三角形展开法

三、三角形展开法

三角形展开法是将立体的表面分成一定数量的三角形平面，然后再求出各个三角形每边的实长，并把它的实形依次画在平面上，从而得到整个立体表面的展开图。必须指出:用放射线法作展开图时，也是将锥体表面分成若干个三角形，但这些三角形均围绕着锥顶。而用三角形法展开时，三角形的划分是根据构件的形状特征进行的。用三角形法展开时，必须首先求出各素线的实长，这是准确地做好展开图的关键。

若构件表面既无平行线，又无集中于一点的斜边时，如各种过渡接头及表面较复杂形状的金属构件，均可用三角形法作出展开图。用三角形法作展开图的大体步骤如下:

①画出主视图、俯视图或其他必要的辅助图。

②用三角形分割构件表面。

③求出各棱线或各素线的实长，若构件端面不反映实形时，必须先求出实形。

④按求出的实长线和断面实形，依三角形的先后次序画展开图。

［例1］正四棱锥体的展开。

正四棱锥体的侧面由四个等腰梯形组成，相对两面对称且大小相等，如图3－42所示。各面在主、俯视图中均不反映实形。如果用辅助线按对角线方向分割，则棱锥体的四个侧表面被分成8个三角形，只要求出每个三角形的边长，便能画出这些三角形的实形，按照次序将它们画在平面上，即为四棱锥体的展开图。

①用已知尺寸画出主视图和俯视图。

②用三角形分割构件表面，即在俯视图上用细实线连结对角线。

③求实长。以主视图h为对边，取俯视图1—5、1—6、2—7为底边，作出直角三角形，则其斜边即反映各线的实长。

图3－42　正四棱锥体的展开

④作展开图。以1—5线为接口，按俯视图的三角形次序作展开。画水平线1—2等于主视图底边a，以1为圆心，对角实长线f₁为半径画圆弧，与以2为圆心，棱边实长线e为半径所画圆弧相交于6点。再以6为圆心，俯视图c长为半径画圆弧，与以1为圆心，实长线e为半径所画圆弧相交于5点。以直线连结各点，得前板的展开。以此类推，即可依次画出各三角形，并以直线顺次连结，便可得所求的展开图。

［例2］底口倾斜的方圆过渡接头的展开。

如图3－43所示，构件因主视图左右不对称，用直角三角形法求实长时，左面一组素线4B、5B，必须以左边的接管为直角边高度。而求右面一组素线1A、2A的实长时，应取其总高，见图3－43(b)，实长求得后，可从三角形1AB开始向两边展开。

①用已知尺寸a、b、d、h₁及β角画出主视图和俯视图。

②将俯视图半圆周分为6等分，得等分点1、2、3、…、7。连结1、2、3、k点与B;k、5、6、7与C点，则分左右不同高度的斜圆锥曲面为若干个小三角形平面。求出各三角形的实形后作展开。

图3－43　底口倾斜的方圆过渡接头的展开图

③求实长。由于构件底口倾斜，使其左右两侧高度不等。用直角三角形法求右侧过渡线和各辅助线实长时，以h₁垂直高为对边，以各线的水平投影为底边，四组直角三角形的斜边为各线的实长。同理，左侧各线实长则是以h₂垂直高为对边，以各线的水平投影为底边的另四组直角三角形，则斜边反映各线的实长。

④作展开图。构件因底口倾斜，只前后对称，左右并不对称，故以左侧短边为接口，从右侧开始展开。

画AB等于右侧底口边长a，以A、B为圆心，实线长B1为半径，分别画圆弧相交于1点。再以A、B为圆心，实长线B2、B3、B4为半径分别画圆弧，以1为圆心，顶圆等分弧长为半径向两侧依次画弧，与前弧分别相交得2、3、4。以4为圆心，实长线4C为半径画弧，与以B、A为圆心，底口斜边L长为半径画弧，交点为C、D。依次求出各点。通过各点分别连成直线和光滑曲线，即求得底口倾斜的方圆过渡接头的展开图。

［例3］上口倾斜的圆方过渡接头的展开。

图3－44为上口倾斜、下口水平的上圆下方过渡接头。由于上口倾斜，俯视图上的上口投影为椭圆，同时，各三角形的实形与实长线均因高低不同而发生变化。

①用已知尺寸先画出主视图和俯视图。

②在主视图上画出上口半圆周并做6等分，由各等分点做上口垂线，得交点2'、3'、4'、…、6'。俯视图上口的投影为椭圆，做此椭圆时，由主视图上的1、2'、3'、…、7向俯视图的中心线投影。然后以中心线各交点分别量取主视图中的2—2'、3—3'、…、6—6'长，得1、2、3、…、7各点，用光滑曲线连结即得椭圆。连结各素线为若干小三角形平面，然后求出各三角形的实形后作展开。

③用直角三角形法求实长。在垂直直角边上量取主视图各线的投影高，在其水平直角边上量取俯视图的投影长，则斜边即为实长。

④作展开图。该构件上口倾斜，左右不对称，但前后是对称的。可根据求得的实长线，从三角形1AD开始向两边作展开图，展开的方法同例2。

［例4］方圆过渡裤形管的展开。

图3－45为方口圆底裤形管，两腿对称，结合线为等腰梯形。这种裤形管与圆方过渡接头类似，展开法也基本一致。因两腿对称，可只作出一腿视图进行展开。图中已知尺寸为a、d、…、h₁及L。

图3－44　上口倾斜的圆方过渡接头展开图

①用已知尺寸画出主视图、左视图和顶底断面图。4等分底断面半圆周，等分点为l、2、3、4、5。由2、3、4引上垂线，得与1—5的交点为2'、3'、4'。连结2'、3'于B'，3'、4'于E'，分方圆过渡曲面(斜圆锥面)为8个小三角形面，各辅助线均不反映实长。

②求实长。用换面法求主视图各辅助线和左右轮廓线实长，如实长图所示;再用旋转法求出主视图B'E的实长。

图3－45　方圆过渡裤形管的展开图

③作展开。画水平线BC等于顶口a，以B、C为圆心，实长B1为半径，分别画圆弧相交于1点。B为圆心，实长B2、B3为半径画同心圆弧，与1为圆心，断面等分弧长作半径顺次画弧交得2、3点。以3为圆心，实长E3作半径画圆弧，与以B为圆心、主视图B'E作半径画圆弧交点为E。用同样方法求出4、5、6、A及右侧各点。通过各点分别连成直线和光滑曲线，即得所求展开图。