扩孔扭矩的计算

水平定向钻穿越的扩孔扭矩计算涉及多方面的因素，确立这些因素以及它们之间的相互作用是一个复杂的过程，不仅需要考虑到地层因素、扩孔钻头的类型，还要考虑到施工参数的影响。扩孔扭矩的计算模型一般可以分为三类，即基于钻头受力分析的扭矩计算、基于能量平衡的扭矩计算和考虑各因素的扭矩经验公式。此外，还可进一步用相关数值软件模拟计算得到扩孔扭矩，但是模拟分析也必须对钻具进行受力分析、确立边界条件等工作。总的来说，扩孔扭矩影响因素可分为如表4－1列出的几个方面。

表4－1 扩孔扭矩的影响因素

无论是基于受力、能量和经验公式，扩孔扭矩M都可用下式定性表示。

M＝f（A1，A2，B1，B2，B3，C1，C2，C3，C4，C5，C6，C7）（4－1）

式中参数参考表4－1。

可见式（4－1）只是一个一般表达式，其中各种因素并不相互独立，可能相互影响。在计算建模中，一些因素可能因为某种假设进行了简化，没有全部考虑进去。

4.2.1 扩孔工艺规程参数

扩孔钻进规程按其要求和条件的不同分为优化钻进规程、强力钻进规程和特殊钻进规程，一般所说的钻进规程即指最优钻进规程，即在一定条件下，确定能达到最佳技术经济指标的钻进参数；而为了达到更高的钻进速度，钻进时采用比一般钻进参数更高的钻进参数，也称为快速钻进规程；为了某一目的或要求或某些特殊的目的和要求（导向孔曲率较大，或要通过某些特殊地层及孔段）而采用的某些特殊的技术措施和特殊的、受限制的钻进参数，称为特殊钻进规程。

4.2.1.1 回拖力

足够的回拖力是保证扩孔钻头有效切削土体和破碎岩石的必要条件。它的大小直接影响切削土体和破碎岩石的钻进效率。施工时的实际回拖力需考虑岩层的状态、钻头的类型、钻孔的长度及弯曲曲率和钻具的强度因素，水平定向钻回拖力的分析和计算将在第五章中详细介绍。

4.2.1.2 扩孔速度

扩孔速度与铺管成本和成功率直接相关。扩孔速度低，则效率低，成本高，钻孔裸露时间长，容易造成垮塌；扩孔速度过快，碎屑无法与泥浆充分混合而形成岩屑床。在覆盖层深度有限的情况下，过快的速度会造成地面隆起、地面冒浆等情况。

扩孔速度与扭矩、转速和回拖力密切相关，在实际工作过程中往往与泥浆泵工作能力相匹配。也就是说，扩孔速度是否合适应以泥浆能否充分清除孔内岩屑为主要依据。钻孔泥浆量应该适当控制，如果泥浆量过大，会对孔壁冲刷严重，特别是当回流中断后，会引起地层压力迅速增加，可能导致地表隆起、浆液漏失和地面冒浆等不良后果。如果泥浆量过小，则不足以悬浮钻屑，清孔难度加大，铺管阻力加大。

根据上述分析，这里假设泥浆量的流量系数为k，该流量是一个满足钻孔泥浆能有效排出体积为V0的碎屑而保证孔内不产生沉淀的一个临界值，则可知实际泥浆流量V为：

V＝k·V0（4－2）

式中：V——实际泥浆累计流量（m3或L）；

k——流量系数（常数）；

V0——被切削的岩／土体体积（m3）。

其中： V＝Qηt， V0＝SL

因此有：

即可以推导出的扩孔速度为：

式中：Q——理论泵量（L／min）；

η——泵的容积效率（％），两者之积Qη为实际泵量；

t——单位时间（s）；

S——被切削的面积（m2）；

L——扩孔长度（m）；

k——流量系数（常数）。

上式中系数k在1～5之间，通常选用3。k和S两者之积即为该级扩孔所需钻孔泥浆体积。该体积钻孔泥浆是基本保证排除碎屑而孔内不产生沉淀的经验值。流量系数取值取决于地层状况、碎屑尺寸和碎屑流出孔口的距离。对砂土，取1～1.5；对于高塑性（水胀性）粘土、坚硬致密粘土，取较大值。

4.2.2 基于受力分析的扩孔扭矩计算

水平定向钻穿越在不同特征的土层中采用不同的扩孔头进行扩孔施工，在较硬的土层中一般使用翼状或腰笼状扩孔头（图4－5、图4－6），而在中软地层中则使用挤压式或螺旋形的扩孔头，对于砂层和含有砾石的砂层则采用凹槽状扩孔头（图4－7）。这类扩孔头的受力分析相对比较容易。而相对于在大口径、硬岩中使用的牙轮扩孔头（图4－8），受力分析比较复杂，尽管地质勘探、石油等领域中针对牙轮扩孔头的扭矩计算和分析已经相对成熟，但是水平定向钻穿越中使用的扩孔牙轮扩孔头受力更加复杂，不便用受力分析对扩孔扭矩进行分析。

图4－5 挤压式与翼状的扩孔头

4.2.2.1 翼状扩孔头的扭矩计算

翼状扩孔头的扭矩计算首先需要作如下的假设：

（1）扩孔头为刚性体；

（2）切削齿完全布满翼片外缘表面且与孔壁连续接触；

（3）摩擦系数在某孔段为常数。

设扩孔头的锥度为α，前一级孔的半径为Ri－1，扩孔头半径为Ri，翼片长度为l1，宽度为b，翼片数量为n，与土体的摩擦系数为f（图4－6）。

图4－6 翼状扩孔头

其切削面积为S1＝nbl1，单位面积上的压力为：

式中：p——作用在扩孔头上的压强（MPa）；

α——扩孔头的锥度（rad）；

l1——翼状扩孔头翼片长度（mm）；

b——翼状扩孔头翼片宽度（mm）；

n——翼状扩孔头翼片数量（无量纲）。

单位面积上的摩擦力为：

式中：f——翼状扩孔头与土体的摩擦系数（无量纲）；

其他符号意义同式（4－4）。

根据摩擦力的计算公式可以计算扩孔头微面上产生的扭矩为：

对翼片面积进行积分，得到总扭矩为：

式中：M——作用在扩孔头上的扭矩（N·m）；

p——作用在扩孔头上的压强（MPa）；

α——扩孔头的锥度（rad）；

l1——翼状扩孔头翼片长度（mm）；

b——翼状扩孔头翼片宽度（mm）；

n——翼状扩孔头翼片数量（无量纲）；

Ri－1——翼片前部半径（mm）；

Ri——翼片后部半径，或扩孔头半径（mm）。

4.2.2.2 挤压式扩孔头的扭矩计算

对于挤压式扩孔头，也需要作如下的假定：

（1）扩孔头为刚性体；

（2）扩孔头横截面为圆形；

（3）扩孔头与孔壁连续接触；

（4）摩擦系数在某孔段为常数；

（5）一切引起轴向阻力和旋转扭矩增加的因素都等价于扩孔头与孔壁摩擦系数的变化。

同样设扩孔头的锥度为α，前一级孔的半径为Ri－1，扩孔头半径为Ri，圆台的母线长度为l2［l2＝（Ri－Ri－1）／sinα］，与土体的摩擦系数为f（图4－7）。

图4－7 挤压式扩孔头

假设其切削面积为整个圆台的侧面积，即S2＝πl2（Ri＋Ri－1），其单位面积上的压力为：

单位面积上的摩擦力为：

式中：p——作用在扩孔头上的压强（MPa）；

α——扩孔头的锥度（rad）；

l2——挤压式扩孔头斜面长度（mm）；

Ri－1——扩孔头前部半径（mm）；

Ri——扩孔头后部半径（mm）；

f——扩孔头与土体的摩擦系数（无量纲）。

根据挤压式扩孔头的几何特征计算微圆台的环侧面积为：

考虑到式（4－10a）中第二项为无穷小量，略去不计，因此微圆台的环侧面积可以简化为：

则微侧环产生的扭矩为：

对圆台面积进行积分，得到总扭矩为：

式中：M——作用在扩孔头上的扭矩（N·m）；

p——作用在扩孔头上的压强（MPa）；

α——扩孔头的锥度（rad）；

Ri－1——扩孔头前部半径（mm）；

Ri——扩孔头后部半径（mm）；

f——扩孔头与土体的摩擦系数（无量纲）。

4.2.3 基于能量平衡的扩孔扭矩计算

按照能量守恒原则，岩石／土体破碎／切削所消耗的功应当等于扭矩功和钻压力（回拖力）所做的功（式4－13）。一般来说，该计算模型适用于各种形状的钻头，但实际上这是理想状态下得到的结果，在扩孔过程中，不可避免地会出现能量的耗散和损失。

式中：az——钻头钻比功（kg·m／cm3）；

Di——第i级的钻头直径（m）；

v——第i级时的钻速（m／min）；

M——扭矩（N·m）；

n——第i级时的转数（r／min）；

P——第i级时的回拖力（N）；

kv——与钻速相关的系数，与钻速的乘积推荐值为0.4（无量纲）。

4.2.4 基于经验公式的扩孔扭矩计算

对于硬岩中使用的牙轮扩孔头（图4－8），其切（磨）削岩石和自身运动方式比较复杂，如果还要考虑到牙轮自身的磨损问题，用受力分析的方式得到扭矩的计算式不易，一般采用经验公式进行估算。考虑到表4－1中的影响因素，采用多元回归的方法得到各参数的系数。借鉴地质勘探、石油等领域中使用的经验公式，同时基于大量的数据，可推广得到水平定向钻穿越中使用的扩孔扭矩公式。

图4－8 牙轮扩孔头

国外垂直孔的扭矩计算公式为：

式中：M——扭矩（N·m）；

c——与岩石相关的系数，包含泥浆等相关参数（m3）；

p——钻压（MPa）；

ap——与钻压相关的系数（无量纲）；

n——转数（r／min）；

b——与转数相关的系数（无量纲）。

国外学者通过修改，增加与水平定向钻穿越相关的因素，使之成为水平定向钻穿越时所采用的扭矩计算公式：

式中：L——钻杆在钻孔内的累计长度（m）；

d——与钻杆长度相关的系数（无量纲）；

K——累积的钻杆空间偏斜度（rad／m）；

s——与累积的钻杆空间偏斜度相关的系数（无量纲）。

以国外扩孔扭矩的计算公式为参考，增加扩孔直径、泵量和泥浆粘度3个与扩孔扭矩相关的因素，得到以下计算公式。再根据以往的施工数据，便可计算得到相关因素的参数。

式中：M——扭矩（N·m）；

c′——与岩石相关的系数（m3）；

p——钻压（MPa）；

a——与钻压相关的系数（无量纲）；

n——钻杆的转数（r／min）；

b——与转数相关的系数（无量纲）；

L——钻杆在孔内的累计长度（m）；

d——与钻杆长度相关的系数（无量纲）；

Di——第i级时钻头的直径（mm）；

f——与钻头直径相关的系数（无量纲）；

W——泵量（L／min）；

g——与泵量相关的系数（％）；

η——泥浆粘度（m Pa·s）；

h——与泥浆粘度相关的系数（无量纲）；

s——与累积的钻杆空间偏斜度相关的系数（无量纲）；

K——累积的钻杆空间偏斜度（rad／m），用Lubinski公式计算。K值可以通过下式进行计算：

式中：θ——倾斜角（rad）；

φ——方位角（rad）。

考虑到现场的实际情况和参数变化情况，式（4－16）可简化为：

式中的符号意义同式（4－16）。