图形变换数学模型

在井巷三维可视化系统中，图形系统涉及到平移、缩放、旋转等多种基本变换，实现这些复杂的图形变换需要引入三维可视化变换数学模型。

三维图形变换的数学模型，其原理是把三维空间的坐标表示为3×3阶矩阵，通过齐次化将其转化为4×4阶矩阵，以此实现图形系统的平移、旋转、关于任意直线对称等基本变换。

通常将齐次坐标表示为［x y z 1］，变换矩阵表示为如下的4×4阶方阵T

［lmn］表示生成坐标轴x，y，z的轴向平移；

［s］表示生成图形的全比例变换；

［pqr］T表示生成图形的透视投影变换。

3．2．1　图形比例变换的数学模型

变换矩阵为

其中a，e，j分别为x，y，z三个方向的缩放系数。若a＝e＝j，则各项缩放比例相同。当各轴的缩放比例相同时，也可采用全比例变换

3．2．2　图形旋转变换的数学模型

空间立体绕x，y，z轴旋转一定的角度即为图形的旋转变换。

3．2．2．1　空间立体绕x轴旋转θ角

此时x坐标不变，y，z坐标变化，变换矩阵为：

3．2．2．2　空间立体绕y轴旋转θ角

与绕x轴旋转θ角原理类似，此时y坐标不变，x，z坐标变化，变换矩阵为：

3．2．2．3　空间立体绕z轴旋转θ角

与绕x轴旋转θ角原理类似，此时z坐标不变，x，y坐标变化，变换矩阵为：

3．2．3　图形平移变换的数学模型

空间立体的平移并不改变立体本身的形状和大小，其平移变换的矩阵为：

l，m，n分别为三个坐标轴方向的平移量。

3．2．4　图形绕过原点的任意轴旋转θ角的数学模型

立体图形绕过原点的任意轴旋转可通过多个基本变换的组合来实现。设OI为绕过原点的任意轴，它与三个坐标轴的夹角表示为α，β，γ，其在x，y，z轴的方向余弦分别为：

实现该变换的多个基本变换的组合步骤为：

（1）将OI绕z轴旋转φ角使其旋转到yoz坐标平面上，变换矩阵为：

其中：tanφ＝

（2）然后绕x轴旋转γ角使其与z轴重合，变换矩阵为：

（3）使立体绕z轴旋转θ角

（4）绕x轴旋转－γ角

（5）绕z轴旋转－φ角

故绕过原点的任意轴旋转θ角的变换矩阵为：

TR＝T1·T2·T3·T4·T5

3．2．5　绕过任意点P0（x0，y0，z0）的轴旋转θ角数学模型

变换步骤如下：

（1）进行平移变换，使旋转轴通过坐标原点：

（2）使立体绕过原点的轴旋转θ角：

（3）进行平移变换，使旋转轴回到原来位置：

故绕过任意点P0（x0，y0，z0）的轴旋转θ角的变换矩阵为：

根据各种不同图形变换的数学模型，将其引入到井巷三维可视化系统的程序设计中，作为实现三维仿真图形以及进行图形操作变换的基础。