几何体的投影

模块2　投影基础

任务1　三视图

任务目标

任务内容

读一读：投影—投影法—正投影法—正投影法规律；

三视图形成—三视图投影规律。

任务实施

一、投影

1.投影的基本概念

现实生活中，物体在自然光或灯光的照射下，在地面或墙面上会产生一定形状的影子。将影子进行几何抽象所得的平面图形，称为物体的投影，如图2.1.1所示。用投影表示物体形状和大小的方法称为投影法。用投影法画出的物体图形称为投影图。

图2.1.1中，平面P称为投影面。点S称为投射中心。直线SA、SB、SC称为投射线。

2.投影法的分类

光线射出的方向称为投射方向。按投射线的形式不同，投影法分为中心投影法和平行投影法。

投影法分类

图2.1.1　投影的形成

图2.1.2中心投影法

图2.1.3　斜投影法

图2.1.4　正投影法

小贴士：绘制机械图样主要采用正投影法。用正投影法作出的物体图形称为正投影图，也称为视图。

想一想：投影机、电影放映机成像属于__________投影法。

3.正投影法的特性

（1）显实性

当直线或平面与投影面平行时，则直线的投影反映实长，平面的投影反映实形，如图2.1.5 （a）所示。

（2）积聚性

当直线或平面与投影面垂直时，则直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一条直线，如图2.1.5（b）所示。

（3）类似性

当直线或平面与投影面倾斜时，其直线的投影长度变短，平面的投影面积变小，但投影的形状仍与原来的形状相类似，如图2.1.5（c）所示。

图2.1.5　正投影法的特性

小贴士：制图规定空间物体要素用大写拉丁字母表示，其投影用小写字母表示；如果投影不可见又必须标出时，应该加注“（）”。如图2.1.5（b）所示，空间直线AB在投影面P上的投影为ab，因为b被a挡住而不可见，所以加注“（）”。空间的A点和B点称为重影点。

做一做：以桌面为投影面，分别以笔（模拟直线和）书本（模拟平面）为物体，摆出不同位置，观察后完成表2.1.1。

表2.1.1　直线、平面正投影基本规律

二、三面视图

1.三视图的形成及其投影规律

单面正投影图只能反映物体一个方向的形状和尺寸，对物体的真实信息反映不全面，也不完整。所以工程制图采用的是多面正投影，最常见的是三面正投影。

（1）三面正投影体系的建立

三面正投影体系由三个互相垂直的投影面构成，如图2.1.6所示。

看一看：三个互相垂直的投影面分别叫_____________、______________、______________，分别用字母 _______________、________________ 、______________标记。

图2.1.6　三投影面体系

三投影面之间两两相交的交线称为投影轴。三根投影轴互相垂直，交点叫原点。OX轴代表长度方向；OY轴代表宽度方向；OZ轴代表高度方向。

（2）三视图的形成

将物体放在三面正投影体系中，分别向三个投影面作正投影，就得到物体的三个视图，简称三视图，如图2.1.7（a）所示。

图2.1.7　三视图的形成过程

由前向后投射所得到的正面投影称为主视图（V面投影）；由上向下投射所得到的水平投影称为俯视图（H面投影）；由左向右投射所得到的侧面投影称为左视图（W面投影）。

（3）三面正投影体系的展开

三视图不在同一平面上，难以实现绘制和保存，需要将三个投影面展开到同一平面中来。规定：V面保持不动，H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°，如图2.1.7（b）所示，这样就得到了如图2.1.7（c）所示展开后的三视图。

小贴士：本书中提到的三视图均指展开后的三视图。

2.三视图之间的关系

（1）位置关系

以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右方。

（2）投影关系

“三等”规律：主俯视图“长对正”，主左视图“高平齐”，左俯视图“宽相等”，如图2.1.8所示。无论研究对象是点、线、面还是体，其三视图均须满足此“三等”规律。

图2.1.8　三视图间的投影关系

图2.1.9　视图与物体的方位关系

（3）方位关系

①主视图———反映物体的上、下、左、右；

②俯视图———反映物体的前、后、左、右；

③左视图———反映物体的上、下、前、后，如图2.1.9所示。

做一做：用硬纸片做一个“三面正投影体系”模型。

“三面正投影体系”模型做法：切下大纸盒的一角，三个内表面标注为投影面，三条棱对应三根投影轴，角点为原点O，此为立体的三面投影；沿OY轴所在棱切开至O点，展开铺平，即为展开的三面投影体系。

任务2　几何要素的投影

任务目标

任务内容

空间几何要素是点、线、面。点是最基本的几何要素。

读一读：点、线、面的投影特性。

任务实施

一、点的三面投影

空间物体要素用大写字母表示，H面投影用同名小写字母表示，V面投影在小写字母上加注“′”，W面投影在小写字母上加注“″”。如图2.2.1所示，空间点A的三面投影分别为a、a′、a″。

图2.2.1　点的三面正投影

点的投影规律：

①相邻投影连线垂直于投影轴；

②影轴距等于点面距。

练一练：已知某点A的坐标值（x，y，z）对应为（5，3，4），可表示为A（5，3，4），请思考回答：

①A点到W 投影面的距离为____________（单位）；

②a 的坐标值为____________；

③a′到OX 轴的距离为____________（单位），到OY 轴距离为_____________（单位）。

小贴士：一般而言，点A的三视图a、a′、a″将构成一个矩形，矩形的第四点在第四象限的角平分线上。

二、直线的三面投影

1.一般位置直线（对三个投影面均倾斜）

投影特性：

①一般位置直线的各面投影都与投影轴倾斜；

②一般位置直线的各面投影的长度都小于实长，如图2.2.2所示。

图2.2.2　一般位置直线的三视图

2.特殊位置直线

（1）投影面平行线

平行于一个投影面而与另两个投影面倾斜的直线，即为投影面平行线。

做一做：教师用铅笔在“三面正投影体系”模型中展示、定义和讲解直线名称。学生模拟教师展示，并思考填写表2.2.1。

表2.2.1　投影面平行线的三视图

归纳投影特性：

①平行的投影面上得____________直线，且与平行面上二投影轴_____________；

②倾斜投影面上得到两___________直线，且与倾斜面的二投影轴______________。

（2）投影面垂直线

投影面垂直线是指垂直于一个投影面（必与它两个投影面平行）的直线。

做一做：教师用铅笔在“三面正投影体系”模型中展示、定义和讲解直线名称。学生模拟教师展示，并思考填写表2.2.2。

表2.2.2　投影面垂直线的三视图

归纳投影特性：

①垂直的投影面上_________________；

②平行的二投影面上得到________________，且与垂直面的二投影轴___________。

小贴士：直线上任意一点的投影必在该直线的投影上。

三、平面的三面投影

这里的平面是指实体上的平面，存在形式为各种线条围住的共面封闭区域。

1.一般位置平面

一般位置平面是指与任何一个投影面都不垂直的平面，如图2.2.3所示。

投影特点：投影图为原形的类似形。

小贴士：作平面的三面投影，可先作多边形端点的三面投影，再用直线依照空间顺序将端点的同面投影连接即成。

2.特殊位置平面

（1）投影面平行面

投影面平行面是只平行于一个投影面的平面（必与其他两个投影面相垂直）。

图2.2.3　一般位置平面

做一做：教师用三角板在“三面正投影体系”模型中展示、定义和讲解平面名称。学生模拟教师展示，并思考填写表2.2.3。

表2.2.3　投影面平行面的三视图

归纳投影特征：

①平行投影面上的投影为___________；

②另两个投影面上的投影为____________，且与反映实形的那个投影面的坐标轴___________。

（2）投影面垂直面

投影面垂直面是垂直于一个投影面而倾斜于其他两个投影面的平面。

做一做：教师用三角板在“三面正投影体系”模型中展示、定义和讲解平面名称。学生模拟教师展示，并思考填写表2.2.4。

表2.2.4　投影面垂直面的三视图

归纳投影特征：

①在______投影面上积聚为___________，且与该投影面上两投影轴__________；

②在另两投影面上得到原平面的___________形。

小贴士：①要确定平面上点的投影，需先确定点所在直线的投影。

②要确定平面上的直线，需通过该平面内两点或通过该平面内一点，作平行于该平面内一直线的平行线。

教师评估

续表

任务3　几何体的投影

任务目标

任务内容

想一想：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等几何体的构成以及被切割后的形状，组合体的组合形式，轴测图的类型。

练一练：绘制棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等几何体及其切口体的三视图；绘制组合体三视图和轴测图。

任务实施

一、基本几何体

通常将单一完整的棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆球等几何体称为基本体，如图2.3.1所示。它们又分为平面立体和曲面立体两类，其中，表面均为平面的立体，称为平面立体；表面为曲面或曲面与平面的立体，称为曲面立体。

图2.3.1　基本几何体

1.棱柱

（1）棱柱体的投影分析

棱柱体属平面立体，其表面均是平面。下面以正六棱柱为例来说明棱柱体的投影分析方法。

正六棱柱如图2.3.2（a）所示，它由8个面构成，其上、下两个面为全等而且相互平行的正六边形。侧面为六个全等且与上、下两个面均垂直的长方形。投影作图时，得到的主视图是三个矩形线框，其中1平面具有真实性且遮住后面那个面，2、3面和V面倾斜，具有类似性且各自遮住后面那个面，顶面4和底面都具有积聚性。俯视图是一个正六边形线框，6个侧面均具有积聚性，顶面4和底面反映实形。左视图是两个矩形线框，上、下、前、后4个面具有积聚性，另外4个面具有类似性。

（2）棱柱体的三视图画法

先画出正六棱柱的俯视图，再根据“长对正”和正六棱柱的高度画主视图，最后根据“高平齐”和“宽相等”画左视图，即完成正六棱柱的三视图，如图2.3.2（b）所示。

图2.3.2　正六棱柱及其三视图

（3）求棱柱体表面上点及线的投影

例2.1　如图2.3.3（a）所示为一正六棱柱的三视图，其表面上有一点M，已知一个投影m′，求其另外两个投影m、m″。

图2.3.3　求正六棱柱表面上点及线的投影

通过分析可知，点M在正六棱柱的最前面那个面上，最前面那个面在俯视图和侧视图上的投影具有积聚性，我们可利用积聚性作出点的其余两个投影m、m″，作法如图2.3.3（a）所示。

例2.2　如图2.3.3（b）所示为一正六棱柱的三视图，其表面上有一条直线AB，已知一个投影a′b′，求其另外两个投影ab、a″b″。

通过分析可知，仍可利用积聚性先作出点A和点B在俯视图上的投影a、b，再利用“高平齐、宽相等”原则分别作出点A和点B在左视图上的投影a″、b″，最后连接同名投影即可完成直线AB的其余两个投影ab、a″b″。作法如图2.3.3（b）所示。

2.棱锥

（1）棱锥体的投影分析

棱锥体属平面立体，其表面均是平面。下面以正三棱锥为例来说明棱锥体的投影分析方法。

图2.3.4　正三棱锥及其三视图

正三棱锥如图2.3.4所示，它由4个面构成，其底面为等边三角形，3个侧面均为等腰三角形，3条棱线交于一点，即锥顶。投影作图时，得到的主视图是两个直角三角形线框，棱锥的底面具有积聚性，积聚为一条直线，前面两个侧面具有类似性。俯视图是3个等腰三角形线框，棱锥的底面具有真实性，为一个等边三角形，反映实形，其他三个侧面具有类似性。左视图是一个三角形线框，后面的那个侧面具有积聚性，积聚为一条直线。前面两个侧面具有类似性，棱锥的底面具有积聚性，积聚为一条直线。

（2）棱锥体的三视图画法

先画出正三棱锥的俯视图，再根据“长对正”原则和正三棱锥的高度画主视图，最后根据“高平齐”和“宽相等”原则画左视图，即可完成正三棱锥的三视图。

（3）求棱锥体表面上点及线的投影

例2.3　如图2.3.5（a）所示，已知正三棱锥棱面ABC上点M的正面投影m′，求作m 和m″。

作图方法（辅助直线法）：在ABC棱面上，由A过点M作直线A1，因为点M在直线A1上，则点M的投影必在直线A1的同面投影（同一个投影面上的投影）上。所以只要作出A1的水平投影a1，即可求得M点的水平投影m。作图步骤是：在主视图上由a′过m′作直线交于b′c′得点1′，再由a′1′作出a1，在a1上定出m，根据“高平齐”和“宽相等”原则可作出m″（判断可见性为可见）。

图2.3.5　求正三棱锥表面上点及线的投影

例2.4　如图2.3.5（b）所示为一正三棱锥的三视图，其表面上有一条直线AB，已知一个投影a′b′，求其另外两个投影ab、a″b″。

作图方法（辅助直线法）：如图2.3.5（b）所示，分别作出点A和点B的另外两个投影a、b，a″、b″，最后连接同名投影即可完成直线AB的另外两个投影ab、a″b″。

3.圆柱

（1）圆柱体的投影分析

如图2.3.6所示，圆柱体由圆柱面和上、下两平面构成。圆柱体属曲面立体，投影作图时，得到的主视图和左视图均是一个矩形线框，只是方位不一样。主视图反映最左和最右两根直素线的投影，左视图反映最前和最后两根直素线的投影。俯视图则为一个圆。

图2.3.6　圆柱体及其三视图

（2）圆柱体的三视图画法

先画出三个视图的中心线，然后画出俯视图。根据俯视图和圆柱体的高度，按“长对正”原则画出主视图，最后根据主、俯视图，按“高平齐”和“宽相等”原则画出左视图。

（3）求圆柱体表面上点及线的投影

例2.5　如图2.3.7（a）所示为一个圆柱体的三视图，其表面有一点N且已知一个投影n′，求点N的其余两个投影n和n″。

由图分析可知，点N在圆柱面上，圆柱面在俯视图上的投影积聚为一个圆，点N在俯视图上的投影也应在该圆上，按“长对正”原则即可作出N点在俯视图上的投影n（在俯视图上的交点要前一个，因其在主视图上可见）。再根据“高平齐”和“宽相等”原则可作出在左视图上的投影（判断为不可见，投影应打上括号）。

图2.3.7　求圆柱体表面上点及线的投影

例2.6　如图2.3.7（b）所示为一个圆柱体的三视图，其表面有一条直线AB，已知一个投影a′b′，求其另外两个投影ab、a″b″。

直线AB在H面上的投影应积聚为一个点，又因为直线AB在圆柱体表面上，圆柱体的俯视图投影为一个圆，故利用积聚性可求得直线AB在俯视图上的投影ab，再根据“高平齐、宽相等”原则可求得直线AB在左视图上的投影a″b″。作图方法如图2.3.7（b）所示。

4.圆锥

（1）圆锥体的投影分析

如图2.3.8所示，圆锥体由圆锥面和底圆平面构成，属于曲面立体。投影作图时，得到的主视图和左视图均是一个等腰三角形。三角形的底边是底圆平面的投影，其腰分别是最左、最右和最前、最后素线的投影。俯视图是个圆，这个圆为圆锥面和底圆平面的水平投影。

图2.3.8　圆锥及其三视图

（2）圆锥体的三视图画法

先画出三视图的中心线，然后再画出俯视图上的底圆。根据锥高和俯视图，按照“长对正”原则画出主视图。根据主、俯视图，按照“高平齐”和“宽相等”原则画出左视图。

（3）求圆锥体表面上点的投影

例2.7　如图2.3.9所示为一个圆锥体的三视图，其表面上有一点E且已知一个投影e′，求点E其余两个投影e和e″。

求作圆锥表面上点的投影，可用下列两种方法：

①辅助线法。如图2.3.9（a）所示，作图步骤如下：

a.在V面上过s′e′作辅助线交底圆，其交点的投影为a′；将a′向H面投影，得a点。

b.连sa，sa为辅助线sa在H面上的投影。

c.将e′向H面投影交sa于e，e即为所求。

d.根据e′和e，求出e″。

②辅助面法。如图2.3.9（b）所示，作图步骤如下：

a.过e′作一垂直于轴线的辅助平面与圆锥相交，交线是一个水平圆，其在V面上的投影为过e′并且平行于底圆投影的直线（b′c′）。

图2.3.9　求圆锥体表面上点的投影

b.以b′c′为直径，作出水平圆的H面投影，投影e必定在该圆周上。

c.将e′向H面作投影连线，根据投影关系可求出e。

d.由e′、e求出e″。

5.圆球

（1）圆球的投影分析

如图2.3.10（a）所示，圆球表面是个曲面，圆球属于曲面立体。投影作图时，得到圆球的三个视图均是等径的圆，只是方位不一样，读者可自行分析。

（2）圆球的三视图画法

先画出各视图圆的中心线，确定圆心。以圆球的半径画圆，即可作出三个视图。

图2.3.10　圆球及其表面上点的投影

（3）求圆球表面上点的投影

由于球体表面不具有积聚性，故不能采用积聚法来求得。同时球体表面也不存在直线，因而也不能采用辅助直线法。对于球体表面，常用辅助平面法来求点的投影。如图2.3.10（b）所示为一个圆球的三视图，其表面上有一点E且已知一个投影e′，求点E的其余两个投影e和e″的作法如图2.3.10（b）所示。

6.基本几何体的尺寸标注

任何物体都具有长、宽、高三个方向的尺寸。在视图上标注基本几何体的尺寸时，应将三个方向的尺寸标注齐全，既不能少，也不能重复和多余。常见基本几何体的尺寸标注如表2.3.1所示。

表2.3.1　基本几何体的尺寸标注

小贴士：在三视图中，尺寸应尽量标注在反映基本形体形状特征的视图上，而圆的直径一般标注在投影为非圆的视图上。

二、带切口的几何体投影

1.棱柱体型切口体

（1）切口体的投影分析

如图2.3.11所示切口体，可看成是由四棱柱通过切割而成。投影作图时，得到的俯视图为三个矩形线框，1、2、3平面及零件的底面具有真实性，可反映实形，零件的四个侧面及两个槽壁具有积聚性。主视图为一“凹”形线框，零件的左（面5）、右侧面具有积聚性，零件的前（面6）、后侧面具有真实性，零件的顶面（面1、3）、切槽部分和底面具有积聚性。其左视图为一矩形线框，由于切槽部分不可见，作图时应画成虚线，左（面5）、右侧面具有真实性，反映实形，前（面6）、后侧面及底面具有积聚性。

（2）切口体的三视图画法

画三视图之前应先确定主视图的方向。主视图的方向确定原则是：选出最能反映物体各部分形状特征和相对位置的方向作为主视图的投射方向。从图2.3.11所示方向看去，所得到的视图能满足所述的基本要求，可以作为主视图方向。主视图确定之后，俯视图和左视图也就随之确定了。先画出切口体的俯视图，再根据“长对正”原则画主视图，最后根据“高平齐”和“宽相等”原则画左视图，即完成切口体的三视图。

图2.3.11　棱柱体型切口体及其三视图

2.棱锥体型切口体

（1）切口体的投影分析

如图2.3.12所示三棱台，可看成是由三棱锥通过切割而成。投影作图时，三棱锥被切割后的顶平面在俯视图上的投影具有真实性，反映实形。在主视图和左视图上的投影具有积聚性，积聚成一条直线。三视图的其他线框分析可参照前面三棱锥的线框分析。

（2）切口体的三视图画法

把如图2.3.12所示方向确定为主视图方向。首先画出俯视图，再按“长对正”原则画出主视图，最后根据“高平齐”和“宽相等”原则画左视图，即完成切口体的三视图。

图2.3.12　棱锥体型切口体及其三视图

3.圆柱体型切口体

（1）切口体的投影分析

如图2.3.13所示切口体，可看成是由圆柱体切割而成。切割形成的两个面：竖起的那个面在主视图中具有真实性，反映实形，在俯视图和左视图中具有积聚性，积聚为一条直线；水平的那个面在主视图和左视图中具有积聚性，积聚为一条直线，在俯视图中具有真实性，反映实形。其他线框分析同前面的圆柱体线框分析。

（2）切口体的三视图画法

先按圆柱体三视图的画法画出三视图线框，再画出切割部分的主视图，然后按“长对正”原则画出切割部分的俯视图，最后根据“高平齐，宽相等”原则完成切割部分的左视图。

4.圆锥体型切口体

（1）切口体的投影分析

如图2.3.14所示圆锥台，可看成是由圆锥切割而成。投影作图时，圆台的顶面在俯视图上的投影具有真实性，反映实形为一个圆；在主视图和侧视图上的投影具有积聚性，积聚成一条直线。圆台的其他部分可参照前面圆锥的线框分析。

图2.3.13　圆柱体型切口体及其三视图

图2.3.14　圆锥体型切口体及其三视图

（2）切口体的三视图画法

先按圆锥体三视图的画法画出三视图线框，再画出切割部分的俯视图，然后按“长对正”原则画出切割部分的主视图，最后根据“高平齐，宽相等”原则完成切割部分的左视图。

5.圆球型切口体

（1）切口体的投影分析

如图2.3.15所示半圆球被两个对称的竖平面和一个水平面切割，两个竖平面与半圆球表面的交线各为一段平行于侧面的圆弧（半径R2），水平面与半圆球表面的交线为两段水平的圆弧（半径R1）。

（2）切口体的三视图画法

先画出主视图，槽口底面的水平投影由两段相同的圆弧和两段积聚性直线组成，圆弧半径为R1从主视图中量取。槽口的两竖平面侧面投影为圆弧，半径R2从主视图中量取。槽口的底面为水平面，侧面投影积聚为直线，中间部分不可见，画成细虚线。

图2.3.15　圆球型切口体及其三视图

三、相贯体的投影

1.相贯体及相贯线的概念

两立体相交，其表面就会产生交线。相交的立体称为相贯体，它们表面的交线称为相贯线。相贯线是相贯两立体表面的共有线，是无穷个点的集合。因此，求相贯线的投影就是求该线上共有点的投影。任何物体相交，其表面都要产生交线，这些交线都叫相贯线。

根据相贯体表面几何形状不同，可分为两平面立体相交、平面立体与曲面立体相交以及两曲面立体相交三种情况，如图2.3.16所示。

图2.3.16　两立体相交

此处仅讨论两曲面立体相交的情况。

两曲面立体的相贯线有如下性质：

①相贯线一般是封闭的空间曲线，特殊情况下才可能是平面曲线或直线。

②相贯线是相交两立体表面的共有线，也是它们的分界线。相贯线可看作两立体表面上一系列共有点组成的。

因此，求相贯线实质上是求两立体表面的共有点的问题。

2.画相贯线的方法

画相贯线的方法有：表面取点法、近似画法和简化画法。

（1）表面取点法

当相交的两曲面立体中有一个圆柱面，其轴线垂直于投影面时，则该圆柱面的投影为一个圆，且具有积聚性，即相贯线上的点在该投影面上的投影也一定积聚在该圆上，其他投影可根据表面上取点的方法作出。

例2.8　求两圆柱正交的相贯线。

分析　由图2.3.17所示两圆柱的轴线垂直相交，相贯线是封闭的空间曲线，且前后对称、左右对称。相贯线的水平投影与直立圆柱体柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平圆柱体柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，需要求作的是相贯线的正面投影，故可用表面取点法作图。

图2.3.17　求圆柱与圆柱正交的相贯线

①求特殊点（A、B、C、D）。

点A、点B是铅垂圆柱上的最左、最右素线与水平圆柱的最上素线的交点，是相贯线上的最左、最右点，同时也是最高点。a′和b′可根据a、a″和b、b″求得；C点、D点是铅垂圆柱的最前、最后素线与水平圆柱的交点，它们是最前点和最后点，也是最低点。由c″、d″可直接对应求出c、d及c′、d′。

②求一般点。

在铅垂圆柱的水平投影圆上取1、2点，它的侧面投影为1″、2″，其正面投影1′、2′可根据投影规律求出。为使相贯线更准确，可取一系列的一般点，顺次光滑地连接a′、1′、c′、2′、b′等点即为相贯线的正面投影（双曲线）。

（2）相贯线的近似画法和简化画法

在绘制机件图样过程中，当两圆柱正交且直径相差较大，但对交线形状的准确度要求不高时，允许采用近似画法，即用大圆柱的半径作圆弧来代替相贯线，或用直线代替非圆曲线，如图2.3.18所示。

图2.3.18　相贯线的近似画法

（3）相贯线的常见形式

在生产中常见一些相贯线的形式及画法如表2.3.2所示。

表2.3.2相贯线的常见形式

续表

四、组合体的三视图

1.组合体的组合形式和形体分析法

由两个或两个以上基本几何体所组成的物体，称为组合体。本部分重点讨论组合体三视图的画法、看图方法和尺寸标注，为学习零件图打下基础。

（1）形体分析法

任何复杂的物体，仔细分析起来，都可看成是由若干个基本几何体组合而成的。如图2.3.19（a）所示的轴承座，可看成是由两个尺寸不同的四棱柱和一个半圆柱叠加起来后，再切出一个圆柱体和两个小圆柱体而成的，如图2.3.19（b）、（c）所示。既然如此，画组合体的三视图时，就可采用“先分后合”的方法。就是说，先在想象中把组合体分解成若干个基本几何体，然后按其相对位置逐个画出各基本几何体的投影，综合起来即得到整个组合体的视图。这样，就可把一个复杂的问题分解成几个简单的问题加以解决。这种为了便于画图和看图，通过分析将物体分解成若干个基本几何体，并搞清它们之间相对位置和组合形式的方法，叫做形体分析法。

图2.3.19　轴承座的形体分析

形体分析法是一种分析复杂立体的方法，它是画图、看图最基本的方法。其中，形体之间的相互关系包括：形体间的相对位置；形体间的组合形式；形体间的表面过渡关系。形体间的组合形式：叠加、挖切、综合。形体间的表面过渡关系：共面（平齐）、相切和相交。

（2）组合体的组合形式及种类

组合体的组合形式按其形状特征，可以分为三类：

①叠加类组合体———由各种基本形体按不同形式叠加而形成，如图2.3.20所示。

图2.3.20　叠加类组合体

②挖切类组合体———在一些基本形体（棱柱体、圆柱体等）上进行挖切（如钻孔、挖槽等）所得到的形体，如图2.3.21所示。

图2.3.21　挖切类组合体

③综合类组合体———由若干个基本形体经叠加及挖切所得到的形体。它是组合体中最常见的类型，如图2.3.22所示。

图2.3.22　综合类组合体

（3）组合体各形体间表面连接关系及画法

组合体中，各基本形体相邻表面间的相互位置关系及画法分为不平齐、平齐、相切和相交四种情况。

①当两基本形体的表面不平齐时，在视图内中间应该有线隔开。如图2.3.23（a）所示的一组合体，它是由带半圆柱的棱柱和带凹槽的底板叠加而成，前后表面不平齐，其分界处应有线隔开。如果漏画线，就成为一个连续表面了，这是错误的，如图2.3.23（b）、（c）所示。

图2.3.23　不平齐

②当两基本形体的表面平齐时，在视图内中间不应有线隔开，如图2.3.24（a）所示。组合体两个形体的前后表面是平齐的，形成一个表面，分界线不存在了，如图2.3.24（b）所示。

图2.3.24　平齐

③当两基本形体的表面相切时，在相切处不应画线。如图2.3.25（a）所示的物体，两形体侧表面相切，两表面连接处应光滑过渡，没有交线，在视图上相切处不应画线，但应特别注意它们相切处的投影关系，如图2.3.25（b）所示。图2.3.25（c）所示的画法是错误的，因相切处多画了线。

图2.3.25　相切

④当两基本形体的表面相交时，在相交处应画出交线。如图2.3.26所示，平面和曲面相交都会产生交线。

图2.3.26　相交

小贴士：通过以上分析可知，应用形体分析法可以使复杂问题简单化，把我们感到陌生的组合体分解为较熟悉的基本形体。因此，熟练掌握这一基本方法后，能使我们正确、迅速地解决组合体的看图、画图问题。

2.组合体的三视图

画组合体视图的方法和步骤对组合体视图的表达十分重要，怎样画组合体视图呢？在画图时，常采用形体分析法，首先将组合体分解成几个组成部分，明确组合形式，按组合形式的不同，有分析、有步骤地进行作图。

①叠加式组合体。由图2.3.27（a）所示，首先对实物进行形体分析，先把组合体分解为五个基本形体，即三个实体，两个虚体；然后分析确定它们之间的组合形式和相对位置，如图2.3.27（b）所示。其作图过程如图2.3.28所示。

图2.3.27　座体图形分析

作图步骤如下：

a.对实物进行形体分析。

b.选择主视图，确定主视图位置和投影方向。

c.定图幅，选比例，画主要形体的中心线或主要轮廓线。

d.从每一形体具有特征形状的视图开始，逐个画出它的三视图。

e.检查、加深图形。

图2.3.28　组合体视图的画法

想一想：在画组合体视图时，各形体之间的相对位置在视图中应怎样反映？各形体之间的表面连接关系在视图中应该怎样反映？

小贴士：组合体三视图在画图时应遵循其对应关系：主、俯视图“长对正”；主、左视图“高平齐”；俯、左视图“宽相等”，且前后对应。

②挖切式组合体。

挖切式组合体可看作从一整体上挖切去几个基本几何体而成，如图2.3.29（a）所示。其作图过程如图2.3.29所示。

在画挖切类组合体时应注意：

a.画图之前，一定要对组合体的各部分形状及相互位置关系有明确的认识，画图时要保证这些关系表示得正确。

b.画各部分的三视图时，应从最能反映该形体特征形状的视图开始。

c.要细致地分析组合体各形体之间的表面连接关系。画图时注意不要漏线或多线。

挖切式组合体除了用形体分析法外，还要对一些斜面运用线面分析法。

线面分析法是在形体分析法的基础上，运用线、面的空间性质和投影规律，分析形体表面的投影，进行画图、看图的方法。

3.组合体的尺寸标注

（1）组合体尺寸标注的要求

组合体的形状和大小是由它的视图及其所注尺寸来反映的。在视图上标注尺寸有如下基本要求：

①正确。尺寸数值要正确无误，注法要符合国家标准的规定。

②完整。尺寸必须能唯一地确定立体的大小，不能遗漏和重复。

③清晰。尺寸的布局要整齐、清晰、恰当，便于看图。

图2.3.29　组合体三视图的画法

④合理。尺寸标注要保证设计要求，便于加工和测量。

（2）组合体尺寸标注的种类和尺寸基准

若组合体要达到尺寸标注完整的要求，仍要应用形体分析法将组合体分解为若干基本形体，标注出各基本形体的大小和确定这些基本形体之间的相对位置尺寸，最后注出组合体的总体尺寸。

因此，组合体尺寸应包括下列三种：

①定形尺寸：确定组合体各基本形体的形状和大小的尺寸。

②定位尺寸：确定组合体各基本形体间相对位置的尺寸。

③总体尺寸：确定组合体总长、总宽、总高的尺寸。

在形体分析的基础上，先标注出组合体各基本形体的定形尺寸，如图2.3.30（a）所示。形体Ⅰ应标注4个尺寸：60、34、10和R10；形体Ⅱ标注3个尺寸：14、22和R18，其长度36不必标注；形体Ⅲ标注3个尺寸：8、13、10；形体Ⅳ与形体Ⅱ同宽，故标注1个尺寸φ20；形体V与形体Ⅰ同高，标注1个尺寸φ10。然后标注定位尺寸。标注组合体的定位尺寸时，应该选择好尺寸基准。

通常把标注和测量尺寸的起点称为尺寸基准。组合体有长、宽、高三个方向的尺寸，每个方向至少应该有一个尺寸基准，用来确定基本形体在该方向的相对位置。当某方向的尺寸基准多于一个时，其中有一个是主要基准，其余为辅助基准。

标注尺寸时，一般以组合体较大的平面（对称面、底面、端面）、直线（回转轴线、转向轮廓线）、点（球心）作为尺寸基准，曲面一般不能作尺寸基准。

如图2.3.30（b）所示，组合体高度方向的尺寸以底端面为尺寸基准，标注尺寸32，确定形体Ⅳ的中心位置；形体Ⅲ高度方向的定位尺寸由形体Ⅰ的定形尺寸10所代替。长度方向以组合体的对称平面为尺寸基准，标注尺寸40，确定形体Ⅴ的相对位置。宽度方向的尺寸以后端面为尺寸基准，标注尺寸24，确定形体Ⅴ的中心位置。

最后，调整出总体尺寸。如图2.3.30（c）所示，形体Ⅰ长、宽方向的定形尺寸即是组合体长、宽方向的总体尺寸。组合体的总高尺寸50与尺寸32、R18重复，为了加工时便于确定圆孔φ20的中心位置，应直接标注出孔的中心高32，不注总高尺寸50，并减去定形尺寸22。

由此可见，当组合体的一端为回转体时，该方向的总体尺寸一般不标注，但必须标注出圆柱体中心的定位尺寸和半径（或直径）尺寸。因此，对某些组合体来讲，其总体尺寸不一定都要求标注完全。

图2.3.30　组合体的尺寸标注

图2.3.30（d）是组合体应标注的全部尺寸。图2.3.31是不必标全总体尺寸的图例。

（3）组合体尺寸标注应注意的问题

①尺寸应尽可能标注在反映基本形体特征较明显、位置特征较清楚的视图上，且同一形体的相关尺寸尽量集中标注。如半径尺寸应标注在反映圆弧实形的视图上，且相同的圆角半径只注一次，不在符号“R”前注圆角数目，如图2.3.32所示。

②为保持图形清晰，虚线上应尽量不注尺寸，如图2.3.33所示。

③尺寸应尽量标注在视图外边，尺寸排列要整齐，且应“小尺寸在里（靠近图形）、大尺寸在外”，避免尺寸线和其他尺寸的尺寸界线相交，如图2.3.34所示。

④同轴回转体的各直径尺寸应尽量注在非圆（平行于回转轴）的视图上，如图2.3.35所示。

图2.3.31　不必标全总体尺寸的图例

图2.3.32　尺寸标注在形体特征明显的视图上

图2.3.33　虚线上不注尺寸

⑤同一方向的尺寸线，在不重叠的情况下，应尽量布置在同一条直线上，如图2.3.36所示。

⑥尺寸不要直接标注在截交线和相贯线上。交线是组合体各基本形体间叠加（或挖切）相交时自然产生的，所以在交线上不应直接标注尺寸，如图2.3.37所示。

小贴士：在标注尺寸时，对于以上几点要求可能不能同时兼顾，应根据具体情况，统筹安排，合理布置。

图2.3.34　尺寸尽量注在视图外边，且小尺寸在里，大尺寸在外

图2.3.35　圆的尺寸尽量注在非圆视图上

图2.3.36　同一方向的尺寸标注

（4）标注组合体尺寸的步骤

①进行形体分析。

②标注各形体的定形尺寸。

③确定长、高、宽三个方向的尺寸基准，标注形体间的定位尺寸。

④考虑总体尺寸标注，对已注的尺寸进行必要的调整。

⑤检查尺寸标注是否正确、完整，有无重复、遗漏等。

图2.3.37　交线上不应标注尺寸

4.读组合体视图

画图是把空间的组合体用正投影法表示在平面上。读图是画图的逆过程，即根据已画出的视图，运用投影规律，想象出组合体的空间形状。画图是读图的基础，而读图既能提高空间想象能力，又能提高投影的分析能力。

（1）读图时的注意点

①读图的基本方法：以形体分析法为主，线面分析法为辅。根据形体的视图，逐个识别出各个形体，进而确定形体的组合形式和每个形体间邻接表面的相互位置。

②读图的要点：

a.要从反映形体特征的视图入手，几个视图联系起来看。

b.要认真分析视图中的相邻线框，识别形体和形体表面间的相互位置。

c.要把想象中的形体与给定视图反复对照，善于抓住形状特征和位置特征视图。

小贴士：物体的形状特征反映最充分的那个视图，就是特征视图。看图时必须善于找出反映特征的投影，这样便于想象其形状与位置。

例如，2.3.38（a）、（b）、（c）的主视图是一样的，但它们却表示形状完全不同的三种物体。图2.3.38（d）、（e）、（f）的俯视图都是两同心圆，但它们却是三种不同的物体。有时两个视图也不能确定空间物体的唯一形状，如图2.3.39（a）、（b）、（c）所示。若只看主、俯视图，物体的形状仍然不能确定。由于左视图的不同，物体就有可能是图示的几种空间形状。又如图2.3.40、图2.3.41所示，是由主、俯视图相同，不同的左视图所构成的物体。

图2.3.38　两个视图联系起来看

小贴士：看图时，不能只看一个或两个视图就下结论，必须把已知所有的视图联系起来看，进行分析、构思，才能想象出空间物体的确切形状。

图2.3.39　三个视图联系起来看

图2.3.40　各种不同的左视图

图2.3.41　对应两视图的多种形体构思

（2）看组合体视图的基本方法

①形体分析法。根据组合体视图的特点，将其大致分成几个部分，然后逐个将每一部分的几个投影进行分析，想出其形状，最后想象出物体的整体结构形状，这种看图方法称为形体分析法。看图时应注意以下几点：

a.认识视图抓特征。抓特征，就是抓主要矛盾，弄清物体的形状特征和各部分形体之间的位置特征。最能反映物体特征形状的视图，称为物体的形状特征视图。最能反映相互位置关系的视图，称为物体的位置特征视图。

b.分析形体对投影。参照物体的特征视图，从图上对物体进行形体分析，按照每一个封闭线框代表一块形体轮廓投影的道理，把它分解成几部分。

一般顺序是：先看主要部分，后看次要部分；先看容易确定的部分，后看难于确定的部分；先看整体形状，后看细节形状。

c.综合起来想整体。在看懂每块形状的基础上，再根据整体的三视图，想象它们的相互位置关系，逐渐形成一个整体的形象。

例2.9　用形体分析法看懂支承架三视图。

由图2.3.42所示，根据三视图基本投影规律，从图上逐个识别出基本形体，再确定它们的组合形式及其相对位置，综合想象出组合体的形状。

图2.3.42　用形体分析法看图（支承架）的方法步骤

看图的具体步骤：

a.分线框，对投影。

先看主视图，联系其他两视图，按投影规律找出基本形体投影的对应关系，想象出该组合体可分成三部分；立板Ⅰ、凸台Ⅱ、底板Ⅲ，如图2.3.42（a）所示。

b.识形体，定位置。

根据每一部分的三视图，逐个想象出各基本形体的形状和位置，如图2.3.42（b）～（d）所示。

c.综合起来想整体。

每个基本形体的形状和位置确定后，整个组合体的形状也就确定了，如图2.3.42（e）所示。

小贴士：形体分析法的读图步骤是看视图、分线框；对投影、识形体；定位置、出整体。

在一般情况下，形体清晰的零件，用上述的形体分析方法看图就能解决了。然而有些零件较为复杂，完全用形体分析法还不够。因此，对于图纸上一些局部的复杂投影，有时需要应用另一种方法———线面分析法来进行分析。

②线面分析法。视图中的一个封闭线框代表空间的一个面的投影，不同的线框代表不同的面。利用这个规律去分析物体的表面性质和相对位置的方法，叫做线面分析法。这种方法主要用来分析视图中的局部复杂投影，对于切割式的零件用得较多。

形体分析法从“体”的角度去分析立体的形状，把复杂立体（组合体）假想成若干基本立体按照一定方式组合而成；线面分析法则是从“面”的角度去分析立体的形状，把复杂立体假想成由若干基本表面按照一定方式包围而成，确定了基本表面的形状以及基本表面间的关系，复杂立体的形状也就确定了。

例2.10　如图2.3.43（a）所示物体的主、左两视图，补画俯视图。

图2.3.43　补画俯视图

由图2.3.43（a）可知，该物体的基本形体是长方体，它的前部切去一个三棱柱，中部切掉一个前后方向的梯形四棱柱，且在后部中间切去一个上下方向的四棱柱槽，其形状如图2.3.43（b）所示。

作图步骤：

a.画出长方体俯视图的轮廓，再画出前部切去三棱柱的俯视图，如图2.3.44（a）所示。

b.画出长方体中间切去梯形四棱柱的俯视图，如图2.3.44（b）所示。

c.画出后部切去四棱柱槽的俯视图，如图2.3.44（c）所示。

d.检查无误后，加深图线。

注意：梯形四棱柱槽的左、右对称两侧面R是正面的垂直平面。由正面投影r′可知侧面投影为缩小的类似七边形r″，俯视图也应是类似的七边形。

小贴士：线面分析法的读图步骤是看视图、分线框；对投影、识面形；定位置、出整体。

在读图时，一般先用形体分析法作粗略的分析，对图中的难点再利用线面分析法作进一步的分析。即“形体分析看大概，线面分析看细节”。

图2.3.44　补画俯视图的步骤

（3）补视图、补漏线

补视图、补漏线是提高看图能力及空间想象能力的方法之一。补视图、补漏线是根据已知的完整视图或漏线的视图，通过分析作出判断，并经过试补、调整、验证想象，最后作出所求的视图或补出视图中的漏线。

例2.11　看懂图2.3.45（a）所示组合体的视图，并补画俯视图。

图2.3.45　用形体分析法看图

①看物体的主、左视图，想象出物体的空间形状，弄清主、左视图的关系。从主视图入手，可将主视图线框分为A、B、C、D四个部分，如图2.3.45（a）所示。再由主、左视图的对应关系，想象出物体各部分形状，如图2.3.45（b）、（c）、（d）所示。最后综合归纳，想象出组合体的整体形状，如图2.3.45（e）所示。

②补画俯视图。在看懂视图、想象出物体形状的基础上，用形体分析法依次画出各形体的俯视图，如图2.3.46（a）、（b）、（c）所示。再按照各形体之间表面连接关系经整理、检查后，绘出俯视图，如图2.3.46（d）所示。

图2.3.46　补画视图的方法

例2.12　如图2.3.47所示，已知组合体主、左视图，补画其俯视图。

图2.3.47　想象物体形状

①分析物体形状，思维方法采用形体切割法。假想补齐各视图缺角线，即为长方体，如图2.3.48所示。

图2.3.48

②从左视图的斜线出发，对应主视图线框，假想长方体切去一角，形成五边柱体，如图2.3.49所示。

图2.3.49

③从主视图的切槽，对应左视图的线框，假想切去梯形体Ⅱ，如图2.3.50所示。

图2.3.50

④左视图的线框2″对应主视图的线段2′，线框4对应线段4″，假想左右切去直角三角柱Ⅲ，最后想象出物体的整体形状，如图2.3.51所示。

图2.3.51

例2.13　如图2.3.52（a）所示，补全组合体（压块）主、左视图中的漏线。

①看懂漏线的压块三视图，想象出整体形状。对图2.3.52（a）所给漏线的三视图进行投影分析，可知压块是挖切类组合体，可用线面分析法看图，从而查找出所漏的图线。

a.由俯视图左部的前、后斜线与主视图线框对应关系可知，压块左部的前、后面与面垂直。根据垂直面的投影特性可知其左视图的前、后部位应是与主视图相对应的类似图形。

b.从俯视图上的两同心圆与左视图上对应的虚线可知，压块中部是一沉孔，从而判定主视图该孔所遗漏的虚线。

c.把所漏图线考虑进来，便可想象出压块的形状，如图2.3.52（b）所示。

②在想象出压块整体形状的基础上，依次补画出主、左视图中的漏线。作图过程如图2.3.52（c）、（d）所示。

图2.3.52　补画视图中漏线的方法

五、轴测图画法

三面投影图在展开后，可以将较为简单的物体各部分形状完整、准确地表达出来，而且度量性好，作图方便，因而在工程上得到广泛应用。但这种图样缺乏立体感，直观性差。为了弥补不足，工程上有时也采用富有立体感的轴测图来表达设计意图。

1.轴测图的形成

（1）定义

轴测投影是将物体连同直角坐标体系，沿不平行于任一坐标平面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形，简称为轴测图。

（2）术语

①轴测投影的单一投影面称为轴测投影面，如图2.3.53中的P平面。

②轴测投影面上的坐标轴OX、OY、OZ称为轴测投影轴，简称轴测轴。

③轴测投影中，任两根轴测轴之间的夹角称为轴间角。

④轴测轴上的单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度的比值称为轴向伸缩系数。OX、OY、OZ轴上的轴向伸缩系数分别用p1、q1、r1表示。

为了便于作图，绘制轴测图时，对轴向伸缩系数进行简化，以使其比值成为简单的数值。简化伸缩系数分别用p、q、r表示。常用轴测图的轴间角和简化伸缩系数见表2.3.3。

图2.3.53　轴测图

表2.3.3　常用的轴测投影

2.正等轴测图及其画法

正等轴测图的轴间角∠XOY＝∠XOZ＝∠YOZ＝120°。画图时，一般使OZ轴处于垂直位置，OX、OY轴与水平成30°。可利用30°的三角板与丁字尺方便地画出三根轴测轴，见表2.3.3。

例2.14　画出图2.3.54所示凹形槽的正等轴测图。

图2.3.54为一长方体上面的中间截去一个小长方体而制成。只要画出长方体后，再用截割法即可得凹形槽的正等轴测图。

作图步骤：

①用30°的三角板画出OX、OY、OZ轴，从物体的后面、右面、下面开始画起，用尺寸28和40作出物体的底平面（为一平行四边形）。

图2.3.54　凹形槽正等轴测图

②用尺寸27过底平面平行四边形的4个角点分别往上画，再连接顶面四点，即得大长方体的正等轴测图。

③根据三视图中的凹槽尺寸，在大长方体的相应部分画出被截去的小长方体。

④擦去不必要的线条，加深轮廓线，即得凹形槽的正等轴测图。

3.斜二轴测图及其画法

斜二轴测图的轴间角∠XOZ＝90°，∠XOY＝∠YOZ＝135°，可利用45°的三角板与丁字尺画出。在绘制斜二轴测图时，沿轴测轴OX和OZ方向的尺寸可按实际尺寸选取比例度量，沿OY方向的尺寸则要缩短一半度量。

斜二轴测图能反映物体正面的实形且画圆方便，适用于画正面有较多圆的机件轴测图。

例2.15　画出图2.3.55所示零件的斜二轴测图。

图2.3.55　斜二轴测图画法

作图步骤：

①用45°的三角板画出OX、OY、OZ轴，从物体的后面、右面、下面开始画起，把主视图“复制”到图2.3.55（b）所示位置。

②把图2.3.55（a）俯视图宽度尺寸取一半量在图2.3.55（b）所示位置。

③把主视图再一次“复制”到图2.3.55（c）所示位置。

④擦去不必要的线条，加深轮廓线，即得零件的斜二轴测图。

任务拓展

例2.16　用近似法画三通管的相贯线。

分析　如图2.3.56所示两空心圆柱的轴线垂直相交，其表面的相贯线是封闭的空间曲线，且前后、左右对称。相贯线的水平投影与直立圆柱体柱面水平投影的圆重合，其侧面投影与水平圆柱体柱面侧面投影的一段圆弧重合。因此，只需求作相贯线的正面投影。

图2.3.56　三通管的相贯线

①画外表面的相贯线。以大圆管外表面最上边的素线与小圆管外表面最左、最右边素线的交点为圆心，取大圆管外半径R画弧与小圆管轴线交于点O，再以点O为圆心、R为半径画弧，即得外表面相贯线。

②画内表面的相贯线。以大圆管内表面最上边的素线与小圆管内表面最左、最右边素线的交点为圆心，取大圆管内半径R1画弧与小圆管轴线交于点O1，再以点O1为圆心、R1为半径画（虚线）弧，即得内表面相贯线。

例2.17　图2.3.57所示为拱形柱与圆柱相贯，求作相贯线。

图2.3.57　拱形柱与圆柱相交

分析：从图2.3.53（b）可知，该相贯体可分解为半圆柱与圆柱、长方体与圆柱相交，相贯线由直线和空间曲线所组成。由于相贯线俯、左视图已知，只需求作主视图，如图2.3.57（a）所示。

又由图2.3.57（d）所示，在圆柱上从左往右切拱形通槽，相贯线的形状和投影与图2.3.57 （a）相同，但主、俯视图应画虚线以表示拱形槽的不可见轮廓线。

例2.18　组合体三视图如图2.3.58所示，绘制正等轴测图。

用切割方式绘制正等轴测图步骤如图2.3.59所示。

图2.3.58

图2.3.59　画正等轴测图

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