流体微团运动

流体微团的运动形式与微团内各点速度的变化有关。如图51所示,对方形流体微团ABCD,设顶点A的流速分量为u x和u y,则点B、C、D的流速分量分别如图所示。可见,微团上每一点的速度都包含A点的速度以及由于坐标位置不同所引起的速度增量两个组成部分。

从理论力学知道,刚体的运动可以分解为平移和旋转两种基本运动。流体运动要比刚体运动复杂得多,流体微团基本运动形式有平移运动、旋转运动和变形运动等,而变形运动又包括线变形和角变形两种。

图5-1　方形流体微团

图5-2　流体微团的平移

(1)平移

微团上各点公有的分速度u x和u y使它们在d t时间内均沿x方向移动一距离u x d t,沿y方向移动一距离u y d t,如图52所示,因此将A点的速度u x和u y定义为流体微团的平移运动速度。

(2)线变形

微团左、右两侧的A点和B点沿x方向的速度差为,当该速度差值为正时,微团沿x方向发生伸长变形;当它为负时,微团沿x方向发生缩短变形,如图5-3所示。单位时间、单位长度的线变形称为线变形速度。以θx表示流体微团沿x方向的线变形速度,则

图5-3　流体微团的线变形

同理可得沿y方向的线变形速度θy

推广到三元流动的普遍情况,则流体微团的线变形速度为

(3)旋转

过流体微团上A点的任两条正交微元流体边在其所在平面内旋转角速度的平均值,称作A点流体微团的旋转角速度在垂直该平面方向的分量,如图5-4所示。

图5-4　流体微团的旋转

由于dβ的方向与u x方向相反,故

沿z轴流体微团的旋转角速度分量为

推广到三元流动的情况,可得流体微团的旋转角速度分量为

因而角速度矢量为角速度的大小为

角速度矢量的方向规定为沿微团的旋转方向按右手定则确定。,AB发生偏转,如图

5-5所示,偏转角度为

(4)角变形速率

AB线上各点的y方向速度分量不相等,B点相对于A点有一y方向速度分量的增量同理,AD也将发生偏转,偏转角度为

图5-5　流体微团的角变形

AB、AD偏转的结果,使微团由原来的矩形ABCD变成平行四边形A′B′C′D′,微团在Ox y平面上的这种变形可用单位时间内AB、AD边偏转的平均值来衡量即单位时间微团在Ox y平面上的角变形,称为角变形速率。对于三元流动,流体微团的角变形速度为内某点M 0(x,y,z)的流速分量为u x0,u y 0,u z0(图5-6),邻近于M 0点的另一点M(x+ d x,y+d y,z+d z)的流速分量为

式中,ε的下标表示发生角变形的所在平面的法线方向。

在一般情况下,流体微团的运动是由上述四种基本运动形式复合而成的。设流体微团将速度增量d u x按泰勒级数展开

图5-6　质点流速的分解

于是,M点的流速分量u x又可写为

将式(5-8)、式(5-9)和式(5-10)代入上式得

u x=u x0-ωz d y+ωy d z+θx d x+εz d y+εy d z同理可以写出其余两个速度分量的表达式。因此,M点的速度可以表达为

上列三式中,右边第一项为平移速度;第二、三项是微团的旋转运动所产生的速度增量;第四项和第五、六项分别为线变形运动和角变形运动所引起的速度增量。可见,流体微团的运动可以分解为平移运动、旋转运动、线变形运动和角变形运动之和,这就是亥姆霍兹速度分解定理(Helmhotz theorem)。