湍流模式理论

湍流模式理论包括应用广泛的普朗特(Prandtl)混合长度理论、泰勒(Taylor)的涡量转移理论和冯·卡门(Von Karman)的相似性理论等。其基本思想都是建立关于雷诺应力的模型假设,使雷诺平均运动方程组得以封闭。本节先介绍雷诺平均运动方程,然后介绍湍流模式理论和常用湍流模型。

9.3.2.1　雷诺方程

基于非定常N--S方程可以描述湍流流动而工程上又特别关心流动参数时均值的观点,可将NS方程——雷诺平均运动方程,简称雷诺方程。

时均化运算法则　设瞬时速度u=u-+u′,u-为时间平均速度(时均速度),u′为脉动速度,其中S方程进行时均化处理,得到以时均值表示的N

由此可得时间平均(时均化)运算的基本法则如下。

(1)瞬时值之和的平均值等于其平均值之和,即

(2)平均值的平均等于其本身,即:

(3)平均值与瞬时值乘积的平均值,等于两平均值之积,即

(4)两脉动值乘积的平均值一般不等于零,即:。

(5)导数的平均值等于平均值的导数,即: S方程进行时间平均化处理,可得到湍流运动中各物理量平均值所满足的微分方程组,即雷诺方程。不可压缩流体的连续方程和N

雷诺方程　按照上述法则,对连续方程和NS方程(忽略体积力)可表示为,…, p=p-+p′等,然后进行时均化处理,得到微分方程组,即雷诺方程为

将方程展开,把所有物理量表示为时均值与脉动值之和的形式,例如,

雷诺方程与原N-S方程比较可知,用时均值表达的运动方程比原N-S方程多出6个独立附加量,即这些附加量具有应力的性质,称为湍流应力或雷诺应力。雷诺应力反映了湍流脉动对平均运动附加的影响。

由于雷诺应力的引入,原封闭的N S方程变为不封闭(4个方程,但有10个变量,即平均压力、3个平均速度分量和6个雷诺应力分量)。为了使方程组封闭,必须建立补充关系式。湍流半经验理论就是根据一些假设和实验结果,建立雷诺应力与平均速度之间的关系式,即湍流模型问题。

9.3.2.2　湍流模式理论

模式理论的思想可以追溯到1872年Boussinesq引入的湍流黏性系数μ′,由此得到雷诺应力为然后许多学者给出μ′与流场时均量的关系,根据所补充偏微分方程数目的不同而称为零方程、一方程和二方程模式以及两流体模型等。上述这一类以Boussinesq假设为基础的湍流模式,都假设湍流雷诺应力正比于时均应变率,这类湍流模式称为一阶封闭模型。对于某些流动,例如湍动引起的二次流等,就需要更精细地模拟雷诺应力的各个分量。各向同性湍流黏性系数的概念和由此提出的k -ε方程就过于粗糙,而Boussinesq假设本身也是未经过证实的,为了模拟各向异性的湍流而提出了二阶封闭模型,如Reynolds-Stress模型、代数应力

模型。

工程上主要有两种计算方法,即Boussinesq逼近和RSM雷诺应力模型。对于具体湍流模型,雷诺平均逼近要求k -ε方程的雷诺应力可以被精确地模拟。一般的方法是利用Boussinesq假设把雷诺应力和平均速度梯度联系起来

湍流模式理论在解决工程问题中发挥了很大的作用,但是各种模式理论都有一定的局限性,这是因为在构造模型时许多未知项知之甚少,有的根本没有直接的测量数据可供参考,另外一些参数则往往取自某些特定的实验,没有普适性。相比较而言,采用基于各向异性的二阶封闭模型可以得到更好的收敛结果。对于一个简单的边界层计算,采用Reynolds-Stress模型、二方程模型和一方程模型得到收敛所需的CPU时间之比为10∶3∶1。因此,在实际应用中,只有简单封闭模式得不到可靠预测结果时才采用较为复杂的封闭模式。

9.3.2.3　常用湍流模型

目前湍流的数值模拟主要有三种方法:直接数值模拟(direct numerical simulation,简称DNS)、大涡模拟(large eddy simulation,简称LES)和雷诺平均数值模拟(Reynolds average numerical simulation,简称RANS)。

常用的湍流模型包括Spalart-Allmaras模型、k-ε模型、k-ω模型、雷诺应力模型(Reynolds stress model,简称RSM)以及大涡模拟中的亚格子模型(sub-grid scale model)等。其中应用最为广泛的是k-ε两方程模型,它又可分为Standard k-ε模型、RNG k-ε模型和Realizable k-ε模型。Standard k-ε模型是最简单的两方程模型,具有适应范围广、计算量小的特点。RNG k-ε模型在ε方程中加了一个条件,考虑到了湍流漩涡,使得它比Standard k-ε模型有更高的可信度和精度。Realizable k-ε模型为湍流黏性增加了一个公式,为耗散率增加了新的传输方程,其好处是对平板和圆柱射流的发散比率的预测更精确,而且它对旋转流动、强逆压梯度的边界层流动、流动分离和二次流也有很好的表现。

在Spalart-Allmaras模型、k-ε模型和kω模型中使用Boussinesq假设。这种逼近方法的好处是对计算机的要求不高。在Spalart-Allmaras模型中只有一个额外的方程要解。k-ε模型和k-ω模型中有两个方程要解。Boussinesq假设的不足之处是假设μ′是个等方性标量,这是不严格的。

RSM是制作最精细的模型,它放弃等方性边界速度假设,使得雷诺平均N-S方程封闭,从而可求解方程中的雷诺压力和耗散速率。这意味着在二维流动中加入了五个方程,而在三维流动中加入了七个方程。由于RSM比单方程和双方程模型更加严格地考虑了流线形弯曲、旋涡、旋转和张力快速变化,它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺应力有关的方程,应力张力和耗散速率被认为是使RSM模型预测精度降低的主要因素。