集合的概念

4.1.1　集合的概念

集合是集合论的研究对象。集合论是研究集合一般性质的数学分支，是由康托尔(Cantor，1845～1918年)创建的。集合论的特点是研究对象的广泛性，它也是计算机科学与工程的基础理论和表达工具。集合是数学中也是集合论中最基本的概念。在现代数学中，每个对象(如数、函数等)本质上都是集合，都可以用某种集合来定义。数学的各个分支本质上都是在研究某一种对象集合的性质。

既然是最基本的概念，它就不那么好定义，一般只是说明和描述，正如数学中的“点”一样。要说明什么是集合，有多种描述方法，如“所要讨论的一类对象的整体”、“具有同一性质的事物的整体”等。康托尔这样描述集合:所谓集合，是指我们无意中或思想中将一些确定的、彼此完全不同的客体的总和而考虑为一个整体。这些客体就是该集合的元素。

集合中的元素可以是看得见、摸得着的自然事物，如全体中国人、一架飞机或是一辆汽车的所有零件、一群羊;也可以是抽象的事物，如所有的自然数、一些点、一些图形、一些数、一些整式等。集合中的元素具有确定性、无序性和互异性的特点。确定性是指任何一个对象要么属于(是)这个集合的元素，要么不属于这个集合，两者必具其一，不能模棱两可;无序性是指集合与其中元素的排列顺序无关;互异性是指集合中的元素应互不相同。

集合按照其中所含有的元素的多少，可分为有限集、无限集和空集。有限集含有有限个元素，可以用列举的方法描述该集合中的所有元素，如由有限个自然数构成的集合{1，2，3，4，5};无限集含有无限个元素，用列举法描述无限集时，对集合中的元素不能一一列举，可用省略号表示，如全体自然数的集合{0，1，2，3，4，5，…};空集是不含任何元素的集合，记作Φ。

另外，也可给出集合所满足的条件来描述集合，这种方法称为描述法，即在一个大括号中给出集合中的元素所满足的条件，如{a|P(a)}，即当且仅当a满足条件P(a)时，a是集合的元素。条件P不一定是数学公式，也可以用自然语言来表示，如A={a|a是小于或等于100的自然数}。

集合还能用图形表示法来形象地表示，即Venn图表示法。