三相电流的正弦公式

1．3　正弦交流电路

交流电路中的电流（或电压）是随时间变化的。而随时间按正弦规律变化的交变电流（或电压）是生产和生活中应用最广泛的一种，也是交变信号中最基本的信号。本章重点研究正弦交流电路。它的电压变换容易，输送和分配方便，其供电性能好，效率高。交流电器结构简单、价格便宜、维修方便，从计算与分析的角度考虑，正弦周期函数是最简单的周期函数，测量与计算也比较容易，是分析一切非正弦周期函数的基础。

正弦交流电路是电工技术中极其重要的一部分，也是重点和难点较为集中的一章。基本概念中的相位及相位差，电阻、电感和电容在交流电路中的不同响应及其频率特性等均应很好地掌握。其独特的相量分析方法又是分析三相交流电路的基础，也是交流电机、变压器及电子技术的重要理论基础。

一、交流电的基本概念

1．定义

交流电在日常生活中应用极为广泛，直流电和交流电的区别是：直流电的方向不随时间变化，而交流电的方向随时间变化而变化。交流电是由交流发电机产生的。

图1－26　典型的电流波形图

2．正弦交流电的物理量

（1）最大值、瞬时值、有效值。最大值是反映正弦量变化幅度的，又称幅值或峰值，规定用大写字母加下标m表示，如E_m、U_m、I_m。瞬时值是正弦量任一时刻的值，规定用小写字母表示，分别为e、u、i。而我们平常所说的电压高低、电流大小或电器上的标称电压或电流指的是有效值，规定用大写字母表示，如E、U、I。有效值是由交流电在电路中做功的效果来定义的，叙述为：交流电流i通过电阻R，在一个周期T内产生的热量与直流电流I通过R在时间T内产生的热量相等时，这个直流电流I的数值称为交流电流的有效值。

有效值和最大值之间的关系为：

可见，正弦交流量的最大值是其有效值的倍，通常所说的交流电压220V是指有效值，其最大值约为311V。

（2）周期、频率、角频率。反映交流电变化快慢的物理量是频率f（或周期T），即交流电每秒钟变化的次数，单位为赫兹（Hz）。而周期为其交变一次所需的时间，单位为秒（s），它们互为倒数的关系。即：

目前世界各国电力系统的供电频率有50Hz和60Hz两种，这种频率称为工业频率，简称工频。我国的工频为50Hz。不同技术领域中的频率要求是不一样的，有的高达数千兆赫兹，称为高频交流信号。

而正弦交流量表达式中反映交流电变化快慢的特征量是角频率ω，一般正弦波形图中的横轴常用ωt表示，如图1－27所示。可见ωT＝2π，则：

角频率的单位是弧度／秒（rad／s），它的含义是正弦量每秒变化的弧度数，或2π（rad弧度）内交流量变化的周期数。它同样可以反映正弦量变化的快慢。（在交流发电机中，ω又与发电机转动的角速度相联系）

图1－27　角频率与初相位关系示意图

（3）相位、初相位与相位差。任一瞬时的角度（ωt＋φ）称为正弦量的相位角或相位，它与交流量的瞬时值相联系。t＝0时的相位角ψ叫初相位角或初相位，它是正弦量初始值大小的标志。如：

v₀＝V_msinφ_v

事实上，初相位的大小与我们讨论它时所取的计时起点有关，如果将图1－27中的计时起点左移到图中虚线处，则初相φ_v＝0。当然，初相位不同，其起始值也就不同。

在一个正弦电路中，存在有两个以上的正弦信号时，一般不是同时达到最大值或零值的，即它们之间存在着不同相位的问题。相位差是用来描述它们之间的先后关系的，如：

v＝V_msin（ωt＋φ_v）

i＝I_msin（ωt＋φ_i）

则它们的相位差为：

φ＝（ωt＋φ_v）－（ωt＋φ_i）＝φ_v－φ_i

可见，同频正弦量的相位差也就是其初相位之差。

需要说明的是，虽然几个同频正弦量的相位都在随时间不停地变化，但它们之间的相位差不变，且与计时起点的选择无关。正是由于相位差的存在，使得交流电路中出现许多新的物理现象；同时也因相位差的存在使得交流电路问题的分析和计算要比直流电路复杂，但内容更丰富。

正弦交流电路中为什么会出现相位差，相位差的大小与哪些因素有关，将是我们要讨论的重要内容。

二、三相交流电路

1．三相交流电的基本概念

（1）三相电动势的产生。电力输配电系统中使用的交流电源绝大多数是三相制系统，前面研究的单相交流电也是由三相系统的一相提供的。之所以采用三相系统供电，是因为其在发电、输送电以及电能转换为机械能方面都具有明显的优越性。

三相电动势是由三相交流发电机产生的，三相交流发电机主要由定子和转子组成。图1－28便是一台三相交流发电机示意图。

令三相全同绕组A－X、B－Y、C－Z（首－末）对称分布在定子凹槽内，图示磁极形状是为产生正弦磁场而设计的。当转子由原动机带动，以角速度ω旋转时，三个绕组依次切割旋转磁极的磁力线而产生幅值相等（绕组全同）、频率相同（以同一角速度切割）、只在相位上（时间上）相差120°的三相交变感应电动势。

一般把三个大小相等、频率相同、相位彼此相差120°的三个电动势称为对称三相电动势。其解析式为：

图1－28　三相交流发电机示意图

三相交流电动势的波形图和矢量图如图1－29所示。

图1－29　对称三相电动势的波形图和矢量图

（2）三相四线制。上述发电机的每个线圈各接上一个负载，就得到了彼此不相关的三个独立的单相电路，构成三相六线制。但采用6根导线供电很不经济，因此，目前多采用三相四线制供电，如图1－30所示。

中性点：三个线圈的末端连在一起称为中性点，用N表示。

中性线：中性点引出的线称为中性线，简称中线。

零线：接地的中性线称为零线。

相序：三相电动势达到最大值时的相互顺序。

有时为了简便，只画4根输出线表示相序。习惯上第一相超前第二相120°，第二相超前第三相120°，第三相超前第一相120°。

图1－30　三相四线制电路

三相四线制可输送两种电压：线电压和相电压。

线电压：端线与端线之间的电压，相电压：端线与中线之间的电压。

线电压和相电压数量关系为：

生产实际中4孔插座就是三相四线制线路的典型应用，其中较粗的一孔接中线，其余的三孔分别接U、V、W，即L1、L2、L3三相。

（3）三相负载的连接方式。接在三相电源上的负载统称为三相负载。

①三相负载的星形连接。将三相负载分别接在三相电源的一根相线和中线之间的接法称为三相负载的星形连接，如图1－31所示。

在星形连接中，端线与端线之间的电压叫做线电压，端线与中线之间的电压叫做相电压，流过每相负载的电流叫做相电流，流过相线的电流叫线电流。其关系为：

图1－31　三相负载的星形连接

在图1－31中可以看出，负载星形连接中，中线电流为各相电流的矢量和。在三相对称电路中，由于各相负载相同，各相负载电流大小也相等，相位差仍为120°，则：

I_N＝I_u＋I_v＋I_w＝0（A）

即中线电流为0。因此在高压输电时，三相负载都是对称的三相变压器，所以都采用三相三线制。在低压供电系统中，中线必须存在。

例1－16　已知加在星形连接的三相异步电动机上的对称线电压为380V，每相的电阻为6Ω，感抗为8H，电动机工作在额定状态下。求此时流入电动机每相绕组的电流及各端线的电流。

解　由于各相负载对称，则各相电流、各相电压相等：

②三相负载的三角形连接。将三相负载分别接在三相电源每两根相线之间的接法称为三角形连接，如图1－32所示。

在三角形连接中，相电压是每相负载上的电压。线电压和相电压、线电流和相电流之间的关系为：

线电流滞后与之对应的相电流30°。

图1－32　三相负载的三角形连接

③三相负载的功率。在三相交流电路中，三相负载消耗的总功率为各相负载消耗的功率之和，即：

P＝P_u＋P_v＋P_w＝U_uI_ucosφ_u＋U_vI_vcosφ_v＋U_wI_wcosφ_w

在对称三相电路中，各相电压、相电流的有效值相等，功率因数也相等，因而上式可改为：

P＝3U_相I_相cosφ_相＝3P_相

在星形连接中，有功功率为：

三角形连接中，有功功率为：

即负载的总有功功率为：