液体静压强的计算

如图2-3所示,在静止液体中,任意取出一倾斜放置的微小圆柱体,微小圆柱体长为l,端面积为d A,并垂直于柱轴线。

周围的静止液体对圆柱体作用的表面力有侧面压力及两端面的压力。根据流体静压强沿作用面内法线分布的特性,侧面压力与轴向正交,沿轴向没有分力,柱的两端面沿轴向从相反的方向作用的压力为P 1和P 2。

静止液体受到的质量力只有重力,而重力是铅直向下作用的,它与轴线的夹角为α,可以分解为平行于轴向的G·cosα和垂直于轴向的G·sinα两个分力。

因此,倾斜微小圆柱体轴向力的平衡,就是两端压力P1、P 2及重力的轴向分力G·cosα三个力作用下的平衡,即

P 2-P 1-G·cosα=0

由于微小圆柱体断面积d A极小,断面上各点压强的变化可以忽略不计,即可以认为断面上各点压强是相等的。设圆柱上端面的压强为p 1,下端面的压强为p 2,则两端面的压力为P 1=p 1 d A,及P 2=p 2 d A,而圆柱体受到的重力为液体的容重γ乘以l·d A,即G= γ·l·d A,代入上式得

p 2 d A-p 1 d A-γ·l d A cosα=0

消去d A,并由于l·cosα=h,经过整理得

p 2-p 1=γh(26)

图2-3　液体内微小圆柱的受力平衡

?

式(2-6)表示对液体密度均一的静止液体压强随深度按线性规律变化。容器中任意一点压强的大小只与深度h有关,与容器的形状无关,深度相同的各点,压强也相同,这些深度相同的点所组成的平面是一个水平面,因此水平面是等压面,静压强的作用方向总是垂直于作用面的切平面且指向受力物质系统表面的内法向。

如图2-4所示,水中1、2两点到任选基准面00的高度分别为Z 1及Z 2,压强分别为p 1及p 2,高度差为h,由式(26)得 p 2=p 1+γh

两边加上γZ 2得　　　p 2+γZ 2=p 1+γh+γZ 2=p 1+γZ 1

由于水中1、2两点是任选的,故可将上述关系式推广到整个液体,得出具有普遍意义的规律,即

Z+p/γ=C(常数)(2-7)

图2-4　液体所受静压强示意图

式(2-7)就是液体静力学基本方程式,它表示在同一种静止液体中,不论哪一点的(Z+ p/γ)总是一个常数,反映了静止流体中的一种最简单的能量守恒关系。式中:

①Z为该点的位置相对于基准面的高度,称为位置水头。

②p/γ是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度,称为压强水头。

③(Z+p/γ)称为测压管水头,它表示测压管水面相对于基准面的高度。

两水头相加等于常数(Z+p/γ=C),表示同一容器的静止液体中,所有各点的测压管水头均相等。所谓测压管是一端和大气相通,另一端和液体中某一点相接的管子。因此,在同一容器的静止液体中,所有各点的测压管水面必然在同一水平面上,如图2 -5所示。需要注意的是,测压管水头中的压强p必须采用相对压强表示。

图2-5　测压管水头

图2-6　例2-1附图

例2-1　用如图2-6所示测压计测量容器A中水的压强为p,已知h=0.5 m,h 1= 0.2 m,h 2=0.25 m,h 3=0.22 m,酒精相对密度d a1=0.8,水银相对密度d me=13.6,真空表读数p 0=0.25×105 Pa。求p的大小。

解　在静止条件下,对均质连续介质,由1-2,3-4和5-6等压面关系,有

p 1=p 2,p 3=p 4,p 5=p 6

由重力作用下静止液体中压强分布公式,得如下关系式

p 6=p 0+ρme gh 3

p 4=p 5-ρa1gh 2

p 2=p 3+ρme gh 1

p=p 1-ρw gh

这里不计空气的重量,联立上述各式,整理得

p=p 0+ρme g(h 3+h 1)-ρa1gh 2-ρw gh=24 167.72(Pa)