压电振子弯曲振动理论力学模型建立

3.1.2.1 压电单晶片振动时容积变化

有关振子变形理论,许多文献进行过论述,但因推导复杂而不便于计算。为方便对压电振子的振动特性进行解析分析,建立了如图3.3所示的单晶片振子振动的力学模型,将压电振子分成两大部分:一部分是由压电晶片、金属基板组成的二层结构的中心圆盘区;一部分是扣除中心圆盘区的中空环形被动基板。在此力学模型中,因胶层的厚度很薄,忽略其变形对振子变形产生的影响,各部分所受力矩分布如图3.3所示。同时根据弹性力学的轴对称薄圆板的小挠度问题,以及压电复合振子的结构形式,作如下假设与定义:

1.整个振子结构是个圆形对称结构。

2.压电陶瓷和基板的厚度同各自的直径比较要小得多,整个变形同整体结构尺寸比较也要小得多,因此板的变形可以用薄板小变形理论。

3.胶层的厚度同压电陶瓷和基板的厚度比较要小得多,因此胶层对整个结构变形的影响可以忽略不计。

图3.3　单晶片复合压电振子力学模型及力矩平衡图

4.胶层对压电陶瓷和基板的黏结是理想的。

5.基板的外缘被固定。

图3.3中M01、M11、M21分别表示为由压电单晶片产生的弯矩、基板对振子变形的阻力弯矩和作用在复合层外边缘的净弯矩;PZT为压电陶瓷;ω1(r1)为距离振子中心半径r1(0≤r1≤a)处振幅,ω2(r2)为距离振子中心半径为r2(a≤r2≤b)处振幅。根据弹性力学轴对称薄圆板的小挠度理论,由有效驱动电压引起的压电振子变形做如下推导:对于里面部分可以看成在r1=a处为简支,变形为纯弯曲变形,由薄壳理论相对于支撑O1处任意点A的振幅为

式中,De1、νe1表示PZT和基板的复合部分的等效弯曲刚度和泊松比;M21为瞬时作用在PZT和基板复合层外边缘的净弯矩;a为PZT的半径。

对于压电单晶片,单层PZT和基板复合后的等效弹性模量Ee1及等效弯曲刚度De1和泊松比νe1分别为[128]:

式中:h1=hpzt+hp,Epzt、νpzt、hpzt分别代表压电陶瓷的弹性模量、泊松比及厚度;Ep、νp、hp分别代表基板的弹性模量、泊松比及厚度。

由压电单晶片产生的弯矩为

式中,为压电陶瓷的弯曲刚度;Dp=为基板的弯曲刚度;U为驱动电压。

对于外面的基板环形部分,支撑在r2=b处,内部边缘是自由的。相对于支撑点Q2处,点B的振幅为

式中:M11为内侧作用在基板环形部分的弯矩;b为整个基板的半径。

M21=M01-M11

整个结构相对于Q2的振幅可以表示为

由连续性方程

求得

式中,

综上所述,整个振子的变形量可归纳为

压电振子的理论容积变化量为

3.1.2.2 压电双晶片振动时容积变化

双晶片压电振子各部分所受力矩分布如图3.4所示,图中M02、M12、M22分别表示为由压电晶片产生的弯矩、基板对振子变形的阻力弯矩和作用在复合层外边缘的净弯矩;PZT为压电陶瓷;ω1(r1)为距离振子中心半径r1(0≤r1≤a)处振幅,ω2(r2)为距离振子中心半径为r2(a≤r2≤b)处振幅。根据弹性力学轴对称薄圆板的小挠度理论,由有效驱动电压U引起的压电振子变形做如下推导:

图3.4　双晶片复合压电振子力学模型及力矩平衡图

对于里面部分可以看成在r1=a处为简支,变形为纯弯曲变形,由薄壳理论相对于支撑Q1处任意点A的振幅为

De2、νe2表示PZT和基板的复合部分的等效弯曲刚度和泊松比;M22为瞬时作用在PZT和基板复合层外边缘的净弯矩;a为PZT的半径。

对于压电单晶片,单层PZT和基板复合后的等效弹性模量Ee1及等效弯曲刚度De1和泊松比νe1分别为:

式中:h1=hpzt+hp,Epzt、νpzt、hpzt分别代表压电陶瓷的弹性模量、泊松比及厚度;Ep、νp、hp分别代表基板的弹性模量、泊松比及厚度。

对于压电双晶片两层PZT和基板复合后的等效弹性模量Ee2及等效弯曲刚度De2和泊松比νe2分别为:

式中:h2=2hpzt+hp

由压电双晶片产生的弯矩为

式中:为压电陶瓷的弯曲刚度;Dp=为基板的弯曲刚度;U为驱动电压。

对于外面的基板环形部分,支撑在r2=b处,内部边缘是自由的。相对于支撑点Q2处,点B的振幅为

式中:M12为内侧作用在基板环形部分的弯矩;b为整个基板的半径。

M22=M02-M12

整个结构相对于Q2的振幅可以表示为

由连续性方程

求得

式中,

综上所述,整个振子的变形量可归纳为

压电振子的理论容积变化量为

应用上述推导的理论方程,对基板直径为35 mm、陶瓷直径为29 mm压电双晶片振子的变形进行计算,计算结果如下:

压电陶瓷性能参数:d31=-171×10-12C.N-1,νpzt=0.3,Epzt=62.75GPa,2a=29mm;铜基板性能参数:νp=0.34,Ep=117 GPa,2b=31mm。

文中选取3种型号单晶片和压电晶片,每种型号的单晶片和双晶片的压电陶瓷厚度和基板厚度均相等,因此单晶片时,C11=1/2,C12=1/2;双晶片时,C21=2/3,C22=1/3。表3.2为3种型号双晶片和单晶片各性能参数的计算值。

表3.2　压电振子的性能参数

从公式(3-14)和公式(3-31)及关于上述关于压电晶片的计算值可以得出压电双晶片与压电单晶片振动时引起泵腔容积为ΔVthi对于每种厚度双晶片与单晶片产生容积变化的比值γ=从表3.2的计算数据可以得出,对于文中所用3种型号的压电振子,γ值都约为2.3,也就是说,对于同种型号的双晶片和单晶片来说,前者产生的容积变化在理论上应为后者的2.3倍。