3″4″）和7″8″（7″6″）。

图3.26　开槽球的投影

③求侧平面与球截交线的投影。截交线的侧面投影是圆弧8″1″2″（6″5″4″与8″1″2″重合），其半径可由1″（5″）至球心的距离得到；水平投影是直线82和64。

④求截平面之间交线的投影。交线的水平投影82、64两直线已求出，连接8″2″（6″4″与其重合）即为侧面投影，且不可见，应画成虚线。

⑤整理轮廓线。开槽后没有影响水平投影的轮廓线，故水平投影的轮廓线应正常画出；侧面投影的轮廓线加深到与截交线的交点7″、8″处，其上部被切去部分的轮廓线不应再画出。