基本几何元素的投影

工程上的物体从几何角度分析,都可以看成由点、线(直线或曲线)、面(平面或曲面)所组成。对点、线、面等几何元素的投影特性的分析和讨论,有助于进一步掌握物体的投影规律。

2.4.1 点的投影

1.点的三面投影及其展开

点是构成空间物体最基本的几何元素,一般体现为物体上棱线和棱线的交点、棱面的顶点等,如图2-14所示物体上的A、B点。将点A单独取出,置于由V面、H面、W面组成的三投影面体系中,分别向各投影面投影,就得到了它的三个投影。按规定空间点用大写字母表示,其投影用小写字母表示,H面上投影不加撇,V面上投影加一撇,W面上投影加二撇。由此,空间点A的三个投影分别表示为a、a′、a″,如图2- 15 (a)所示。

图2- 14 物体上的点

按上一节介绍的投影面展开方法,将三个投影展平在同一平面上,见图2 15(b),去除投影面的框线和标记,保留X、Y、Z投影轴,就得到了A点的三面投影图,见图2-15(c)。

图2- 15 一点的三面投影

2.点的直角坐标和投影规律

若将相互垂直的三投影面体系看作是笛卡儿直角坐标系,则V、H、W三个面就分别成为坐标面,X、Y、Z三条投影轴对应为坐标轴,三轴的交点O为坐标原点。如图2- 16所示,空间点A的坐标值在投影图上的增值正方向规定为:X坐标自原点O向左,Y坐标自原点O向下(或自原点O向右),Z坐标自原点O向上。由此空间点A的位置,亦可用A(x、y、z)三个坐标来确定。

对点的三面投影图分析,可得出如下的投影规律。

(1)点的两个投影的连线必垂直于相应投影轴(坐标轴)。即

aa′⊥X轴;

a′a″⊥Z轴;

图2- 16 点的直角坐标

aa″⊥Y轴(因Y轴分成两侧,故分别⊥YH轴和⊥YW轴)。

(2)点的投影到相应投影轴的距离反映空间该点到相应投影面的距离,即

水平投影a到X轴的距离=A点到V面的距离,到YH轴的距离=A点到W面的距离;

正面投影a′到X轴的距离=A点到H面的距离,到Z轴的距离=A点到W面的距离;

侧面投影a″到YW轴的距离=A点到H面的距离,到Z轴的距离=A点到V面的距离。

(3)点的任一投影必能也只能反映该点的两个坐标(二维空间)。

A点的水平投影a反映x和y坐标,因而能反映长度和宽度方向的距离;

A点的正面投影a′反映x和z坐标,因而能反映长度和高度方向的距离;

A点的侧面投影a″反映y和z坐标,因而能反映宽度和高度方向的距离。

从这些投影规律可以看出,只要已知空间点的任两个投影就可确定它在空间的位置和第三个投影;同样,当已知空间点的坐标(x、y、z)即可作出它的三面投影,知道点的投影亦可测得它的坐标值。

【例2- 2】 已知B点的正面投影和水平投影,见图217(a),试求其侧面投影。

解 (1)从b′作Z轴的垂线,并延长之,见图217(b);

(2)从b作YH轴的垂线得b YH,用45°分角线或圆弧将b YH移至b YW(使Ob YH=Ob YW),然后从b YW作YW轴的垂线,同b′与Z轴的垂线相交,得到b″,见图217(c)。

【例2- 3】 已知空间点C的坐标为(12,10,15),试作其三面投影图。

解 (1)作X,Y,Z轴得原点O,然后在OX轴上自O向左量取x=12,再由该点向下沿YH轴量取y=10,即得C点的水平投影c,见图2-18(a);

(2)由OZ轴向上量取z=15,沿OX轴向左量取x=12,求得C点的正面投影c′,见图2- 18(b);

(3)由OZ轴向上量取z=15,沿OYW轴向右量取y=10,得C点的侧面投影c″,见图218(c)。

在作点的第三个投影时,亦可在已求得两个投影的基础上,利用点的投影规律作图求出,参见例2 2。出,参见例2- 2。

图2 17 由点的两投影求第三投影

图2 18 根据点的坐标作其三面投影

3.两点的投影及重影点

1)两点的相对位置

空间两点处于同一个三投影面体系中,其上下、左右和前后的位置关系,可以由两点的同一方向坐标大小来判断。如图2-19所示空间两点A、C,可以看出,在X轴方向x C>x A, C点在A点左方,距离为Δx;在Y轴方向y C<y A,C点在A点后方,距离为Δy;在Z轴方向z C<z A,C点在A点下方,距离为Δz。

图2 19 两点的相对位置

2)重影点

当空间两点某两个坐标相同时,它们的一个投影会重合为一点,该重合投影即称为重影点。如图2- 20中A、B两点的水平投影重合为一点,说明该两点的x和y坐标相同,但z坐标不同。所以在投影图上可根据正面投影z坐标大小判别出空间A、B两点的高低位置,从而确定重影点的可见性,即投影图中A点的z坐标值大,它离观察者近,为可见;而B点的坐标值小,在A点之下,被遮住,为不可见,其投影b加括号表示。

图2- 20 点的重影点判别

同理,空间两点其正面投影重合为一点,则y坐标值大的点为可见点;而侧面投影重合为一点,则x坐标值大的点为可见点。

2.4.2 直线的投影

空间物体上直线一般体现为面与面的交线,如图2- 21所示的AB线。除特殊情况外,直线的投影仍然是直线。由初等几何可知,两点决定一直线,因此,在作一条直线的三面投影时,只需作出该直线上两点的三面投影,然后将同面投影相连,也就唯一确定了直线的各个投影。

图2 21 物体上的直线

1.各种不同位置直线的投影特征

在三投影面体系中,直线按其与投影面的相对位置不同可分为三种:投影面垂直线、投影面平行线和一般位置直线。下面分别讨论它们的投影特性。

1)投影面垂直线

凡垂直于某一投影面,同时平行于另两个投影面的直线,统称为投影面垂直线。其中,垂直于正立投影面称为正垂线,垂直于水平投影面称为铅垂线,垂直于侧立投影面称为侧垂线。

表2- 1列出了各种投影面垂直线的投影特性,其共同点可归纳为两条:

(1)直线在其所垂直的投影面上的投影,积聚为一点;

(2)直线的其余两个投影,均垂直于相应的投影轴且反映该直线的实长。

表2 1 投影面垂直线的投影特性

2)投影面平行线

凡平行于某一投影面,同时倾斜于另两个投影面的直线,统称为投影面平行线。其中,平行于正立投影面称为正平线,平行于水平投影面称为水平线,平行于侧立投影面称为侧平线。

表2 2列出了各种投影面平行线的投影特性,其共同点可归纳为两条。

(1)直线在其所平行的投影面上的投影,反映实长且反映与另两个投影面的真实夹角。按规定,直线与水平面(H面)的夹角用α表示,与正面(V面)的夹角用β表示,与侧面(W面)的夹角用γ表示。

(2)直线的其余两个投影,均为缩短了的直线且平行于相应的投影轴。

表2- 2 投影面平行线的投影特性

3)一般位置直线

既不垂直也不平行于任一投影面的直线称为一般位置直线。如图2- 22所示,其投影既不积聚为一点,也不反映实长,三个投影均为与投影轴倾斜的缩短的直线,且不反映其与任一投影面间的真实夹角。

图2- 22 一般位置直线

2.4.3 平面的投影

空间物体上的平面在三投影面体系中的投影,是由围成该平面的点、线等几何元素的同面投影所确定的,因此,在投影图中可以用下面任一组几何元素的投影表示平面,如图2-23所示。

(1)不在同一直线上的三点;(2)一直线和线外一点;(3)两平行直线;(4)两相交直线;(5)任意的平面图形(如三角形、圆等)。从图2-23中可见,各种表示法可以相互转化,而其中不在同一直线上的三点是决定平面位置的基本几何元素组。

图2- 23 表示平面的各种几何元素组

1.各种不同位置平面的投影特性

在三投影面体系中,物体上平面根据其相对于投影面的位置不同,同样可以分为三类:(1)投影面垂直面;(2)投影面平行面;(3)投影面倾斜面。前两类平面称为特殊位置平面,后一类平面称为一般位置平面。下面分别讨论它们的投影特性。

1)投影面垂直面

凡垂直于一个投影面,而与另两个投影面倾斜的平面,统称为投影面垂直面。其中,垂直于正面(V面)的称为正垂面,垂直于水平面(H面)的称为铅垂面,垂直于侧面(W面)的称为侧垂面。

表2-3列出了各种投影面垂直面的投影特性。

表2- 3 投影面垂直面的投影特性

它们的共同投影特性可归纳为两点:

(1)平面在所垂直的投影面上的投影,积聚成一条直线,该直线与两投影轴的夹角分别反映该平面与相应投影面的真实夹角;

(2)平面的另两个投影均为小于实形的类似形。

2)投影面平行面

凡平行于一个投影面,同时垂直于另两个投影面的平面,统称为投影面平行面。其中,平行于正面(V面)的称为正平面,平行于水平面(H面)的称为水平面,平行于侧面(W面)的称为侧平面。

表2- 4列出了各种投影面平行面的投影特性。

表2- 4 投影面平行面的投影特性

它们的共同投影特性可归纳为两点:

(1)平面在所平行的投影面上的投影,反映该平面的实形;

(2)平面的另两个投影均积聚成直线,且分别平行于相应的投影轴。

3)一般位置平面

凡同时倾斜于三个投影面的平面,称为一般位置平面。由图2-24(c)的投影图,可归纳其投影特性为三点:(1)三个投影均不反映平面实形;(2)三个投影均没有积聚性;(3)三个投影均为小于原形的类似形。

图2- 24 三棱锥上的一般位置平面

【例2- 4】 试分析图2-25(a)所示物体上各表面的空间位置,并利用各种位置平面的投影特性,补画出它的侧面投影。

解 物体上P面的正面投影积聚为一条斜线,水平投影为一封闭图形,故可判断它在空间为一正垂面,利用投影关系作出它的侧面投影应为一与水平投影类似的封闭图形,见图2-25(b)。

物体上Q、R面的正面投影均积聚为一条平行于X投影轴的直线,水平投影为反映平面实形的封闭图形,故可判断它在空间为一水平面,利用投影关系作出它的侧面投影应为一平行于YW投影轴的直线,见图2-25(c)。

图2- 25 分析物体上各个平面所处的空间位置

物体上S、T面的正面投影为反映平面实形的封闭图形,水平投影均积聚为一条平行于X投影轴的直线,故可判断它在空间为一正平面,利用投影关系作出它的侧面投影应为一平行于Z投影轴的直线,见图2- 25(d)。

物体上U、V面的正面投影均积聚为一条平行于Z投影轴的直线,水平投影均积聚为一条平行于YH投影轴的直线,故可判断它在空间为一侧平面,利用投影关系作出它的侧面投影应为反映平面实形的封闭图形,见图2-25(e)。

2.4.4 回转曲面的投影

工程上有许多物体是由曲面或曲面和平面组合而成的。为了正确地表达这些包含曲面的形体,必须熟悉曲面的投影及其表面取点、线的方法。下面以使用最广泛的回转曲面为例讨论其投影特性和有关的作图方法。

1.回转曲面的形成特点

凡是由母线(直线或曲线)绕一轴线回转一周形成的曲面,统称为回转曲面。母线在运动中的任一位置称为素线。常见的回转曲面有圆柱面、圆锥面、球面等。其中,圆柱面和圆锥面的母线是直线,称为直线面;球面的母线为曲线,称为曲线面。图2- 26为三种常见回转曲面的形成过程。

图2 26 常见回转曲面的形成

由图2- 26可见,回转曲面的共同特点是:母线上任意点的运动轨迹均为一个垂直于回转轴的圆,也称纬圆。因此,回转曲面可以看成是一系列素线或纬圆的集合。

回转曲面的表面是光滑无棱的,故在画回转曲面的投影图时,必须按不同的投影方向,把确定该曲面范围的轮廓素线画出,这种轮廓素线同时也是曲面在投影图上可见不可见的分界线,所以又称为转向轮廓素线。

2.圆柱面及其面上点的投影

1)圆柱面的投影

如图227(a)所示,将圆柱面置于三投影面体系中,向各投影面进行投影。由图2 27(b)所示的三个投影可知,由于其轴线垂直于水平投影面,故圆柱面上所有平行轴线的素线也垂直于水平投影面,此时圆柱面的水平投影为一圆周,即圆柱面上所有点线的水平投影均积聚在该圆周上。圆柱面的正面投影为一矩形,其中a′b′和a′1b′1分别为圆柱面顶圆和底圆的投影;a′a′1和b′b′1分别为圆柱面最左和最右两条素线,即是圆柱面在正立投影面上的投影轮廓线;整个矩形表示前后半个圆柱面的投影,前半个可见,后半个与之重合,为不可见。圆柱面的侧面投影亦为一矩形,但它的投影轮廓线c″c″1和d″d″1分别为圆柱面最前和最后两条素线,该矩形表示左右半个圆柱面的投影,左半个可见,右半个与之重合,为不可见。

图2- 27 圆柱面的投影

在圆柱面顶部和底部各加上一圆平面所围成的形体,称为圆柱体,是工程物体中常见的形体。

2)圆柱面上点的投影

圆柱面上的点必经过其上的一条素线,当圆柱面的轴线垂直于某一投影面时,则圆柱面在该投影面上的投影积聚为一个圆,利用这个特性就可以直接解决在圆柱面上取点的作图问题。

如图2- 28所示,已知半圆柱面上A点的水平投影a,可利用点的投影规律和圆柱面正面投影的积聚性先求出a′,然后由已知两投影求得侧面投影a″。

图2- 28 圆柱面上取点

3.圆锥面及其面上点的投影

1)圆锥面的投影

图2- 29为一轴线垂直于水平面的圆锥面的投影图。它的正面投影为一等腰三角形,s′a′和s′b′是圆锥面最左和最右两条素线,即是圆锥面在正立投影面上的投影轮廓线;整个三角形表示前后半个圆锥面,其中后半个面与前半个面重合,且为不可见。它的侧面投影亦为一等腰三角形,s″c″和s″d″是圆锥面上最前和最后两条素线,即是圆锥面在侧立投影面上的投影轮廓线;整个三角形表示左右半个圆锥面,其中左半个面与右半个面重合,且为不可见。水平投影为一个圆,但由于圆锥面无积聚性,此圆涵盖了整个圆锥面的投影。

2)圆锥面上点的投影

圆锥面的任一投影都没有积聚性,在其上作点的投影,要借助于辅助线,方法有以下两种。

图2- 29 圆锥面的投影

(1)素线法 如图2- 30(a)所示,在圆锥面上过点K及锥顶S作辅助素线SA,然后求出辅助线的各个投影,最后根据直线上点的投影关系就可求出K点的各个投影。

(2)纬圆法 如图2-30(b)所示,在圆锥面上过点K作一纬圆,该纬圆必垂直于圆锥面的轴线。先求出纬圆的各个投影,然后根据纬圆上点的投影关系即可求出K点的各个投影。

图2- 30 圆锥面上取点

4.圆球面及其面上点的投影

1)圆球面的投影

圆球面在三投影面体系中的投影是三个直径相等的圆,见图2 31,但它们分别代表了圆球面在三个不同投影方向上的最大轮廓的投影。如水平投影,它的投影轮廓圆s是空间上下两半球面的分界圆,它的正面投影和侧面投影分别为过球心的水平线s′和s″。正面投影的轮廓圆为空间前后两半球面的分界圆,侧面投影的轮廓圆为空间左右两半球面的分界圆,它们的对应投影位置请读者自行分析。

图2- 31 圆球面的投影

2)圆球面上点的投影

圆球面的任何投影均没有积聚性,所以一般利用平行于投影面的辅助圆来求球面上点的投影。如图2-32所示,过球面上K点作一平行于侧面的辅助圆,该圆在主视图和俯视图上的投影均为一直线,左视图上为圆的实形。当求出辅助圆的各个投影后,就能根据辅助圆上点的投影关系求出K点的各个投影。由于球的特殊性,也可以用平行于正面或水平面的辅助圆来求点的投影,其结果完全一致,请读者自行分析和试做。

图2 32 球面上取点

5.回转面上线的投影

解决回转面上线的投影问题时,可在线上取若干个点,按上述各种不同回转面求取点的方法求得所取点的各个投影,然后将同面投影上各点的投影光滑相连就得到了线的投影,但要注意判别可见性,可见部分用粗实线,不可见部分用虚线。具体作图过程请参看下面的例题。

【例2-5】 已知圆锥面上AB线的正面投影,试求其水平投影和侧面投影(图233)。

解 (1)由图2-33可知,AB线不是圆锥面上的素线,故在空间并非直线,而是曲线的投影,因此要求另两个投影不能简单地求出A、B两端点的同面投影相连,而必须在已知投影上取若干点,分别求出另两个投影后光滑连接得到。这里在已知投影上取a′、1′、2′、3′、b′五点。

(2)AB线上的A、B两点均在圆锥面的特殊位置上,其中A点在最左轮廓素线上,根据该素线在各投影中的位置,可直接求得a、a″;B点在圆锥的底圆上,根据底圆的投影也可很容易地找到它的投影b、b″,见图2- 33(a)。

(3)过锥顶作锥面上的两条素线分别使它们通过1′点和3′点,如图2-33(b),然后利用素线的水平投影和侧面投影,分别求得Ⅰ点和Ⅲ点的相应投影1、1″和3、3″。

(4)如图2-33(c),过2′点作水平纬线,在水平投影上获得相应的圆,在此圆周上求得2点,在侧面投影上的最前轮廓素线上得2″点。

(5)光滑连接A、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、B各点的水平和侧面投影,即为所求的圆锥面上AB线的水平投影和侧面投影。在侧面投影中,以最前轮廓素线上的2″点为分界点,2″3″b″线段为不可见,用虚线连接,见图2-33(d)。

(6)本题将已知的a′b′线段作为在圆锥的前半个面上来求解。如果考虑a′b′线段在后半个面上重合,则应在水平投影和侧面投影上画出在后半个面上相对称的投影。

图2- 33 求圆锥面上线的投影

复习思考题

2-1 正投影法主要有哪些投影特性?

2-2 正投影的各个基本视图反映哪些投影规律?

2-3 画出题图23所示物体的三个视图,并分析它们的异同。

题图2 3

2-4 已知下列各组视图,分别想象出它们的形状,并补画出它们的左视图(见题图24)。

题图2 4

2-5 已知B(20、15、5)、C(8、10、20)两点,

(1)试画出两点的三面投影;

(2)填写有关两点的相对位置问题:

B点在C点之__________ (左、右),相距__________ mm;

B点在C点之__________ (前、后),相距__________ mm;

B点在C点之__________ (上、下),相距__________ mm。

2-6 已知一物体的立体图和两面投影(见题图26),求它的第三投影,并说明其上所指线、面对投影面的位置。

直线AB 是__________ 线;

直线CD 是__________ 线;

平面P　是__________ 面;

平面Q、R是__________ 面;

平面S、T是__________ 面。

题图2- 6

2-7 已知球体的两投影,求作第三投影以及立体表面上各点的三面投影。

题图2- 7

2-8 试区别图示三种投影图所表示的曲面,分别求出表面上A点的水平投影(见题图2-8)。

题图2- 8