土压力计算要考虑组合系数吗

如图6-4所示，在墙后土体中任意深度z处取一微小单元体，作用于该土单元上的竖向主应力就是自重应力σz=γz，作用在挡土墙背面的静止土压力强度可以看作土体自重应力的水平分量，则该点的静止土压力强度可按下式计算：

图6-4　静止土压力计算示意图

σx=k0γz　　（6-1）

式中：σx——静止土压力强度（kPa）。

k0——土的侧压力系数或者静止土压力系数（见表4-1）。

γ——墙后填土的重度（kN/m3），若有地下水情况，土体容重γ取浮容重，并考虑水压力分布；若是成层填土，土体容重γ分层取值。两种情况的计算方法与第2章类似。

由式（6-1）可知静止土压力强度沿墙高呈三角形分布，如取单位墙长，则作用在墙上的静止土压力为

式中：E0——静止土压力（kN/m）；

h——挡土墙高度（m）。

静止土压力E0的作用点在距离墙底的处，即三角形的形心处。

朗肯（Rankine）土压力理论属于古典土压力理论之一，它是通过研究自重应力下半无限土体内各点应力从弹性平衡状态发展为极限平衡状态的应力条件，而得出的土压力计算理论。其基本假定是：①墙为刚体；②挡土墙墙背垂直光滑（墙与竖向夹角α=0，墙与土的摩擦角δ=0）；③墙后填土面水平（β=0）。因为墙背垂直光滑才能保证垂直面内无摩擦力，即无剪应力。根据剪应力互等定理，水平面上剪应力为零。这样，在填土体中的水平面与垂直面上的正应力正好分别为大、小主应力，其应力状态才与半空间土体中的应力状态一致，墙背才可假想为半无限土体内部的一个垂直平面。

图6-5　朗肯土压力极限平衡状态

当挡土墙离开土体向左移动时［图6-5（a）］，墙后土体有伸张趋势。此时竖向应力σz不变，法向应力σx减小，σz和σx仍为大、小主应力。当挡土墙位移使墙后土体达极限平衡状态时，σx达最小值σa，其莫尔应力圆与抗剪强度包线相切［图6-5（c）中圆Ⅱ］。土体形成一系列滑裂面，面上各点都处于极限平衡状态，这种状态称为主动朗肯状态，此时墙背法向应力σx为最小主应力，即朗肯主动土压力。滑裂面的方向与大主应力作用面（即水平面）成α=角。

同理，若挡土墙在外力作用下向右挤压土体［图6-5（b）］，σz仍不变，而σx随着挡土墙位移增加而逐步增大，当σx超过σz时，σx为大主应力，σz为小主应力。当挡土墙位移至墙后土体达极限平衡状态时，σx达最大值σp，莫尔应力圆与抗剪强度包线相切［图6-5（c）中圆Ⅲ］，土体形成一系列滑裂面，称被动朗肯状态。此时墙背法向应力σx为最大主应力，即朗肯被动土压力。滑裂面与水平面成角。

1）主动土压力计算

当土体处于朗肯主动极限平衡状态时，σz=γz=σ1，σx=σ3，即为主动土压力强度σa。由上述分析和土体极限平衡条件可知：

无黏性土

式中：Ka——主动土压力系数，；

γ——墙后填土的重度（kN／m3），地下水位以下用有效重度；

c——填土的黏聚力（kPa），黏性土c≠0，而无黏性土c=0；

φ——内摩擦角（°）；

z——墙背土体距离地面的任意深度。

由式（6-3）可见，无黏性土主动土压力沿墙高为直线分布，即与深度z成正比，如图6-5所示。若取单位墙长计算，则主动土压力Ea为

Ea通过三角形的形心，即作用在距墙底H/3处。

由式（6-5）可知，黏性土的主动土压力强度由两部分组成，一部分是由土自重引起的土压力γzKa；另一部分是由黏聚力c引起的负侧压力。这两部分土压力叠加的结果如图6-7（c）所示，其中ade部分为负值，对墙背是拉力，但实际上墙与土在很小的拉力作用下就会分离，因此计算土压力时该部分应略去不计，黏性土的土压力分布实际上仅是abc部分。

图6-6　无黏性土主动土压力分布图

图6-7（c）中a点离填土面的深度z0称为临界深度。对于黏性土，令式（6-5）中z=0时，，这显然与挡土墙墙背直立、光滑无摩擦相矛盾，为此，需要对土压力强度表达式进行修正，令

由此可得临界深度

修正后黏性土的土压力强度表达式为

黏性土的土压力分布如图6-7（c）所示，土压力分布只有abc部分。若取单位墙长计算，则黏性土主动土压力Ea为三角形abc的面积，即有

Ea通过三角形的形心，即作用在距墙底（H-z0）/3处。

图6-7　朗肯主动土压力分布

2）被动土压力计算

当挡土墙在外力作用下推挤土体而出现被动极限状态时，墙背土体中任一点的竖向应力保持不变，且成为小主应力，即σz=γz=σ3，而σx达到最大值σp，成为大主应力σ1，即σx=σ1，可以推出相应的被动主压力强度计算公式：

式中：Kp——被动土压力系数，。

则其总被动土压力为

黏性土

无黏性土

被动土压力Ep合力作用点通过三角形或梯形压力分布图的形心。

【例6-1】　已知某挡土墙墙背竖直光滑，填土面水平，墙高h=5m，黏聚力c=10kPa，重度γ=17.2kN/m3，内摩擦角φ=20°，试求主动土压力，并绘制主动土压力分布图。

图6-8　被动土压力强度分布图

【解】　墙背竖直光滑，填土面水平，满足朗肯土压力理论，故可以按照式（6-5）计算沿墙高的土压力强度

因为填土为黏性土，故需要计算临界深度z0，由式（6-8）可得

绘制土压力分布图如图6-9所示，其总主动土压力为

主动土压力Ea的作用点离墙底的距离为

图6-9　例6-1图

3）几种特殊情况下的土压力计算

（1）填土表面有均布荷载

当墙后填土表面有连续均布荷载q（kPa）作用时，可把荷载q视为由高度h=q/γ的等效填土所产生，由此等效厚度填土对墙背产生土压力。在图6-10中，当土体静止不动时，深度z处应力状态应考虑q的影响，竖向应力为σz=γz+q，σx=Kaσz=Ka（γz+q）。当达到主动极限平衡状态时，大主应力不变，即σ1=σz=γz+q，小主应力减小至主动土压力，即σa=σ3。

无黏性土

黏性土

可见，对于无黏性土，主动土压力沿墙高分布呈梯形，作用点在梯形的形心，如图6-10所示。对于黏性土，临界深度时，土压力为梯形分布；z0≥0时，土压力为三角形分布。沿挡土墙长度方向每延米的土压力为土压力强度的分布面积。

图6-10　填土面有均布荷载的土压力计算

（2）填土为成层土

当挡土墙后填土由几种不同的土层组成时，仍可用朗肯理论计算土压力。当墙后有几层不同类型的土层时，先求出每层土的竖向自重应力，然后乘以该土层的主动土压力系数，得到相应的主动土压力强度。

如图6-11所示，对于无黏性土

图6-11　成层填土的土压力计算

若为更多层时，主动土压力强度计算以此类推。但应注意，由于各层土的性质不同，主动土压力系数Ka也不同，因此，在土层的分界面上，主动土压力强度会出现两个数值。

对于黏性土，第一层填土（0-1）的土压力强度

第二层填土（1-2）的土压力强度

说明：成层填土合力大小为分布图形的面积，作用点位于分布图形的形心处。

（3）填土中有地下水

当墙后填土有地下水时，作用在墙背上的侧压力由土压力和水压力两部分组成。如图6-12所示，abdec部分为土压力分布图，cef部分为水压力分布图。计算土压力时，地下水位以下取有效重度进行计算，总侧压力为土压力和水压力之和。

图6-12　填土中有地下水的土压力计算

水下土重度　　　　　γ′=γsat-γw

静水压力　σw=γwh

总侧压力　σ=σa+σw

【例6-2】　已知某挡土墙高5m，上部受到均布荷载作用q=15kPa，其墙背竖直光滑，填土水平、填土分两层并且含有地下水：h1=2m，γ1=16.8kN/m3，φ1=30°，c1=12kPa；h2=3m；γ2=20kN/m3，φ2=26°，c2=14kPa。试求主动土压力及其作用点的位置，并绘制σa分布图。

【解】　墙背竖直光滑，填土面水平，满足朗肯土压力理论，故可以按照式（6-5）计算沿墙高的土压力强度

地面处A点

因为填土为黏性土，故需要计算临界深度z0，可得

绘制土压力分布图如图6-13所示，其总主动土压力为

主动土压力E的作用点离墙底的距离为

图6-13　例6-2图

库仑土压力理论是根据墙后土体处于极限平衡状态并形成一滑动楔体时，从楔体的静力平衡条件得出的土压力计算理论。其基本假定为：墙后填土是理想的散粒体（黏聚力c=0）；滑动破坏面为一平面；滑动土楔体视为刚体。

库仑土压力理论适用于砂土或碎石填料的挡土墙计算，可考虑墙背倾斜、填土面倾斜以及墙背与填土间的摩擦等多种因素的影响。分析时，一般沿墙长度方向取1m考虑。

1773年，著名的法国学者库伦（C.A. Coulomb）提出了一种计算土压力的理论。这种理论是根据墙后所形成的滑动楔体静力平衡条件建立起来的，这种理论具有计算简单、适用范围广泛且计算结果接近实际等优点，至今仍然广泛使用于工程实践中。其基本假定如下：

（1）墙后填土为理想散粒体（无黏聚力）。

（2）墙后填土产生主动土压力或被动土压力时，填土形成滑动楔体，且滑动面为通过墙踵的平面。

（3）滑动楔体为刚体，不考虑滑动楔体内部的应力和变形条件。

库仑土压力理论适用于砂土或碎石填料的挡土墙计算，可考虑墙背倾斜、填土面倾斜以及墙背与填土间的摩擦等多种因素的影响。分析时，一般沿墙长度方向取1m考虑。

1）主动土压力

如图6-14所示，墙背与垂直线的夹角为α，填土表面倾角为β，墙高为h，填土与墙背之间的摩擦角为δ，土的内摩擦角为φ，土的黏聚力c=0，假定滑动面BC通过墙踵，滑动面与水平面的夹角为θ，取滑动楔ABC作为隔离体进行受力分析。

图6-14　库仑主动土压力计算

当滑动土楔体ABC向下滑动，处于极限平衡状态时，土楔上作用有以下3个力：

（1）土楔体ABC自重W。当滑裂面的倾角θ确定后，由几何关系可计算土楔自重。

（2）破裂滑动面BC上的反力R。该力是由于楔体滑动时产生的土与土之间摩擦力在BC面上的合力，作用方向与BC面法线的夹角等于土的内摩擦角φ。楔体下滑时，R的位置在法线的下侧。

（3）墙背AB对土楔体的反力E。与该力大小相等、方向相反的楔体作用在墙背上的压力，就是主动土压力。力E的作用方向与墙面AB法线的夹角为土与墙背之间的摩擦角δ。楔体下滑时，该力的位置在法线的下侧。

土楔体ABC在以上3个力的作用下处于极限平衡状态，根据力的平衡条件和几何关系，可得

图中θ角是假定的，只有取极值才能使E值达到最小值，故令：

求出θ后，代入式（6-17），经整理后可得库仑主动土压力的一般表达式：

称为库仑土压力理论的主动土压力系数。

墙背摩擦角δ可根据墙背的光滑程度以及排水情况按表6-1选取。

表6-1　土对挡土墙墙背的摩擦角

当墙背直立（α=0）、墙面光滑（δ=0）、填土表面水平（β=0）时，主动土压力系数为：。由此可见朗肯土压力计算公式，可视为是库仑土压力计算公式的一个特例。

库仑主动土压力强度沿墙高按三角形分布，计算公式为

σa=γzKa

主动土压力的作用点距离墙底h/3处。

2）被动土压力

当挡土墙在外力作用下挤压土体（图6-15），模体沿破裂面向上隆起而处于极限平衡状态时，同理可得作用在模体上的力三角形如图6-15（b）所示。此时由于模体上隆，Ep和R均位于法线的上侧。按求主动土压力相同的方法可求得被动土压力Ep的库仑公式为

图6-15　库仑被动土压力计算

当墙背直立（α=0）、墙面光滑（δ=0）、填土表面水平（β=0）时，被动土压力系数为：，此时，即为无黏性土的朗肯被动土压力公式。库仑被动土压力强度沿墙高按三角形分布，计算公式为

σp=γzKp

被动土压力的作用点距离墙底h/3处。

3）黏性土的库仑土压力理论

由前可知，库仑土压力只适用于无黏性填土。但在实际工程中常不得不采用黏性填土，但采用库仑土压力进行计算时，误差较大。因此，为了考虑土的黏聚力c对土压力的大小及分布的影响，提出了黏性土的库仑土压力近似计算方法。

（1）“广义库仑理论”

“广义库仑理论”考虑了墙后填土面超载、填土黏聚力、填土与墙背间的黏结力以及填土表面附近的裂缝深度等因素的影响，根据图6-16所示，可得主动土压力系数Ka如下：

图6-16　广义土压力理论示意图

式中：q——填土表面均布荷载（kPa）；

h0——地表裂缝深度（m）；

c——填土的黏聚力（kPa）；

c′——墙背与填土间的黏聚力（kPa）。

（2）《建筑地基基础设计规范》推荐公式

《建筑地基基础设计规范》推荐采用上述“广义库仑定理”解答，地表裂缝深度h0及墙背与填土间的黏结力c′均不计为0。并注意到此时墙背倾角α=90°-α′（图6-16），从而可得

其他符号意义同前。

由于挡土墙上的土压力与许多因素有关。一直以来，尽管关于影响土压力因素的研究较多，但总体上，土压力尚不能准确地计算，在很大程度上是一种估算。主要原因是天然土体的离散型、不均匀性和多样性，朗肯和库仑土压力理论对实际问题作了一些简化和假设，现针对这两个理论作一对比分析：

（1）朗肯与库仑土压力理论均属于极限状态土压力理论。用这两种理论计算出的土压力都是墙后土体处于极限平衡状态下的主动与被动土压力。

（2）两种分析方法存在较大差别，主要表现在研究的出发点和途径不同。朗肯理论是从研究土中一点的极限平衡应力状态出发，首先求出的是作用在土中竖直面上的土压力强度σa或σp及其分布形式，然后再计算出作用在墙背上的总土压力Ea和Ep，因而朗肯理论属于极限应力法。库仑理论则是根据墙背和滑裂面之间的土楔，整体处于极限平衡状态，用静力平衡条件，先求出作用在墙背上的总土压力Ea或Ep，需要时再算出土压力强度σa或σp及其分布形式，因而库仑理论属于滑动楔体法。

（3）上述两种研究途径中，朗肯理论在理论上比较严密，但只能得到理想简单边界条件下的解答，在应用上受到限制。库仑理论显然是一种简化理论，但由于其能适用于较为复杂的各种实际边界条件，且在一定范围内能得出比较满意的结果，因而应用广泛。