曲面立体的表面展开

11.2　曲面立体的表面展开

11.2.1　锥面展开

圆锥可认为是棱线无限多的棱锥，因而可用展开棱锥表面的方法画它的展开图。每个棱面可以看做是相邻两素线构成的一个窄小三角形，然后把棱面顺序展开，即可得到展开图。

1.求正圆锥面的展开图

图11-8所示为正圆锥的表面展开图。其作图步骤如下。

（1）先将锥底圆周12等分，得1、2……12点，过各分点素线，用内接正十二棱锥代替正圆锥。

（2）求素线实长。因正圆锥素线长度相等，其中S0及SⅥ为正平线，所以s′0′及s′6′反映素线的实长。

（3）画展开图。取一点S为中心，以s′0′为半径画圆弧，并在此圆弧上取12段弧长，每段弧长均等于锥底圆周长的1/12，得Ⅰ、Ⅱ……Ⅻ点，连接S0、SⅫ得到一个扇形S0Ⅻ，即为圆锥表面的展开图。

图11-8　正圆锥表面展开图

由以上分析可知，将锥底等分的份数越多，则展开图越准确，必要时可以用计算结果来校对作图的准确度。用计算法求扇形圆心角，其中α为扇形圆心角，r为锥底圆半径，l为锥面素线长度。

2.求斜截正圆锥面的展开图

如图11-9所示，用内接正八棱锥近似地代替正圆锥面，然后用展开正八棱锥的方法画圆锥的展开图。具体画法如下。

（1）将底圆8等分，得Ⅰ、Ⅱ……Ⅷ点，连接SⅠ、SⅡ……SⅧ，即得内接正八棱锥。

（2）除s′1′、s′5′为素线实长外，用旋转法求其他素线的实长。

（3）画完整正圆锥的展开图。以s′（S）为圆心，s′1′为半径画圆弧，并在所画弧上截取Ⅰ、Ⅱ……Ⅷ点，使ⅠⅡ＝12、ⅡⅢ＝23……再把所得各点与S连接起来，即得正圆锥展开图。

（4）在展开图的每一条素线上截取切口上相应素线的实长，得A、B……各点，将所求各点顺次圆滑连接即得。

图11-9　斜截正圆锥的展开画法

11.2.2　柱面展开

圆柱面或其他柱面，不论是正的或斜的，都可看做是某些棱柱的棱线无限增加的结果。因此，柱面展开的一般方法是：以内接棱柱来代替曲面柱，每个棱面都可看做是相邻两素线构成的一个小梯形或平行四边形，然后再把各棱面顺次展开，即可得到展开图。

例11-2　求斜圆柱面的展开图，如图11-10所示。

作图　用内接正十二棱柱代替圆柱画它的展开图。由于棱柱轴为铅垂线，柱面上素线的正面投影表达实长。其作图步骤如下。

（1）作内接正十二棱柱。将底圆周12等分，并过各分点作柱面的素线。

（2）画展开图。将底圆周长展成直线，并作12等分；过各分点作垂线，在所作垂线上截取相应素线的实长；最后，将各垂线的端点连成圆滑曲线即可。

图11-10　斜截正圆柱面的展开

例11-3　求直角弯管的表面展开图，如图11-11所示。

作图　在通风管道中，如要垂直地改变风道的方向，多用图11-11（e）所示的直角弯管。根据通风要求，一般将直角弯管分成若干节（图示为四段、三节，两端各为半节、中间为两个全节），每节即为斜截正圆柱面，按图11-10所示的展开画法便可得到每一节的展开图。

图11-11（d）所示为分节和段的方法，进口和出口为半节，中间为全节。分为三节时，每节所对应的角度为30°，半节所对应的角度为15°。

图11-11（c）是将各段展开后拼在一起的图形，刚好是一个矩形。

这种弯管如果用现成圆管切割焊接，可以如图11-11（a）、图11-11（b）那样，把管子割成所需的段数。

图11-11　直角四段弯管分析及其表面的展开