大比降粗颗粒泥沙起动的理论分析

6.3　大比降粗颗粒泥沙起动的理论分析

6.3.1　受力分析

分析大比降河床的泥沙颗粒受力情况，如图6.2所示。取颗粒直径为D（按球体计算），则作用在床面上单个泥沙颗粒上的力一般为水流拖曳力F_d、上举力F_l、水下重力W。其表达式分别为：

式中　F_d——水流拖曳力；

　F_l——上举力；

　W——泥沙颗粒在水下的重力；

　C_d——拖曳力阻力系数；

　C_l——上举力阻力系数

　D——泥沙粒径；

　u_d——底部流速。

图6.2　大比降河床泥沙颗粒受力情况

Sung-UK Choi等认为，在滑动、滚动及跳跃3种启动模式中，滚动属于临界条件最低的模式，故采用滚动模式，得到无黏性颗粒D绕某支点滚动的平衡方程为：

式中　K₁ D——F_d的力臂；

　K₂ D——F_l的力臂；

　β——河床沿水流方向的倾角。

将式（6.8）代入式（6.9），经整理可得：

6.3.2　各系数的处理

1）底流速u_d

Shelids（1936年）在底流速处理时^[70]，根据Keulegan（1938年）和Nikuradse（1937年）关于明槽和圆管水流的垂线流速分布，即：

式中　u——垂线上某点的流速；

　u_*——摩阻流速；

　χ——修正系数，与床沙粒径与黏性底层的厚度；

　m——系数，理论床面与床面凸出物最高点的距离；

　y——垂线上某点与床面凸出物最高点的距离；

　δ——黏性底层厚度；

　υ——水的运动黏性系数；

　Re_*——沙粒雷诺数；

　u_*——摩阻流速。

Einstein（1956年）^[148]和Nikitin（1965年）^[149]认为：

D/δ＞10　　　　　　χ＝1. 0　　　　　　　床面粗糙

0.25＜D/δ＜10　　　　　　χ＝f（Re_*）　　　　　　　床面处于过渡区

D/δ＜0.25　　　　　　χ＝0. 3Re_*　　　　　　　床面光滑

Shelids（1936年）在处理底流速时，没有像Keulegan（1938年），Nikuradse（1937年），Einstein（1956年）那样给出关于χ的明确表达式，只是分析了χ与沙粒雷诺数有关，式（6.10）即底流速是沙粒雷诺数的函数，可以表达为：

从第5章流速分布试验可以看出，对于大比降粗颗粒的泥沙来说，颗粒粒径远大于黏性底层厚度，即床面处于粗糙区，χ＝1.0。

按照第5章的试验结果，底流速可取y＝αD处的流速，其中α与水流平均流速、水深和颗粒大小及形状有关。对于大比降河床来说，河床比降和相对光滑度一定，则平均流速和弗劳德数就可确定，说明α主要决定于相对光滑度和河床比降，即

式中　H——水深；

　J——比降。

对于粗颗粒，式（6.11）中的m可取值为1.0，底流速u_d可表示成：

式中　k——Karmer系数，可取0.4，对于均匀沙可取颗粒直径D。

2）阻力系数C_d

从上面分析可知，大比降粗颗粒的阻力系数C_d主要决定颗粒附近的床面流态，其流态又由相对光滑度和比降决定，即：

对于上举力系数C_l也可得到类似的结果：

3）斜坡上自重分力的影响

当河流和渠道比降较陡时，泥沙颗粒的自重沿水流方向的分力使泥沙更易于起动。式（6.10）中的（cosβ-K₁ sinβ）就是斜坡上的起动拖曳力>与平底时的起动拖曳力τ_c的比值。在第1章已经提到>/τ_c从理论和试验得到2个结果。

本文采取Dey（2000年）的试验结果^[91]：

式中　φ——泥沙休止角。

6.3.3　公式推导

将式（6.16）～式（6.19）代入式（6.10），得：

式中　A——常数。

另外，由第5章的研究结果认为，谢才—曼宁公式可适用于大比降河床的急流状态，则曼宁公式得：

由剪切力与摩阻流速的关系，将式（6.19）变成：

式（6.23）是大比降粗颗粒泥沙起动的表达式。与Maxwell（2000年）^[83]在研究大比降（High gradient）山区河流的泥沙起动成果相比，多了河床坡度影响项，使大比降粗颗粒泥沙起动的主要因素考虑得更为充分。