形体的组合方式

4　组合体的投影

工程建筑物的形状一般较为复杂，为了便于认识、把握它的形状，常把复杂物体看成是由多个基本形体（如棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等）按照一定的方式构造而成。这种由多个基本形体经过叠加、切割等方式组合而成的形体，称为组合体。

4.1　形体的组合方式

根据形体组合方式的不同，组合体可分为叠加式、切割式和复合式3种类型。

4.1.1　叠加式组合体

由若干个基本形体叠加而成的组合体称为叠加式组合体。如图4－1（a）所示，物体是由两个圆柱体叠加而成的。

4.1.2　切割式组合体

由基本形体经过切割组合而成的组合体称为切割式组合体。如图4－1（b）所示，物体是由一个四棱柱中间切一个槽、前面切去一个三棱柱而成。

4.1.3　复合式组合体

既有叠加又有切割的组合体称为复合式组合体。如图4－1（c）所示，物体是由两个四棱柱叠加而成的，其中上方的四棱柱又在中间切割了一个半圆形的槽。

图4－1　组合体的组成形式

在许多情况下，叠加式和切割式组合体并无严格的界限，同一组合体既可按照叠加方式分析，也可按照切割方式去理解。因此，组合体的组合方式应根据具体情况而定，以便于作图和理解为原则。

4.2　组合体视图的画法

4.2.1　形体分析

形状比较复杂的形体，可以看成是由一些基本形体通过叠加或切割而成。如图4－2所示的组合体，可先设想为一个大的长方体切去左上方一个较小的长方体，或者是由一块水平的底板和一块长方体竖板叠加而成的。对于底板，又可以认为是由长方体和半圆柱体组合后再挖去一个竖直的圆柱体而形成的。

图4－2　组合体的形体分析

图4－3所示的小门斗，用形体分析的方法可把它看成是由6个基本形体组成的：主体由长方体底板、四棱柱和横放的三棱柱组成，细部可看作是在底板上切去一个长方体，在中间四棱柱上切去一个小的四棱柱，在三棱柱上挖去一个半圆柱。

图4－3　小门斗的形体分析

这种把整体分解成若干基本几何体的分析方法，称为形体分析法 。通过对组合体进行形体分析，可把绘制较为复杂的组合体的投影转化为绘制一系列比较简单的基本形体的投影。

必须注意，组合体实际上是一个不可分割的整体，形体分析仅仅是一种假想的分析方法。不管是由何种方式组成的组合体，画它们的投影图时，都必须正确处理好各个立体表面之间的连接关系。如图4－4所示，可归纳为以下4种情况：

（1）两形体的表面相交时，两表面投影之间应画出交线的投影。

（2）两形体的表面共面时，两表面投影之间不应画线。

（3）两形体的表面相切时，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线。

（4）两形体的表面不共面时，两表面投影之间应该有线分开。

图4－4　形体之间的表面连接关系

4.2.2　投影图选择

选择组合体的投影图时，要求能够用最少数量的投影把形体表达得完整、清晰。主要考虑以下几个方面：

1）形体的安放位置

对于大多数的土建类形体主要考虑正常工作位置和自然平稳位置，而且这两个方面往往是一致的。但是对于机械类的形体相对要复杂一些，往往还要考虑生产、加工时的安放位置。如电线杆的正常工作位置是立着的，但是在工厂加工时必须横着放。

2）正面投影的选择

画图时，正面投影一经确定，那么其他投影图的投影方向和配置关系也随之而定。选择正面投影方向时，一般应考虑以下几个原则：

（1）正面投影应最能反映形体的主要形状特征或结构特征。如图4－5中A方向反映了形体的主要形状特征。

（2）有利于构图美观和合理利用图纸。

图4－5　形体的特征面

（3）尽量减少其他投影图中的虚线。如图4－6所示的形体，在图4－6（a）中没有虚线，比图4－6（b）更加真切地表达了形体。

图4－6　投影方向的选择

3）投影数量的选择

以正面投影为基础，在能够清楚地表示形体的形状和大小的前提下，其他投影图的数量越少越好。对于一般的组合体投影来说，要画出三面投影图。对于复杂的形体，还需增加其他投影图。

【例4－1】　画如图4－5所示小门斗的投影图。

【解】　①布置图面

首先根据形体的大小和复杂程度，选择合适的绘图比例和图幅。比例和图幅确定后再考虑构图，即用中心线、对称线或基线，在图幅内定好各投影图的位置（图略）。

②画底稿线

根据形体分析的结果，逐个画出各基本形体的三面投影，并要保证三面投影之间的投影关系。画图时，应先主后次，先外后内，先曲后直，用细线顺次画出，如图4－7（a）、（b）、（c）、（d）所示。

③加深图线

底稿完成以后，经校对确认无误，再按线型规格加深图线，如图4－7（e）所示。

图4－7　组合体三面投影图的画法

4.3　组合体视图的尺寸标注

4.3.1　尺寸标注的基本知识

形体的投影图只能表示形体的形状，而形体的大小和各组成部分的相对位置则由投影图上标注的尺寸来确定，因此画出形体的投影后，还必须标注尺寸。标注尺寸时应做到正确、完整、清晰、合理，同时还要遵守有关制图标准的规定。有关制图标准中规定的尺寸注法请参见本教材前面的内容。

4.3.2　基本体的尺寸注法

组合体是由基本形体组成的，所以要掌握组合体的尺寸标注，必须首先掌握基本形体的尺寸标注。任何基本形体都有长、宽、高3个方向的大小，所以要把反映3个方向大小的尺寸都标注出来。常见的基本形体的尺寸注法如图4－8所示。

图4－8　基本形体的尺寸标注

4.3.3　组合体的尺寸注法

在组合体的尺寸标注中，首先按其组合形式进行形体分析，并考虑如下几个问题，然后再合理标注尺寸。

1）尺寸的种类

组合体的尺寸分为3类：

（1）定形尺寸。确定各基本体大小（长、宽、高）的尺寸。

（2）定位尺寸。确定各基本体相对位置的尺寸或确定截平面位置的尺寸。

（3）总体尺寸。确定组合体的总长、总宽、总高的尺寸。

2）尺寸基准

对于组合体，在标注定位尺寸时，须在长、宽、高3个方向分别选定尺寸基准，即选择尺寸标注的起点。通常选择物体上的中心线、主要端面等作为尺寸基准。

3）组合体尺寸标注的原则

（1）尺寸标注正确完整。尺寸标注的正确性和完整性是标注中的基本要求。物体的尺寸标注要齐全，各部分尺寸不能互相矛盾，也不可重复。

（2）尺寸标注清晰明了。

①尺寸一般应标注在反映形状特征最明显的视图上，尽量避免在虚线上标注尺寸。如图4－9所示，底板通槽的定形尺寸12、4标注在特征明显的侧面投影上，上部圆柱曲面和圆柱通孔的径向尺寸R6、φ4也标注在侧面投影上。

②尺寸应尽量集中标注在相关的两视图之间，见图4－9中的高度尺寸。

③尺寸应尽量标注在视图轮廓线之外，必要时尺寸可以标注在轮廓线之内。

④尺寸线尽可能排列整齐，相互平行的尺寸线，小尺寸在内，大尺寸在外，且尺寸线间的距离应相等。同方向尺寸应尽量布置在一条直线上。

⑤避免尺寸线与其他图线相交重叠。

图4－9　组合体的尺寸标注

4）尺寸分布合理

标注尺寸除应满足上述要求外，对于工程物体的尺寸标注还应满足设计和施工的要求。

【例4－2】　对图4－6所示挡土墙的投影图标注尺寸。

【解】　①进行形体分析。挡土墙由底板、直墙和支撑板三部分组成，分别确定每个组成部分的定形尺寸，见图4－10（a）。

②标注定形尺寸。将各组成部分的定形尺寸标注在挡土墙的投影图上，如图4－10（b）。与图4－10（a）比较，因直墙宽度尺寸⑧与底板宽度尺寸②相同，故省去尺寸⑧。

③标注定位尺寸。见图4－10（c），支撑板的左端和底板平齐，直墙又紧靠着支撑板，故左右方向不需要定位尺寸；直墙与底板前后对齐不需定位，两支撑板前后的定位尺寸为和；直墙和支撑板直接放在底板上，所以高度方向亦随之确定，也不需要定位尺寸。

④标注总体尺寸。见图4－10（c），总长、总宽尺寸与底板的长、宽尺寸相同，不必再标注。总高尺寸为。注出总高尺寸以后，直墙的高度尺寸⑨可由尺寸减去尺寸③算出，可去掉不注，这样就避免了“封闭的尺寸链”。当然，这是组合体部分尺寸标注的要求，对于土建类的专业图样，其要求不一样，具体见专业图样的有关章节。

图4－10　挡土墙的尺寸标注

4.4　组合体视图的读法

读图是对前面所学知识的综合运用。只有熟练掌握读图的基础知识，正确运用读图的基本方法，多读多练，才能具备快速准确的读图能力，从而提高空间想象能力和投影分析能力。

4.4.1　基本知识

1）基本体的投影特点

基本体按其表面性质的不同，可分为平面立体和曲面立体两大类。按体形的总体特征又可分为柱体、锥体、台体、球体、环等。它们的投影特点如第6章所述，归纳为：“矩矩为柱 ”、“三三为锥”、“梯梯为台”、“三圆为球 ”和 “鼓鼓为环 ”。熟练掌握这些特点，将能极大地提高读组合体视图的效率。

2）视图上线段和线框的含义

（1）视图上线段的含义

①它可能是形体表面上相邻两面的交线，亦即是形体上棱边的投影。例如图4－11中V投影上标注①的4条竖直线，就是六棱柱上侧面交线的V投影。

图4－11　视图上线段和线框的含义

②它可能是形体上某一个侧面的积聚投影。例如图4－11上标注②的线段和圆，就是圆柱和六棱柱的顶面、底面和侧面的积聚投影。正六边形就是六棱柱的6个侧面的积聚投影。

③它可能是曲面的投影轮廓线。例如图4－11 的V投影上标注③的左右两线段，就是圆柱面的V投影轮廓线。

（2）视图上封闭线框的含义

①它可能是某一侧面的实形投影，例如图4－11中标注○a的线框，是六棱柱上平行V面的侧面的实形投影，以及圆柱上、下底面的H面实形投影。

②它可能是某一侧面的非实形投影，例如图4－11中标注○b的线框，是六棱柱上垂直于H面但对V面倾斜的侧面的投影。

③它可能是某一个曲面的投影，例如图4－11中标注○c的线框，是圆柱面的V投影。

④它也可能是形体上一个空洞的投影。

总之，投影图中的封闭线框肯定表示面的投影，可能是平面，也可能是曲面；相邻的两个线框肯定表示两个不同的面，有平、斜之别；线框里面套线框肯定有凹、凸之分。

4.4.2　读图的基本方法

读图的基本方法常用的有形体分析法和线面分析法等。通常以形体分析法为主，当遇到组合体的结构关系不是很明确，或者局部比较复杂不便于形体分析时，用线面分析法，即形体分析看大概，线面分析看细节。

1）形体分析法

运用形体分析法阅读组合形体投影图，首先要分析该形体是由哪些基本形体所组成，然后分别想出各个基本形体的现状，最后根据各个基本形体的相对位置关系，想出组合形体的整体现状。

【例4－3】　想出图4－12（a）所示形体的空间现状。

【解】　用形体分析法读图的具体步骤：

①对投影，分部分。即根据投影关系，将投影分成若干部分。

如图4－12（a）所示，在结构关系比较明显的正视图上，将形体分成1′、2′、3′、4′四个部分。按照形体投影的三等关系可知：四边形1′在水平投影图与侧面投影图中对应的是1、1″线框；四边形2′所对应的投影是2和2″；矩形3′所对应的投影是矩形3和3″；同样可以分析出四边形4′所对应的其他两投影与四边形2′的其他两投影是完全相同的。

②想现状，定位置。即根据基本形体投影的特征分析出各个部分的形状，并且确定各组成部分在整个形体中的相对位置。

根据上述各个基本体的对应投影的分析，依“矩矩为柱”的特点可知：Ⅰ为下方带缺口的长方体；Ⅱ是顶面为斜面的四棱柱；Ⅲ是一个横向放置的长方体。从各投影图中可知Ⅲ形体在最下面，Ⅰ形体在Ⅲ形体的中间上方，且Ⅲ形体从Ⅰ形体下方的方槽中通过。Ⅱ、Ⅳ形体对称地分放在Ⅰ形体的两侧，与Ⅲ形体前面、后面距离相等。如图4－12（b）所示。

③综合想整体。即综合以上分析，想出整个形体的形状与结构。如图4－12（c）所示。

图4－12　形体分析法读图

2）线面分析法

当组合体不宜分成几个组成部分或形体本身不规则时，可将围成立体的各个表面都分析出来，从而围合成空间整体，这就是线面分析法。简单地说，线面分析法读图就是一个面一个面地分析。

【例4－4】　想出图4－13（a）所示形体的空间现状。

【解】　根据三面投影，无法确定该形体的结构是由哪些基本体所组成的，故用线面分析法分析围成该立体的各个表面，从而确定形体的空间现状。步骤如下：

①对投影，分线框。在各个投影图上对每一个封闭的线框进行编号，并在其他投影图中找出其对应的投影。对于初学者，建议首先从线框较少的视图或者边数较多的线框入手，而且只分析可见线框。因为由可见线框围成的立体表面一般也是可见的，而线框较少容易分，并且容易确定对应的投影，边数较多则说明和它相邻的面也多。如图4－13（a）所示。

这里请注意，对投影时，“类似图形”是一个非常重要的概念。如2′和2″为类似图形，它所对应的第三投影是线段2。确定投影关系时，首先寻找类似图形，如果在符合投影规律的范围内没有类似图形，那么肯定对应直线，即“无类似必积聚”。如在H和W投影中，在符合投影关系的范围内没有和1′类似的图形，所以只能对应线段1和1″。

②想形状，立空间。根据分得的各线框及所对应的投影，想象出这些表面的形状及空间位置。建议每分析一个面，就徒手绘制其立体草图，并按编号顺序逐个分析，如图4－13（b）、（c）、（d）、（e）所示。

③围合起来想整体。分析各个表面的相对位置，围合出物体的整体形状，如图4－13（f）所示。

图4－13　线面分析法读图

由此例可见，线面分析法读图是比较繁琐的。当然，具体分析时也不是一定要分析出所有的面，有时候分析了几个特征面——尤其是类似图形，整个形体也就基本确定了。

3）切割法

形体分析法和线面分析法是读图的两个最基本的方法，由于线面分析法较难，所以一般在不便于形体分析法时，不得已才用之。而且线面分析法的对象大都不是叠加类的形体，而是切割类的形体，因而可视具体情况，采用切割的方式分析其整体形状。其基本思想是 ：先构建一个简单的轮廓外形（一般是柱体 ），然后逐步地进行切割 。

图4－13所示的形体，如果把各个投影的外框相应的缺角补齐了便都是矩形，如图4－14（a）所示，所以可以断定它是由一个长方体分别在其左上角和左前角各切割掉一部分而成的，可以用切割法想出其空间现状，如图4－14（b）所示。

图4－14　切割法读图

4）斜轴测法

不管采用何种方法读图，确认读懂的方式之一是绘出其所表示的立体的轴测图。而且很多时候往往是借助于轴测图来帮助我们建立物体的空间形状。那么有什么方法可以快速建立物体的空间形状呢？在原正投影图上快速勾画斜轴测图不失为一种较好的方法。

【例4－5】　想出图4－15（a）所示形体的空间现状。

【解】　显然，该图无法用形体分析法识读，如果用例4－13的线面分析法将很麻烦，同时该图也不具备图4－14那样三面投影有明显的矩形外框，一下子也较难想象是什么形体和如何切割，该如何快速勾画其轴测图。

我们知道，正投影图之所以缺乏立体感，就是因为其各个投影都只反映两个方向的坐标，第三方向的坐标被正投影给压缩了，如果在原正投影图上把被压缩了的对应点的第三坐标“拉出来”，则立刻就有了三维的感觉。方法如下：

①建立坐标系。在某个正投影图上——一般在反映形状特征的视图上，或者是线框少，亦即积聚性多的那个视图上，确定第三坐标轴的方向——尽量不与原正投影图上的图线平行。

②沿第三坐标轴的方向将被正投影图所压缩了的对应点的坐标“拉出来”，如图4－15（b）。

③连接相关点，其最终结果如图4－15（c）所示。

显然，这是一个简单的长方体被切割了一个角，形体本身并不复杂，但由于其位置对投影面倾斜，所以给识读带来了困难。

斜轴测法的基本思想 ：在某个反映形状特征的正投影图上把被正投影所压缩了的第三方向的坐标“拉出来”，从而使该图有了三维方向的尺度 ，即具有了立体感。

图4－15　斜轴测法读图

5）区域对应法

上述各种方法所研究的对象，其投影对应关系是明确的，但很多时候，形体各部分的投影对应关系并不十分明显。如图4－16（a）所示，其V、W投影的很多点都符合“高平齐”的投影规律，到底哪部分对应哪部分，一时难以确定。虽然这是一个简单形体，对于空间概念强的人没什么问题，但是对于初学者却是很头疼的。

一般而言，既然投影对应关系是不明确的，那么往往其所表达的空间形体也是不唯一的，我们可以通过一个简单的方法快速建立一种答案，然后在此基础上再构建其他答案，此方法就是“区域对应法”，具体如下：

（1）把V、W投影分别分为左、右和前、后两个区域，如图4－16（b）所示。

（2）按“左对应（组合）后”、“右对应（组合）前”的规律，得到该形体的两个组成部分，如图4－16（c）所示，它是由两个“凸”形柱体相互正交而成的。

（3）在图4－16（c）的基础上，可以构建其他答案，如图4－16（d）、（e）……所示。

图4－16　区域对应法读图（一）

如果所给图样分别有3个区域，那么再增加“中对应（组合）中”。如图4－17（a）所示，对应的立体如图4－17（b）、（c）、（d）、（e）……

图4－17　区域对应法读图（二）

对于不同的投影图，有不同的投影对应规律，列一简表供读者参考。对于2区域和3区域对应以及虚线区域对应问题，读者可自己思考。

表4－1　区域对应法列表

4.4.3　读图举例

1）补视图

根据两个视图补画第三视图，俗称“知二求三”，是训练读图能力，即空间想象能力或形象思维能力的最基本的方法。一般来说，物体的两面投影已具备长、宽、高3个方向的尺度，大部分形体是可以定形的，完全可以补出第三投影。

【例4－6】　已知形体的正面投影和水平投影，试补画其侧面投影，如图4－18（a）所示。

【解】　首先读懂已知的两面投影，想象出组合体的形状。

由图4－18（a）进行形体分析，可看出该组合体由上、下两部分叠加组成。上部为一带圆弧头和圆孔洞的柱体，正面投影反映形体特征，其空间形状如图4－18（b）的双点画线所示；底板是一个四棱柱在其左前方切掉一个角，并在中前方开了一个半圆孔洞，其空间形状如图4－18（c）的双点画线所示。由此，综合上、下两部分，不难作出其侧面投影，如图4－18（d）所示。

图4－18　补画组合体的水平投影

【例4－7】　补全图4－19（a）所示形体的W面投影。

【解】　因为所给条件的结构特征不是很明显，很难将形体明确的分为几个基本体，同时由于该形体的面很多，如果完全套用图4－13的方法将非常繁琐。

通过观察发现，如果将V面投影的左上角和H面投影的左前方补齐，V、H面投影的外轮廓都是矩形，则其空间形体可以认为是一长方体分别在其左上角和左前方各切了一块，用切割法分析，如图4－19（b）所示。

但至此尚不能确定该形体右前上方的情况，再考虑结合线面分析法解决：V面投影的1′线框对应H面投影的一条直线（无类似图形对应），说明其空间为一正平面；H面投影的2线框对应V面投影的一条直线2′，说明其空间为一水平面。这就表明，该形体在图4－19（b）的基础上，又在其右前上方被正平面Ⅰ和水平面Ⅱ合围再切去一块，如图4－19（c）所示，其最终的形状如图4－19（d）所示。

根据图4－19（d）所示的立体，作出其W面投影，如图4－19（e）所示。这里需特别注意的是：该形体的正上角被正垂面切割以后，其W面投影与H面投影应为类似图形；而左前方被铅垂面切割以后，其W面投影与V面投影应为类似图形。

图4－19　补画形体的W面投影

【例4－8】　补全图4－20（a）中所示形体的H面投影。

【解】　这是很多教材中出现的一个例题，都是用线面分析法花了很大篇幅进行分析的。通过观察可以发现：该形体的V面投影的外轮廓为矩形，其W面投影反映形状特征。那么依据“矩矩为柱”的特点，在其反映形状特征的W面投影上快速勾画斜轴测图，结合切割法很快可以建立其空间形状，如图4－20（b）所示，对应的H面投影如图4－20（c）所示。

图4－20　补画形体的Ｈ 面投影

【例4－9】　补全图4－21（a）中所示形体的W面投影。

【解】　根据所给图样可知该形体是左右对称的，H面投影图上前后对称的两个“”对应于V面投影图上的两条斜线，根据表4－1“上对应后，下对应前”的规律，并依它们上下、前后的关系建立其空间位置，如图4－21（b）的粗线所示，再结合其他信息，可想出整体的形状如图4－21（b）的细线所示，继而补出其W面投影如图4－21（c）所示。

图4－21　补画形体的W面投影

2）补漏线

补漏线也是训练阅读组合体视图的一种常见形式，它是在形体的大体轮廓已经确定的前提下，要求读者想象出立体的形状，并且补全投影图中所缺的图线。

【例4－10】　补全图4－22（a）所示组合体中漏缺的图线。

【解】　由形体分析可知，该组合体为切割型形体。将正面投影左右缺角补齐（图中以双点画线表示），与水平投影的外框一样都是矩形，根据“矩矩为柱”的投影特点，该形体肯定是一个柱体，其侧面投影反映形状特征，可知原体为一个“”形棱柱体。该棱柱被左右对称的两个正垂面截切，前部居中开矩形槽。其空间形状如图4－22（b）所示。

利用“类似图形”的原理，即可画出左右两侧截切形成的“”形断面的水平投影，即H投影和W投影必须是类似的“”形，这样在画图之前，就明确了其应有的结果，最后补画出前部矩形槽的侧面投影，为虚线。整理加深，结果如图4－22（c）所示。

图4－22　补画三视图中的漏线