直线的标高投影

7　标高投影

7.1　概述

前面各章均是用多面正投影图来表达空间形体的，它一般适用于表达规则的形体，而对于工程中的一些复杂曲面体，这种多面正投影的方法就不合适了。例如，起伏不平的地面就很难用多面正投影图表达清楚，而工程建筑物一般都是在地面上修建的，在设计和施工过程中，常常需要绘制表示地面起伏状况的地形图，以便在图纸上解决有关的工程问题。

工程上常采用标高投影图来表示地形面，如图7－1所示。即用一组平行、等距的水平面与地面截交，截得一系列的水平曲线，并在这些水平曲线上标注上相应的高程，便能清楚地表达地面起伏变化的形状，这种在水平投影上加注高程的方法称为标高投影法。这些加注了高程的水平曲线称为等高线，其上每一点距某一水平基准面H的高度相等。这种加注了高程的水平正投影图便称为标高投影图 。在标高投影图中，必须标明比例或画出比例尺，基准面一般为水平面。

图7－1　标高投影概念

【例7－1】　如图7－2（a）所示，已知水平投影面H为基准面，点A在H面上方4m，点B 在H面下方3m，作出空间点A和B的标高投影图。

【解】　由标高投影法的定义，作出空间A和B两点的水平投影a和b，并分别在a和b的右下角标注距H面的高度，并注明绘图比例，即得到两点的标高投影图，如图7－2（b）所示。

除了地形这样复杂的曲面外，在土木工程中一些平面相交或平面与曲面、曲面与曲面相交的问题也常用标高投影法表示，如填、挖方的坡脚线和开挖线等。

图7－2　点的标高投影

7.2　直线的标高投影

7.2.1　直线的表示法

直线可由直线上两点或直线上一点及该直线的方向来确定，如图7－3（a）所示。因此，直线的标高投影有以下两种表示方法：

（1）直线的水平投影并加注其上两点的标高，如图7－3（b）所示。

（2）直线上一点的标高投影，并加注该直线的坡度和方向，如图7－3（c）所示。并规定表示直线方向的箭头指向下坡。

图7－3　直线的标高投影

7.2.2　直线的坡度和平距

直线上任意两点的高差与其水平距离之比，称为该直线的坡度 ，用i表示。

直线上任意两点的高差为一个单位时的水平距离，称为该直线的平距 ，用l表示。

由上面两式可知，坡度和平距互为倒数 ，即

i＝1/l。坡度越大，平距越小；反之，坡度越小，平距越大。

【例7－2】　求图7－4所示直线AB的坡度与平距，并求出直线上点C的高程。

图7－4　求直线的坡度、平距及C点的高程

【解】　由图可知：

HAB＝20.5m－10.5m＝10m

根据给定的比例尺量得：　LAB＝30.0m

求坡度和平距：

所以C点的高程为：HC＝10.5m＋4m＝14.5m

7.2.3　直线的实长和整数标高点

标高投影中，直线的实长可用直角三角形法求得。如图7－5（a）所示，直角三角形中的一直角边为直线的标高投影；另一直角边为直线两端点的高差；斜边为直线的实长；斜边和标高投影的夹角为直线对水平面的倾角α。标高投影的作图如图7－5（b）所示。

图7－5　求直线段的实长和倾角

在实际工程中，通常直线两端点的高程不是整数，则需要求出直线上各整数标高点。

【例7－3】　如图7－6（a）所示，已知直线AB的标高投影为a2.3b6.9，求直线上各整数标高点。

图7－6　求直线上整数标高点

【解】　作一组平行于a2.3b6.9的等高线，其间距按比例尺确定（为使图面清晰，等高线和a2.3b6.9之间的距离可大一些）；分别过a2.3和b6.9点作等高线的垂线并量取A、B两点的高程，则直线AB即反映了其实长和倾角实形；直线AB与各等高线交于C、D、E、F各点，自这些点向a2.3b6.9作垂线，即得c3、d4、e5、f6各整数高程点。如图7－6（b）所示。

7.3　平面的标高投影

7.3.1　平面上的等高线和坡度线

平面上的等高线就是平面上的水平线，即该平面与水平面的交线。如图7－7（a）所示，平面上各等高线彼此平行，当各等高线的高差相等时，它们的水平距离也相等。

平面上的坡度线就是平面上对水平面的最大斜度线，它的坡度代表了该平面的坡度。如图7－7（b）所示，平面上的坡度线与等高线互相垂直，它们的标高投影也互相垂直。坡度线上应画出指向下坡的箭头。

工程中有时在坡度线的投影上加注整数高程，并画成一粗一细的双线，称为平面的坡度比例尺，如图7－7（c）所示。P平面的坡度比例尺用P表示。　

i

图7－7　平面上的等高线、坡度线及平面的坡度比例尺

7.3.2　平面的表示法

在正投影中所述的用几何元素表示平面的方法，在标高投影中仍然适用，但常采用如下几种表示方法：

1）平面上一条等高线和平面的坡度表示平面

如图7－8所示，给出平面上一条高程为10的等高线和垂直于该等高线的坡度线，并标出其坡度i＝1∶2，即表示一个平面。

【例7－4】　已知平面上一条等高线高程为20，平面的坡度为i＝1∶2，求作平面上整数高程的等高线，如图7－9（a）所示。

图7－8　用等高线和坡度线表示平面

图7－9　作平面上的等高线

【解】　作已知等高线20的垂线，得坡度线；根据图中所给比例尺，从坡度线与等高线20的交点a开始，连续量取平距l：

过各分点作已知等高线的平行线，即得到高程为19、18、17等一系列等高线。

2）用平面上一条倾斜直线和平面的坡度表示平面

如图7－10（a）所示，给出平面ABC上一条倾斜直线AB的标高投影a2b5，并标出平面ABC的坡度i＝1∶2和方向，即表示平面ABC。因平面上坡度线不垂直于该平面的倾斜直线，所以，在标高投影图中采用带箭头的虚线或弯折线表示坡度的大致方向，箭头指向下坡。图7－10（b）为斜坡面在实际工程中的应用示例。

图7－10　用倾斜直线和平面的坡度表示平面

【例7－5】　已知平面上一条倾斜直线的标高投影a2b6，平面的坡度为i＝2∶1，求作该平面上的等高线和坡度线，如图7－11（a）所示。

【解】　该平面高程为2的等高线必通过a2点，它到b6点的水平距离为：

L＝H/i＝4/2＝2（m）

以b6为圆心，在平面的倾斜方向作半径为2m的圆弧，并自a2点作该圆弧的切线，该切线即为高程为2的等高线；连接b6与切点得平面上的坡度线；将a2b6四等分，得到直线上高程为3m、4m、5m的点，过各分点作直线与等高线2平行，即得到一系列的等高线，如图7－11（b）所示。图7－11（c）为其立体示意图。

图7－11　作平面上的等高线和坡度线

3）用坡度比例尺表示平面

如图7－12（a）所示，坡度比例尺的位置和方向给出，即确定了平面。过坡度比例尺上的各整数高程点作它的垂线，就得到平面上相应高程的等高线，如图7－12（b）所示。但必须注意：在用坡度尺表示平面时，标高投影的比例尺或比例一定要给出。

图7－12　用坡度比例尺表示平面

7.3.3　平面与平面的交线

在标高投影中，平面与平面的交线可用两平面上两对相同高程的等高线相交后所得交点的连线表示，如图7－13（a）所示，水平辅助面H15和H20与P、Q两平面的截交线是相同高程的等高线15m和20m，它们分别相交于交线上的两点A和B，其作图如图7－13（b）所示。

图7－13　两平面交线的标高投影

在工程中，通常把建筑物相邻两坡面的交线称为坡面交线 ；坡面与地面的交线称为坡脚线 （填方）或开挖线（挖方）；在坡面上自高往低作长、短相间且垂直于等高线的细实线称为示坡线 。

【例7－6】　已知两土堤相交，顶面标高分别为6m和5m，地面标高为3m，各坡面坡度如图7－14（a）所示，图7－14（b）为其立体示意图，试作两堤的标高投影图。

【解】　作相交两堤的标高投影图，需求4种线：各坡面与地面的交线，即坡脚线；支堤顶面与主堤坡面的交线；两堤坡面的交线；示坡线。具体步骤如下：

①求各坡面与地面的交线。以主堤为例，先求堤顶边缘到坡脚线的水平距离L＝H/i＝（6－3）m/1＝3m，则按1∶300的比例在两侧作顶面边缘的平行线，即得两侧坡面的坡脚线。同样方法作出支堤的坡脚线。

②求支堤顶面与主堤坡面的交线。支堤顶面与主堤坡面的交线就是主堤坡面上高程为5m的等高线中的a5b5一段。

③求两堤坡面的交线。它们的坡脚线交于c3、d3，连接c3、a5和d3、b5，即得坡面交线c3a5和d3b5。

④作示坡线，如图7－14（c）。

图7－14　求两堤相交的标高投影

【例7－7】　如图7－15（a）所示，一斜坡引道与水平场地相交，已知地面标高为0m，水平场地顶面标高为3m，试画出它们的坡脚线和坡面交线。

【解】　作图步骤与结果如图7－15（b）所示。

①求坡面与地面的交线。水平场地边缘与坡脚线水平距离L1＝1.5×3m＝4.5m，斜坡道两侧坡面的坡脚线求法：分别以a3和b3为圆心，以L2＝1.2×3m＝3.6m为半径画圆弧，自c0和d0分别作两圆弧的切线，即为斜坡两侧的坡脚线。

②求坡面的交线。水平场地与斜坡的坡脚线分别交于e0和f0，连接a3、e0和b3、f0，即得坡面交线a3e0和b3f0。

③作示坡线。注意斜坡引道两侧的示坡线从引道边缘向垂直于等高线的方向画出。

图7－15　求斜坡与水平场地的标高投影

7.4　曲面的标高投影

在标高投影中，用一系列高差相等的水平面与曲面相截，画出这些截交线（即等高线）的投影，就可表示曲面的标高投影。这里主要介绍工程中常用的圆锥面、同坡曲面和地形面的标高投影。

7.4.1　正圆锥面

正圆锥面的等高线是同心圆，当高差相等时，等高线的水平距离相等。当圆锥面正立时，等高线的高程值越大，则距离圆心越近；当圆锥面倒立时，等高线的高程值越小，则距离圆心越近。如图7－16所示。

图7－16　正圆锥面的标高投影

在工程中，常在两坡面的转角处采用坡度相同的锥面过渡，如图7－17所示。

图7－17　锥面在工程中的应用示意图

【例7－8】　在土坝与河岸的连接处，用圆锥面护坡，河底标高为126.0m，土坝、河岸、圆锥台顶面标高和各坡面坡度如图7－18（a）所示，试画出它们的标高投影图。

图7－18　求土坝、河岸、圆锥面护坡的标高投影图

【解】　圆锥面的坡脚线为圆弧，两条坡面交线分别为曲线。作图步骤如下：

①求坡脚线。土坝、河岸、锥面护坡各坡面的水平距离分别为L1、L2、L3。

L1＝（136－126）m×1＝10m；L2＝（136－126）m×1＝10m；L3＝（136－126）m× 1.5＝15m。根据各坡面的水平距离，即可作出坡脚线。圆锥面的坡脚线是圆锥台顶圆的同心圆，所以，半径R为圆锥台顶圆R1与水平距离L3之和，即R＝R1＋L3。如图7－18（b）所示。

②求坡面的交线。各坡面相同高程等高线的交点为坡面交线上的点，依次光滑连接各点得交线（曲线），同时作示坡线。注意圆锥面的示坡线必须指向或通过圆心，如图7－18（c）所示。

7.4.2　同坡曲面

如图7－19（a）所示，正圆锥锥轴垂直于水平面，锥顶沿着空间曲线L运动得到的包络曲面就是同坡曲面 。在工程中，道路弯道处常用到同坡曲面。如图7－19（b）所示，一段倾斜的弯道（高速公路出入口），其两侧边坡是同坡曲面，同坡曲面上任何地方的坡度都相同。

根据同坡曲面的含义，其具有以下特点：

（1）同坡曲面与运动的正圆锥处处相切。

（2）同坡曲面与运动的正圆锥坡度相同。

（3）同坡曲面的等高线与运动的正圆锥同高程的等高线相切 。

图7－19　同坡曲面

【例7－9】　如图7－20（a）所示，已知平台高程为29m，地面标高为25m，将修筑一弯曲倾斜道路与平台连接，斜路位置和路面坡度已知，试画出坡脚线和坡面交线。

【解】　作图步骤如下：

①求边坡平距l：l＝1/H＝1。

②定出弯道两侧边线上的整数高程点26、27、28、29。

③以高程点26、27、28、29为圆心，半径为1l、2l、3l、4l画同心圆弧，即为各正圆锥的等高线。

④作正圆锥面上相同标高等高线的公切曲线，即得边坡的等高线。

⑤求同坡曲面与平台边坡的交线。如图7－20（b）所示。

图7－20　求平台与弯曲斜道的标高投影图

7.4.3　地形面的标高投影

地形面是不规则曲面，用一组高差相等的水平面截切地面，得到一组截交线（等高线），并注明高程，即为地形面的标高投影。如图7－21所示。

图7－21　地形面的标高投影

地形面的等高线一般为不规则的曲线，有以下特点：

（1）等高线一般为封闭曲线 。

（2）同一地形图内 ，等高线越密 ，则地势越陡 ；反之，则越平坦 。

（3）除悬崖绝壁处 ，等高线均不相交 。

用这种方法表示地形面，能够清楚地反映地形的起伏变化和坡度等。如图7－22所示，右方环状等高线表示中间高，四周低，为一山头；山头的东面等高线密集，平距小，说明地势陡峭；反之，西面地势平坦，坡向是北高南低。相邻两山头之间，形状像马鞍的区域称为鞍部。

在地形图中，等高线高程数字的字头按规定应朝上坡方向。相邻等高线之间的高差称为等高距 。

图7－22　地形等高线图

在一张完整的地形等高线图中，一般每隔4条等高线有一条画成粗线，称其为计曲线。

7.4.4　地形断面图

用铅垂面剖切地形面，剖切平面与地形面的截交线就是地形断面，若画出相应的材料图例，则称为地形断面图。如图7－23所示。作图方法如下：

（1）过A－A作铅垂面，它与地面上各等高线的交点为1，2，3，…，如图7－23（a）所示。

（2）以A－A剖切线的水平距离为横坐标，以高程为纵坐标，按照等高距和比例尺画出一组平行线。

（3）将图7－23（a）中的1，2，3，…各点按其相应的高程绘制到图7－23（b）的坐标系中。

（4）光滑连接各交点，并根据地质情况画出相应的材料图例，即得到地形断面图。

图7－23　地形断面图

7.5　应用实例

在实际应用中，常利用标高投影求解土石方工程中的坡面交线、坡脚线和开挖线等，采用的基本方法仍然是用水平辅助平面求共有点。下面举例说明标高投影的应用。

【例7－10】　欲修建一水平平台，平台高程为25，填方坡度为i1＝1∶1.2，挖方坡度为i2＝1∶1，地形面的标高投影已知，求填挖方边界线和各坡面交线，如图7－24（a）所示。

【解】　作图步骤如下：

①确定填方和挖方的分界点。以地形面上高程25的等高线为界，左边为填方，右边为挖方，等高线25与平台边线的交点a25、b25为分界点。

②确定填方的边界线——坡脚线。填方坡度为i1＝1∶1.2，则平距l1＝1/i1＝1.2m，可作出a25、b25两点左边平台的等高线24，23，22，…，各等高线与地形面相同高程等高线相交，如图7－24（b）所示，依次光滑连接各交点得填方的坡脚线。

③确定挖方的边界线——开挖线。挖方坡度为i2＝1∶1，则平距l2＝1/i2＝1m，可作出a25、b25两点右边平台的等高线26，27，28，…，各等高线与地形面相同高程等高线相交，如图7－24（b）所示，依次光滑连接各交点得挖方边界线。

④确定各坡面交线。由于平台左侧的转角为直角，且填方坡度相同，所以转角两坡面的交线为45°线，相邻坡脚线分别交坡面交线于c点和d点。

⑤作示坡线，完成全图，如图7－24（b）所示。

图7－24　求平台填挖方边界线和各坡面交线