自适应逆推变结构数学模型

逆推是一种递归设计方法，反馈控制器是在递归地构造闭环系统的Lyapunov函数中获得，它将对一个高阶系统的设计问题转为对一系列低阶系统的设计问题。逆推方法可以来解决系统镇定、跟踪和干扰抑制问题，以及鲁棒控制和自适应控制问题。含有未知参数的严参数反馈非线性不确定系统为

其中，xi，i=1，2，3为状态变量；u为输入变量；θ为不确定参数；fi， gi，i=1，2，3为光滑函数，且满足fi(0)=0，gi(xi)≠0；φi是光滑向量场，且满足φi(0)=0。

由于发电机取三阶模型，故基于自适应逆推变结构控制器的设计需要3步，在最后一步中加入滑模变结构控制方法，形成全系统的Lyapunov函数。

第1步

定义误差变量e1=x1，为此，

=f1(x1)+g1(x1)x2+φT1(x1)θ 　(5-32)

取x2为虚拟控制，选择虚拟镇定函数，即为

式(5-33)中，c1为一设计常数，φ1(·)为一待设计的函数，为θ的估计值，定义为估计误差，且

定义误差变量e2=x2-x*2，则x2=e2+x*2，将x2代入式(5-32)可得

定义第一阶系统的Lyapunov函数为

则

第2步

定义前两阶系统的Lyapunov函数为

则

又误差变量e2=x2-x*2，则有

取x3为虚拟控制，选择虚拟镇定函数，即为

式(5-40)中，c2为一设计常数，φ2(·)为一待设计的函数。其中φ1 (·)和φ2(·)为κ类函数，通过灵活调整κ类函数中的可调参数，可以保持暂态响应和控制器增益之间的平衡。

定义误差变量e3=x3-x*3，则x3=e3+x*3，将x3代入式(5-39)可得

所以

第3步

引入变结构控制，定义滑模面为

s=d1e1+d2e2+e3 　(5-43)

其中，d1，d2为待设计常数，且均大于零，从而全系统的Lyapunov函数为

其中，r为自适应增益系数。

其中，f1，f2，f3，g1，g2，g3，φT1，φT2，φT3，分别表示f1(x1)，f2(x1， x2)，f3(x1，x2，x3)g1(x1)，

g2(x1，x2)，g3(x1，x2，x3)，φT1(x1)，φT2(x1，x2)，φT3(x1，x2，x3)

则有

取反馈控制律为

取参数替换律为

将式(5-47)、(5-48)代入式(5-46)中，可得

通过选取合适的参数c1，c2和d1，d2，使得V≤0，即V(t)是非增有界的。