以投影面垂直线为轴的旋转法简介

4.3　以投影面垂直线为轴的旋转法简介

4.3.1　基本条件

(1)旋转轴必须垂直于两投影面体系中的任一投影面。旋转轴的选择应考虑：旋转轴应垂直于哪一个投影面，才能使选定的几何元素能旋转到处于便利解题的位置，以使作图简便。如一次旋转不能解决问题，可考虑旋转两次，即先绕垂直于一个投影面的旋转轴旋转，再绕垂直于另一投影面的旋转轴旋转。

(2)几何元素必须绕同一旋转轴以同一方向旋转同一角度。

4.3.2　点的旋转

如图4-20所示，点A绕轴线OO旋转一周的运动轨迹是过该点的一个圆周。圆平面P与轴线OO垂直，圆心C就是轴线OO与圆平面P的交点，OO轴为旋转轴，圆平面P为旋转平面，圆心C为旋转中心，CA为旋转半径，点A到A₁A所转过的角度θ为旋转角。

图4-20　点的旋转

图4-21中的轴线OO是铅垂线，旋转平面P是水平面，它在所平行的H面上的投影反映实形，即以o为圆心，以oa为半径的一个圆周，而在V面上的投影则积聚成一条平行于投影轴OX的线段，长度等于圆的直径。先在与旋转轴垂直的H面上以旋转轴OO的积聚投影oo为圆心，过点A的原H面投影a作圆弧，将原H面投影a转到选定的新位置，得新投影a₁。

图4-21　点以铅垂线为轴线旋转

在V面上，过点A的原V面投影a'作投影轴OX的平行线，与过H面上的新投影a₁作的投影连线交得另一新投影。

点A以正垂线OO'为轴线绕其旋转的情况如图4-22所示。

图4-22　点以正垂线为轴线旋转

使用旋转法时，几何元素在旋转后新位置的新投影的符号，都在右下角加下标，下标为旋转次数。

4.3.3　直线的旋转变换

1.将一般位置直线一次旋转成某一投影面的平行线

旋转轴通过直线的一个端点。如图4-23所示，过端点B以铅垂线OO为旋转轴，将AB旋转到正平线A₁B₁。B在旋转轴上，旋转后B₁在原位。旋转另一端点A，使AB旋转后A₁B₁平行于V面。

在H面上以b为圆心、ab为半径作弧，使ab转到平行于OX轴的新位置a₁b₁。再过a'作OX轴的平行线，与过a的投影连线交得，连接。

图4-23　将一般位置直线AB一次旋转成正平线

同理，绕过一般位置直线AB的端点B的正垂线旋转一次，可将该直线旋转成水平线A₁B₁，如图4-24所示。

图4-24　将一般位置直线AB一次旋转成水平线

2.将某一投影面的平行线一次旋转成另一投影面的垂直线

旋转轴应垂直于直线平行的投影面且通过直线的一个端点。如图4-25所示，将正平线AB旋转成铅垂线A₁B₁。过端点B以正垂线OO为旋转轴，点B在旋转轴上，旋转后B₁在原位，旋转另一端点A，使A₁B₁垂直于H面。

图4-25　将正平线AB旋转成铅垂线

在V面上以b'为圆心，以a'b'为半径，使a'b'旋转到垂直于OX轴的新位置a'₁b'₁，再过a作OX轴的平行线，与过的投影连线交得a₁，a₁与b相重合。b₁与b相重合。

同理，通过绕水平线的一个端点的铅垂线为轴旋转一次，可将这条水平线旋转成正垂线。

3.将一般位置直线两次旋转为投影面垂直线

先将一般位置直线旋转成投影面平行线，再将投影面平行线旋转成另一投影面的垂直线。

如图4-26所示，过一般位置直线的端点B以铅垂线为旋转轴，将AB旋转到正平线A₁B₁。B在旋转轴上，旋转后B₁在原位，再过端点A₁以正垂线为旋转轴，点A₁在旋转轴上，旋转后A₂在原位，旋转另一端点B₁，使A₂B₂垂直于H面。

图4-26　将一般位置直线旋转成投影面垂直线

4.3.4　平面的旋转

1.将一般位置平面一次旋转成投影面的垂直面

必须先在该平面上取一条另一投影面的平行线，将其旋转成该投影面的垂直线，则平面就旋转成该投影面的垂直面。

在图4-27中，先在△ABC上取一条水平线AD，选过点A的铅垂线为旋转轴，先将AD旋转成正垂线A₁D₁，则△ABC就旋转成了正垂面△A₁B₁C₁。新的正面投影积聚成一条直线，与OX轴的夹角等于△ABC相对H面的倾角α。

图4-27　将一般位置平面一次旋转成投影面的垂直面

2.将投影面的垂直面一次旋转成另一投影面的平行面

选择通过这个投影面垂直面上的任一点，并且与该投影面的垂直面平行的投影面垂直线为旋转轴，将投影面垂直面的积聚投影旋转到与OX轴平行。另一面投影反映实形。

图4-28中的△ABC平面是一正垂面，选过顶点B的正垂线为旋转轴，将它转到水平面位置△A₁B₁C₁，则新的正面投影积聚成一条与OX轴平行的直线，新的水平投影△a₁b₁c₁就反映实形。

图4-28　将投影面的垂直面一次旋转成另一投影面的平行面

3.将一般位置平面两次旋转成投影面的平行面

需先将一般位置平面旋转成投影面垂直面，再将投影面垂直面旋转成另一投影面的平行面。即先进行“将一般位置平面一次旋转成投影面的垂直面”的旋转，再进行“将投影面的垂直面一次旋转成另一投影面的平行面”的旋转。

在图4-29中，先在△ABC上取一条水平线AD，选择过点A的铅垂线为旋转轴，先将AD旋转成正垂线A₁D₁，则△ABC就旋转成正垂面△A₁B₁C₁，再选择过点C的正垂线为旋转轴，将△A₁B₁C₁旋转成水平面△A₂B₂C₂，则新的正面投影积聚成一条与OX轴平行的直线，新的水平投影△a₂b₂c₂反映实形。

图4-29　将一般位置平面旋转成水平面

4.3.5　旋转法中的直线和平面的几何不变性

直线和平面绕投影面垂直线为轴旋转时，在旋转轴垂直的投影面上，直线的投影长度、平面图形的形状和大小不变，与该投影面的倾角也不变。证明从略。