理想流体的机械能守恒

如图3-9所示,在运动流体中,任取一方形流体微团,其中心点A的坐标为(x,y,z),方体各边分别与坐标轴Ox、Oy、Oz平行,边长分别为δx、δy、δz。对于理想流体,黏度为零,微元表面不受剪应力,则作用于此流体微元上的力有两种:

(1)表面力　设六面体中心点A处的静压强为p,沿x方向作用于abc d面上的压强为,作用于a′b′c′d′面上的压强为。因此作用于两表面上的压力分别为

和

图3-9　方形流体微团

对于其他表面,也可以写出相应的表达式。

(2)质量力　设作用于单位质量流体上的质量力在x方向的分量为X,则微元所受的质量力在x方向的分量为Xρδxδyδz。同理,在y及z轴方向上微元所受的质量力分别为Yρδxδyδz和Zρδxδyδz。

由牛顿第二定律可知:质量力+表面力=质量×加速度。

对x方向,可写成

各项均除以微元体的质量ρδxδyδz可得

同理

式(3-12)即为理想流体运动微分方程(ideal fluid motion differential equation),即欧拉平衡方程。

设流体微元在d t时间内移动的距离为d l,它在坐标轴上的分量为d x、d y、d z。现将式(3-12)中各式分别乘以d x、d y、d z,使各项成为单位质量流体的功和能,得

因d x、d y、d z为流体质点的位移,按速度的定义

代入上式得

对于定常流动

且注意到

于是将以上三式相加可得

若流体只是在重力场中流动,取z轴垂直向上,则

X=Y=0,Z=-g

式(3-15)成为

对于不可压缩流体,ρ为常数,对式(3-16)积分可得

该式称为沿迹线的伯努利方程(Bernoulli equation),适用于重力场不可压缩的理想流体作定常流动的情况。

在式(3-17)中,Z代表单位重量流体的位置势能(position potential energy),即位能,单位为m,这里需要注意式(315)中Z的物理意义为单位质量力,单位为m/s2;p/ρg代表单位重量流体的压力势能(pressure potential energy)即压强能;u 2/2g表示单位重量流体的动能(kinetic energy)。此式表明在流动的流体中,位能、压强能、动能可相互转换,但其和保持不变。

对于不可压缩的流体,位能和压强能均属势能,其和

常称为总势能(total potential energy)。故不可压缩的理想流体在定常流动过程中,沿其迹线,单位质量流体的总势能和动能可以相互转换,其和保持不变。但是,流体在作定常流动时,其流线与迹线重合,此时伯努利方程仍可应用,但仅限于作定常流动时同一流线的流体。

如果所考察的流体属理想流体,黏度为零,则截面上流速分布均匀,各点上的动能也相等。因此,对于理想流体,截面上各点的总势能与动能都相同,即经过截面各点的每一条流线都具有相同的机械能。所以,对于理想流体,伯努利方程可以不加修改地推广应用于管流。此时,式(3-17)可写成

式中,下标1、2分别代表管流中位于均匀流段的截面1和2。式(3-18)中各项的单位都是米(m),具有长度量纲[L],表示某种高度,可以用几何线段来表示,流体力学上称为水头(head)。即u 2/2g称为速度水头(velocity head),Z称为位置水头(elevating head),p/ρg称为压力水头(pressure head),三项之和称为总水头(total head),常用H表示,Z+p/ρg为测压管水头(piezometric head),常用H p表示。伯努利方程的几何意义可以表述为:不可压缩理想流体在重力场中作定常流动时,同一条流线上的各点的单位重量流体的位置水头、压力水头和速度水头之和为常数,即总水头线为一平行于基准线的水平线,如图3-10所示。

图3-10　水头线