两回转体正交

3.4.2　两回转体正交

当相交的两立体中有一个是轴线垂直于某一投影面的圆柱时，圆柱面在这一投影面上的投影就有积聚性，因此相贯线在该投影面上的投影即为已知。利用这个已知投影，按照曲面立体表面取点的方法，即可求出相贯线的另外两个投影。通常将这种方法称为表面取点法或称为利用积聚性法求相贯线的投影。

1.圆柱与圆柱相贯

例3.16　如图3.28（a）所示，求两正交圆柱相贯线的投影。

分析：两圆柱轴线垂直相交，称为正交。其相贯线是空间封闭曲线，且前后对称。直立圆柱的轴线是铅垂线，该圆柱面的水平投影积聚成圆，相贯线的水平投影积聚在这个圆上。横圆柱的轴线是侧垂线，圆柱面的侧面投影积聚成圆，相贯线的侧面投影也一定在这个圆上，且在两圆柱侧面投影重叠区域内的一段圆弧上。因此，只需求出相贯线的正面投影。

作图步骤如下。

①找特殊点。在相贯线的水平投影上标出转向线上的点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的水平投影1、2、3、4，找出侧面投影上相应的点1″、2″、3″、4″，由1、2、3、4和1″、2″、3″、4″作出其正面投影1′、2′、3′、4′，如图3.28（b）所示。可以看出，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ既是相贯线上的最高点和最低点，也是最左、最右、最前、最后点。

②求一般位置点。根据连线需要，在相贯线的水平投影上作出前后对称的四个点Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的水平投影，根据点的投影规律作出侧面投影，继而求出5′、6′、7′、8′。

③判别可见性，光滑连线。相贯线的正面投影中，Ⅰ、Ⅴ、Ⅲ、Ⅵ、Ⅱ位于两圆柱的可见表面上，则前半段相贯线的投影1′5′3′6′2′可见，应光滑连接成粗实线；而后半段相贯线的投影1′7′4′8′2′不可见，且重合在前半段相贯线的可见投影上。应注意，在1′、2′之间不应画水平圆柱的轮廓线。

图3.28　两正交圆柱相贯

圆柱上钻孔及两圆柱孔相贯，都与内圆柱面形成相贯线，相贯线投影的画法与图3.28的相同，只是可见性有些不同，见表3.3。

表3.3　圆柱孔的正交相贯形式

2.圆柱与球体正交

例3.17　如图3.29所示，求圆柱和半球相贯线的投影。

分析：图中圆柱和半球的轴线正交，相贯线是一条对称的空间曲线。圆柱的水平投影积聚为圆，因相贯线是圆柱表面上的线，所以相贯线的水平投影也在此圆上，为已知投影。又因为相贯线也是球面上的线，可以利用球表面取点的方法求出相贯线的正面投影和侧面投影。

作图步骤如下。

①找特殊点。在相贯线的水平投影上标出圆柱转向轮廓线上的点1、3、5、7。点1、5的正面投影1′、5′和侧面投影1″、5″可以直接求出；利用球表面取点的方法作正平圆，求出点3、7的正面投影3′、7′和侧面投影3″、7″。同时Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅶ也是相贯线上最左、最前、最右、最后的点。

图3.29　圆柱和半球相贯

②作一般位置点。据连线需要，在点1、3、5、7之间增加一般位置点2、4、6、8，利用球表面取点的方法作正平圆，求出它们的正面投影2′、4′、6′、8′和侧面投影2″、4″、6″、8″。

③判别可见性，光滑连线。由于相贯线前后对称，所以圆柱的转向轮廓线是正面投影可见与不可见的分界线。故正面投影1′、2′、3′、4′、5′为可见点，应连接成光滑的粗实线；5′、6′、7′、8′、1′为不可见点，由于与粗实线重合，可不连虚线。侧面投影点7″、8″、1″、2″、3″位于圆柱的左半部，为可见点，应连接成光滑的粗实线；点3″、4″、5″、6″、7″位于圆柱的右半部，为不可见点，应连接成光滑的虚线。需要注意的是，被圆柱挡住的半球侧面投影轮廓线为不可见，应画成虚线。

④整理轮廓线，将轮廓线加深到与相贯线的交点处。侧面投影中，圆柱轮廓线加深到与相贯线的交点3′、7′处，半球的轮廓线加深到与圆柱前后轮廓线的交点处。

图3.30所示为半球上穿通了一个圆柱孔的情况，它的相贯线有两条：一条是半球的球面与孔壁圆柱面的交线；另一条是半球的底面与孔壁圆柱面的交线。前者与图3.29中圆柱和半球的相贯线是一样的，只是侧面投影的可见性不一样；后者是一个水平圆，它的水平投影积聚在圆柱孔壁的投影上，正面投影、侧面投影则分别积聚在半球底面的积聚性投影上。

图3.30　穿孔半球的投影

3.圆柱与圆锥正交

作圆柱与圆锥的相贯线时，可以用与这两个回转体都相交（或相切、有切线）的辅助平面切割这两个回转体，则两组交线（或切线）的交点，是辅助平面和两回转体表面的三面共点，即为相贯线上的点。用这种方法求作相贯线，称为辅助平面法。为了能方便地作出相贯线上的点，宜选用特殊位置平面作为辅助平面，并使辅助平面与两回转体的交线的投影为最简单，如交线为直线、平行于投影面的圆或能使交线的投影成为圆的椭圆。

例3.18　如图3.31（a）所示，求圆柱和圆锥的相贯线投影。

分析：圆柱与圆锥轴线正交，形体前后对称，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。圆柱轴线为侧垂线，因此相贯线的侧面投影与圆柱的侧面投影重合，只需求出相贯线的正面及水平投影即可。

作图步骤如下。

①找特殊点。过锥顶作辅助正平面R，与圆锥的交线正是圆锥正面投影的轮廓线，与圆柱的交线为圆柱正面投影的轮廓线，由此得到相贯线上点1′、2′的投影，也是相贯线上的最低、最高点，按投影规律求出点1、2；过圆柱轴线作辅助水平面P，与圆柱的交线为圆柱水平投影的轮廓线，与圆锥的交线为水平圆，两交线的交点为3、4，是相贯线上最前、最后点，求出3′、4′，如图3.31（b）所示。立体图如图3.31（d）所示，过锥顶作侧垂面Q、Q1且与圆柱相切，得到切点的侧面投影6″、5″，根据素线法求圆锥表面的点，得到正面投影6′、5′和水平投影6、5，如图3.31（e）所示。

图3.31　圆柱和圆锥的相贯线投影

续图3.31

②求一般位置点。在适当位置作水平面P1为辅助平面，它与圆锥的截交线为圆，与圆柱面的截交线为两条平行直线，它们的水平投影反映实形，两截交线交点的水平投影是7、8，由7、8求出7′、8′和7″、8″，如图3.31（f）所示，立体图如图3.31（d）所示。

③判别可见性，光滑连线。相贯线的正面投影中，Ⅰ、Ⅱ两点是可见与不可见的分界点，Ⅰ、Ⅶ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅱ位于前半个圆柱和前半个圆锥面上，故前半段相贯线的投影1′7′3′5′2′可见，应光滑连接成粗实线；而后半段相贯线的投影2′6′4′8′1′不可见，且重合在前半段相贯线的可见投影上。相贯线的水平投影中，Ⅲ、Ⅳ两点为可见性的分界点，其上边部分在水平投影上可见，故应将4、6、2、5、3光滑连接成粗实线，将3、7、1、8、4光滑连接成虚线，如图3.31（g）所示。

④整理轮廓线。正面投影中，圆柱、圆锥的轮廓线与相贯线的交点均为1′、2′，故均加深到1′、2′处；水平投影中，圆柱的轮廓线加深到与相贯线的交点3、4处，重影区域可见，应为粗实线；圆锥轮廓线（底圆）不在相贯区域，正常加深，但重影区域被圆柱遮住，应为虚线弧，如图3.31（h）所示。