两平面间的相对位置

2.5　直线与平面、两平面间的相对位置

直线与平面之间和两平面之间的相对位置，有平行、相交及垂直三种情况。垂直是相交的特殊情况。下面介绍它们的投影特性和作图方法。

2.5.1　直线与平面平行、两平面平行

1.直线与平面平行

如果平面外一直线与平面内的某一直线平行，则平面外直线必平行于该平面（见图2-39）。在投影图中，这一直线与平面内平行直线的同面投影也相互平行。

图2-39　直线与平面平行

图2-40　过点作直线平行于平面

例2-12　如图2-40（a）所示，已知平面△ABC及平面外一点M的两面投影，试过M点作一直线与△ABC平面平行。

分析　因为M点是△ABC平面之外一点，由直线与平面平行定理可在△ABC上任取一直线，通过M点作直线与△ABC上所取直线平行即可。

图2-41　两平面平行

作图

（1）在水平投影△abc上任取一直线cd。

（2）求出c′d′。

（3）过点m作mn//cd，过点m′作m′n′//c′d′，MN即为所求，如图2-40（b）所示。

2.两平面平行

如果一个平面内的相交两直线与另一个平面内的相交两直线对应平行，则这两个平面平行（见图2-41）。在投影图中，该两平面上的相交两直线的同面投影一定对应平行。

例2-13　试判断两已知平面△ABC与△DEF是否平行，如图2-42（a）所示。

分析　首先判断两三角形是否有两边对应平行，若有，说明它们相互平行，若没有，再在三角形上任作两条相交直线，看能否找到其对应平行的投影，由此可以判断两给定平面是否平行。

作图

（1）在△ABC上作任意相交直线AN和CM（作a′n′、an、c′m′、cm）。

（2）在△DEF的正面投影上先作e′l′//a′n′，d′h//c′m′，再求得el、dh，如图2-42（b）所示，可知el//an、dh//cm，所以△ABC平行于△DEF。

图2-42　判断两平面是否平行

2.5.2　直线与平面相交、两平面相交

直线与平面、平面与平面若不平行，必然相交。直线与平面相交，则必然有一交点，这一交点就是直线和平面的共有点。平面与平面相交，则必有一条交线，这条交线就是两平面的共有直线。因此可由交线上的两个共有点（或一个共有点和交线方向）来确定、研究直线与平面相交和两平面相交的问题，即要解决求交点和交线的问题。

1.直线或平面与特殊位置平面相交

1）一般位置直线与特殊位置平面相交

特殊位置平面在某个投影面上的投影有积聚性，交点可直接求出。

图2-43所示是直线AB与正垂面△CDE相交。由于交点K是直线AB和△CDE的共有点，因此，它的投影必在直线AB与平面△CDE的同面投影上。因△CDE⊥V面，在V面的投影积聚成c′d′e′一直线，K点的正面投影k′必在此直线上，又因K点在AB上，所以k′也必在a′b′上，由此可见，a′b′与c′d′e′的交点就是K点的正面投影k′，再由k′在ab上求得k。

为了使图形清晰，需在投影图上判断可见性，把被平面遮住的直线部分画成虚线。判断可见性的一般方法是利用交叉直线的重影点。如在图2-43中判断水平投影的可见性时，可找出交叉直线AB、CD对H面的一对重影点Ⅰ、Ⅱ，Ⅰ点在CD上，Ⅱ点在AB上。由正面投影可知，I点在上，Ⅱ点在下，故2k被遮住不可见，应画成虚线。像图2-43所示这种情况，也可直接在正面投影上判断水平投影的可见性，从上向下观察，b′k′在上，k′a′在下，即表示BK位于平面的上方，是可见的，KA位于平面之下的部分被遮住了，不可见。

判断可见性时，只有同面投影重叠部分才要判断可见性，不重叠的部分均为可见。因此正面投影中的a′b′都是可见的。另外，交点是可见与不可见的分界点，在交点某一边的线段如全部可见，则另一边必然有被遮住的不可见部分。因此，当需要判断可见性时，在一个投影中，只要判断交点一边的可见性，另一边的情况就可以推断出来。

图2-43　直线与正垂面相交

2）一般位置平面与特殊位置平面相交

两平面相交时，交线为一直线。当一个平面为特殊位置平面时，它在某个投影面上的投影必有积聚性，利用其积聚性可直接求出交线。

如图2-44（a）所示，铅垂面△ABC与一般位置平面△DEF相交，因为△ABC⊥H面，所以其水平投影积聚成一直线abc，两平面交线的投影必与abc重合，同时交线又是△DEF内的直线，其水平投影必有两点分别位于△def某两边或其延长线上。由图2-44（b）可知，abc与df、ef分别交于k、l，即交线上两点的水平投影。由k、l分别在d′f′和e′f′上求出k′、l′，kl、k′l′即为所求交线的投影。

图2-44　一般位置平面与铅垂面相交

可见性的判断方法与图2-43所示相同，此处不重述。但要注意，交线是可见与不可见的分界线，并且只有两面重叠部分才有可见与不可见之分，不重叠部分均为可见。

例2-14　图2-45（a）所示为水平面△DEF与一般位置平面△ABC相交，求两平面的交线，并判断可见性。

分析　因为平面△DEF是水平面，其正面投影有积聚性，可在正面投影上直接求出△ABC上两直线与△DEF的交点，连接交点，即可得交线。可见性利用交叉直线的重影点来判断。

图2-45　一般位置平面与水平面相交

作图

（1）在正面投影上找出d′e′f′直线与a′b′、a′c′的交点k′、l′。

（2）根据点的投影规律，由k′、l′求得水平投影k、l，连接kl，即为交线，如图2-45（b）所示。

（3）可见性的判断如下。在水平投影上，ab和de的交点1（2）是对H面重影点Ⅰ、Ⅱ的水平投影。由正面投影可知，1′在2′之上，故在水平投影上，de可见，ak与△def重叠部分不可见。KL是可见与不可见的分界线，以KL为界，可见的画成粗实线，不可见的画成虚线。

3）两特殊位置平面相交

如图2-46所示，两铅垂面△ABC和平行四边形DEFG相交。在水平投影面上，两平面的投影积聚成两相交直线，该两直线的交点必是两平面共有线的投影，即交线KL的水平投影为k（l），交线的正面投影为一铅垂线k′l′，其长度是两平面共有部分且为交线实长。

图2-46　两铅垂面相交

图2-46中可见性的判断，与前述方法相同，此处不再赘述。

2.直线或平面与一般位置平面相交

1）投影面垂直线与一般位置平面相交

当直线为投影面垂直线时，它在某个投影面上必有积聚性，利用积聚性可求得交点。如图2-47（a）所示，直线EF是一铅垂线，它与平面△ABC相交，求交点K的方法如下。

因为直线EF是铅垂线，水平投影有积聚性，投影成为一个点e（f），交点K的水平投影k必然也积聚在该点上。为了求得K点的正面投影k′，可利用在平面上找点的方法，经过k点在平面内作一辅助线cd，找出它的正面投影c′d′，c′d′与e′f′相交，交点即为k′点的位置，如图2-47（b）所示。

图2-47　铅垂线与一般位置平面相交

可见性的判断如下：EF直线上的Ⅱ点和AB边上的Ⅰ点在正面投影中重影点为一点。由水平投影可知1点在2点之前，所以在正面投影上，k′e′与△a′b′c′重叠部分不可见，f′k′为可见，如图2-47（b）所示。

2）一般位置直线与一般位置平面相交

直线和平面均处于一般位置时，它们在投影面上的投影没有积聚性。所以，交点不能直接在图上找出，要利用辅助平面的方法来求交点，其原理如图2-48所示。

图2-48　一般位置直线与一般位置平面相交

包含直线AB作一辅助平面P（一般取投影面垂直面），则P面与平面△CDE必有一交线MN，它是两个平面的公共线。因此，AB与MN的交点就是AB与平面△CDE的共有点，也就是AB与平面△CDE的交点。由此可见，求直线与平面的交点的一般步骤如下。

（1）包含已知直线作一辅助平面。

（2）求出辅助平面与已知平面的交线。

（3）求出此交线与已知直线的交点，即为所求直线与平面的交点。

例2-15　求直线AB与△CDE的交点，并判断可见性，如图2-49（a）所示。

分析　因直线和平面均为一般位置，所以采用辅助平面法求交点。

作图

（1）包含AB作正垂面P（用PV表示）。

（2）求P平面与△CDE的交线MN（m′n′、mn）。

（3）得到mn与ab的交点k，由k求出k′，如图2-49（b）所示。

（4）利用重影点可判断各投影的可见性。正面投影用重影点Ⅰ、Ⅱ的水平投影判断，1点在2点之前，k′b′可见，k′m′不可见；水平投影用重影点Ⅲ、Ⅳ的正面投影判断，因3′点在4′点之上，故ak可见，kb与△cde重叠部分不可见，如图2-49（b）所示。

图2-49　直线AB与△DEF相交

3）两个一般位置平面相交

两个一般位置平面相交，求交线的方法有以下两种。

（1）线、面交点法。

两个一般位置平面相交时，可以利用一平面的直线与另一平面相交求交点的方法，来确定平面交线上的共有点。

例2-16　如图2-50（a）所示，求△ABC和△DEF的交线。

图2-50　两一般位置平面相交

分析　两三角形平面均为一般位置。可在其中一个三角形内任取两条直线（一般取两条边）作平面，求其与另一个三角形的交点。

作图

（1）包含AC直线作辅助平面———铅垂面P（用PH表示），求出P面与△DEF的交线GH（gh、g′h′），确定GH与AC的交点N（n′、n）。

（2）包含AB直线作正垂面Q（用QV表示），求出Q面与△DEF的交线RS（r′s′、rs），确定RS与AB的交点M（m、m′）。

（3）连接MN的同面投影，即得交线MN的投影mn、m′n′，如图2-50（b）所示。

（4）判断可见性。在投影图上，两三角形未重叠的部分是可见的，交线的各个投影也是可见的，并且是可见与不可见的分界线。可利用重影点Ⅰ、Ⅱ的前后位置，确定正面投影的可见性；利用重影点Ⅲ、Ⅳ的上下位置，确定水平面投影的可见性。如图2-50（b）所示。

注意　凡直线的投影和另一平面的同面投影不重叠，就表明该直线在空间不直接与平面相交（需扩大平面图形后才有交点），因而不宜选这类直线来求它和另一平面图形的交点。例如，例2-16中的b′c′、e′d′和bc、ed均不与另一平面图形的同面投影重叠，故不宜选择BC、ED来求它们与另一平面的交点。至于其余各边，哪两边相交，试作图来决定。

（2）三面共点法。

图2-51所示是用三面共点法求两平面共有点的示意图，图中已知两平面△ABC和△DEF。为求两平面的共有点，作任意辅助平面P（一般取投影面平行面），它与△ABC和△DEF分别交于Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ，而Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ、Ⅳ的交点为S，它是三面所共有的点。同样，再作一辅助平面Q，找出共有点T，连接ST，即为△ABC和△DEF的交线。

图2-51　用辅助面求两平面的共有点

例2-17　试求平面△ABC与由L1和L₂所决定的平面（L₁//L₂）的交线，如图2-52（a）所示。

分析　由于一平面为一对平行线所决定，该题宜用三面共点法求交线。为了作图的方便，选用投影面平行面作辅助平面。

作图

（1）包含c′作PV1//OX轴。

（2）PV1与a′b′交于l′，与l′₁交于2′，与l′₂交于3′。

（3）在水平投影中，求出cl、23，并延长使之交于点m，如图2-52（a）所示。

（4）在PV1上求出m′，则m′、m即为所求交线上M点的投影。

（5）再作一辅助平面PV2，重复上述作法求得第二交点N（n、n′）。

（6）连接mn和m′n′，即为所求交线MN的投影，如图2-52（b）所示。

图2-52　用三面共点法求两平面的交线

2.5.3　直线与平面垂直、两平面相互垂直

1.直线与平面垂直

当一直线垂直于平面时，则此直线垂直于平面内的一切直线。并且，该直线的水平投影一定垂直于该平面内的水平线的水平投影，而该直线的正面投影一定垂直于该平面内的正平线的正面投影。

图2-53　直线垂直于平面

如图2-53所示，设直线NK垂直于平面P，同时AB是平面P的水平线。由立体几何学可知，若一直线垂直于一平面，则该直线必垂直于这平面内的一切直线，所以NK必垂直于AB。因为AB平行于H，由直角投影特性可知，垂线NK的水平投影nk必垂直于AB的水平投影ab。

同理可证明，垂线NK的正面投影也垂直于平面上的正平线的正面投影。

例2-18　包含点E作直线垂直于△ABC，并求垂足，如图2-54（a）所示。

图2-54　作直线垂直于平面

分析　先根据直线与平面垂直的投影特性，求平面的垂线，然后求垂线与平面的交点。

作图

（1）包含点A作AⅠ//H面，包含点C作CⅡ//V面。

（2）包含点E作EF垂直于AⅠ、CⅡ，即作ef⊥al，e′f′⊥c′2′，EF即为所求垂线，如图2-54（b）所示。

（3）求EF与△ABC的垂足，包含EF作平面Q垂直于H面，求Q面与△ABC的交线ⅢⅣ（34，3′4′），则ⅢⅣ与EF的交点K（k、k′）即为所求垂足，如图2-54（b）所示。

例2-19　过K点作铅垂面△ABC的垂线，并求垂足，如图2-55（a）所示。

图2-55　过点K作铅垂面的垂线

分析　若直线与平面垂直，而平面又垂直于某投影面时，则该直线必平行于该投影面。因为△ABC⊥H面，所以过K点作△ABC的垂线一定为水平线，它的水平投影垂直于△ABC的水平投影，两投影反映直角。

作图

（1）过K点的水平投影k作abc的垂线交abc于l，kl即所求垂线KL的水平投影，l即垂足L的水平投影。

（2）过k′作OX轴的平行线，与过l作垂直于OX轴的投影线交于l′，k′l′即KL的正面投影，则KL（kl、k′l′）为所求垂线，L（l、l′）为垂足，如图2-55（b）所示。

例2-20　试过A点作直线垂直于已知直线BC，如图2-56（a）所示。

图2-56　过点A作直线垂直于已知直线

分析　过A点作直线与已知直线BC垂直，则所求垂线一定位于过A点而垂直于BC的平面上。如图2-56（b）所示，BC与平面P的交点K即垂线与BC的交点，所以可利用过A点作已知直线BC的垂直面来求解。

作图

（1）过A点作一平面P⊥BC，平面P由正平线AD和水平线AE决定（作a′d′⊥b′c′、ae⊥bc）。

（2）利用辅助平面PV（正垂面），求出BC与平面P的交点K（k、k′）。

（3）连接AK的同面投影，直线AK（ak、a′k′）即为所求，如图2-56（c）所示。

2.平面与平面垂直

由初等几何学可知，如果一直线垂直于一平面，则包含该直线的所有平面都垂直于该平面。由图2-57可知，若直线AB垂直于P平面，则包含直线AB所作的平面Q、R等必与P平面垂直。

反之，如果两平面相互垂直，则从第一个平面内的任意一点向第二个平面所作的垂线一定在第一个平面内。如图2-57所示，Q平面垂直于P平面，从Q平面内任意一点M向P平面作垂线MK，则MK一定位于Q平面内。

不满足上述条件的，则两平面不垂直。如图2-58所示，直线CD不属于平面Ⅰ，所以平面Ⅰ和平面Ⅱ不垂直。

图2-57　平面与平面垂直

图2-58　两平面不垂直

例2-21　试过D点作平面垂直于平面△ABC，如图2-59（a）所示。

图2-59　过点D作平面垂直于△ABC

分析　过D点作△ABC的垂线，则包含此垂线的所有平面都垂直于△ABC，所以此题有无穷多个解。

作图

（1）在△ABC内作水平线BE//H面（作b′e′、be）和正平线CF//V面（作c′f′、cf）。

（2）过D点作△ABC的垂线DG，其两投影dg⊥be，d′g′⊥c′f′。

（3）包含D点作任意直线DH（d′h′、dh），则两相交直线DH、DG所决定的平面垂直于△ABC。

例2-22　判断平面ABCD和平面EFG是否互相垂直，如图2-60（a）所示。

图2-60　判断两平面是否垂直

分析　根据两平面互相垂直的条件，过平面ABCD上任意一点作一直线垂直于第二个平面EFG。现检查垂线是否属于第一个平面ABCD，若属于，则两平面互相垂直，否则两平面不垂直。

作图

（1）作平面EFG上的水平线EL（el、e′l′）和正平线GH（gh、g′h′）。

（2）过平面ABCD上的D点作平面EFG的垂线DM（dm⊥el、d′m′⊥g′h′）。

（3）因垂线DM与直线BC既不平行也不相交，所以垂线DM不属于平面ABCD，因而两平面不垂直。

由以上例题可知：要作一个平面的垂直面时，必须首先作出一条该平面的垂线，然后包含该垂线作平面即可；要判别两平面是否垂直，也必须首先从一个平面内的任意一点向另一个平面作垂线，如果所作的垂线在第一个平面内，则两平面必垂直，否则不垂直。