常用的误差（也是衡量观测值得精度指标）表示方法主要有以下几种。
6.7.1 绝对误差
绝对误差也称真误差，是指观测值与真值之差称为绝对误差。
（1）绝对误差理论计算公式
式中，Δ—— 绝对误差；
L —— 某个量的观测值；
——某个量的真值。
只有在一些特殊情况下，真值有可能预知。如平面三角形三内角之和为180°，同一值自身之差为零，自身之比为1等。在这种情况下只要有观测值，就能求得绝对误差。
通常情况下真值是未知的，绝对误差也无法获得。为了求得观测值的绝对误差，通常用测量结果可靠、有效、合理的数学期望值代替真值参加计算，则有
式中，E（L）——观测值L的数学期望，实际计算中多采用平均值。
6.7.2 相对误差
在很多情况下，仅仅知道观测的绝对误差大小，还不能完全表达观测精度的好坏。例如，我们测量了两段距离，一段为1000m，另一段为50m。其中误差均为±0.2m，尽管误差一样，但这两段距离中单位长度的观测精度显然是不相同的，前者的精度高于后者。因此，必须再引个衡量精度的标准，即相对误差。
式中，E——相对中误差；
Δ——绝对误差；
——观测值的真值。
观测值的绝对误差值与其真值之比称为相对误差。因真值常常未知，而观测值的估计值与真值接近，所以在实际运用中，将绝对误差与其观测估计结果的比作为相对误差，即：
式中，v —— 观测值的残余误差，是绝对误差的估计值；
—— 观测值的估计值
6.7.3 平均误差
一定测量条件下的偶然真误差绝对值的数学期望，称为平均误差。以θ代表平均误差，则
式中，θ——平均误差的理论值。
实用应用中，总是以其估计值t来代替
估计值t仍称为平均误差。式中n是误差个数，n愈大，此统计值就愈能代表理论值，当n→∞时，t=θ。依上述定义，平均误差的大小同样反映了误差分布的离散程度，可以证明
即同一测量条件下平均误差的理论值θ与均方差σ存在固定的函数关系，以相应估算值代换之，则有平均误差t与中误差理论上的关系为：
6.7.4 方差
由概率论数理统计知，描绘随机变量离散度的特征值是方差。数理统计中将随机变量与其数学期望之差的平方的数学期望值定义为此随机变量的方差，对于离散型随机变量的方差计算公式为：
对于连续型随机变量则为：
式中，D(L)—— 随机变量的方差；
f(L)—— 随机变量的概率密度函数；
L —— 随机变量。
由定义可以明显地看出，随机变量的全部取值越密集于其数学期望附近，则方差值越小，反之，方差值越大。可见方差反映的是随机变量总体的离散程度，又称总体方差或理论方差。在测量问题中，当仅有偶然误差存在时，观测值L的数学期望E（L）即为真值，而方差的大小则反映了总体观测结果靠近真值的程度。方差小，观测精度高，方差大，观测精度低。测量条件一定时，误差有确定的分布，方差为定值。
在式（7-18）中，代入Δ=L-E（L）则得
由方差定义，对于绝对误差的方差可以推出：
上二式表明，观测值L及其偶然真误差Δ具有相同的方差，此方差即为偶然真误差Δ之平方的数学期望。
正态分布函数中，参数σ的平方正是随机变量的方差。于是式（6-20）及式（6-21）用σ2表示，可写成：
上述是方差的理论值及理论计算公式，定义严密，计算准确，但在实际过程中难以获得偶然真误差，很少应用。
6.7.5 均方差
均方差是方差的算术平方根，均方差可与随机变量的量纲一致，计算公式为：
式中，δ——均方差
6.7.6 中误差
计算均方差必须已知随机变量的取值总体或真误差的概率密度函数，实际上是做不到的，而测量次数也只能是有限的。应用中，总是依据有限次观测的结果计算方差的估计值，并以其算术平方根作为均方差的估计值，称之为中误差。由此可知，在相同测量条件下的一组真误差平方中数的平方根即为中误差。也称均方根差、标准偏差或标准误差（简称标准差）。在实际应用中，通常用贝塞尔（Bessl）公式计算
式中，m——中误差；
n——中误差△i的个数。
在真值未知的情况下，镇误差也无法获得，通常用贝塞尔（Bessl）公式计算中误差：
式中，vi——第i个观测值的残余误差，是第i个真误差的估计值。
式中，Li——第i个观测值。
均方差与中误差从定义上是有区别的，均方差是个理论值，不易求得，与样本（或观测次数）无关。而中误差是均方差的估算值，是个近似值，可通过实测数据统计计算，因此，中误差还受到样本（或观测次数）的影响。
6.7.7 均方误差
均方误差是衡量精确度的指标，其定义为：
有人将均方差与均方误差混淆使用，实际上只有当观测值不含粗差和系统误差时，均方误差才等于方差。
将式（6-27）展开，并考虑到E[（L- E（L））（E（L）-
）]=[ E（L）-E（L）][ E（L-
）]=0，则可推导出：
即均方误差等于方差，加上数学期望与真值之差的平方。
6.7.8 相对中误差
一个观测值的中误差与其估算值之比，称这一量的相对中误差（或相对标准差）。
式中，S —— 相对中误差；
m —— 观测值的中误差；
——观测值的估值。
6.7.9 或然误差
若有一正数C，使得在一定测量条件下的误差总体中，绝对值大于和小于此数值的两部分误差出现的概率相等，则称此数值为或然误差。即
可以证明或然误差与理论值C与均方差的关系为，
式中，C——或然误差。
6.7.10 极限误差
从偶然误差第一特性得知，在一定测量条件下，偶然误差的大小不会超出一定的界限，超出此界限的误差出现的概率为零。按照这个道理，在实际工作中，常依一定的测量条件规定适当数值，使在这种测量条件下出现的误差，绝大多数不会超出此数值，而对超出此数值者，则认为属于反常，其相应的观测结果应予废弃。这一限制数值，即被称作极限误差。
极限误差应依据测量条件而定。测量条件好，极限误差应规定得小，测量条件差，极限误差应规定得大。在实际测量工作中，通常以标志测量条件的中误差的整倍数作为极限误差。
由概率论可知，当方差（δ2）一定（即测量条件一定）时，服从正态分布的偶然误差值出现于区间（-δ，δ）、（-2δ，2δ）及（-3δ，3δ）之外的概率分别是0.3123、0.0455和0.0027。近似地以中误差m代替均方差σ，大于3m的误差出现是小概率事件。在观测数目有限的情况下，通常就认为，绝对值大于3m的误差是不应该出现的。所以，一般取三倍中误差作为极限误差。即
式中，Δ极——极限误差；
m——观测值的中误差。
极限误差通常作为规定作业中限差的依据。
6.7.11 限差
在一定观测条件下规定的测量误差的限值称限差，又称容许误差、允许误差。由于服从正态分布的随机变量相对其均值得偏差大于2～3倍标准差（可用其估值中误差代替）的概率仅有4.55%～0.27%，通常以测量之中误差的规定值或预期值的2～3倍作为限差值，依次判定有无粗差存在和检核测量成果的质量，并决定取舍。
在要求严格时，也可采用2m作为极限误差。在我国现行作业中，以2倍中误差作为极限误差的较为普遍，即
式中，Δ限——极限误差；
m——观测值的中误差。
在以往的水文测验规范中多把限差称为“允许误差”，即在测验过程中允许出现的最大误差。在作业过程中，当测量值的测量误差，超过限差时，该结果作废，重新测量。
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