正弦值对照表是如何计算出来的

用复数来表示正弦量的方法称为正弦量的相量表示法。由于相量法涉及复数的运算，先回顾一下复数的有关知识。

3.2.1　复数的相关知识

在数学中常用A＝a＋bi表示复数，其中i表示虚单位。为了与电流区别开，在电工技术中将虚单位改写为j。复数有以下四种表示方法。

（1）代数形式　　A＝a＋j b

（2）三角形式　　A＝rcosθ＋j rsinθ

（3）指数形式　　A＝rejθ

（4）极坐标形式　　

其中，a表示实部，b表示虚部，r表示复数的模，θ表示复数的幅角，它们之间的关系是

复数的这四种表示方法是可以互相转换的。通常在对复数进行加减运算时采用其代数式，在对复数进行乘除运算时采用其极坐标式。

图3.2.1　复数在复平面中的表示方法

建立一直角坐标系，令横轴表示复数的实部，称为实轴，以＋1为单位，纵轴表示虚部，称为虚轴，以＋j为单位，如图3.2.1所示。复平面中的有向线段对应复数A，其实部为a，其虚部为b，r对应复数的模，有向线段与实轴正方向间的夹角对应复数的幅角θ。显然，a＝rcosθ，b＝rsinθ。

3.2.2　正弦量的相量表示法

设某正弦电流为

如图3.2.2所示，在复平面上作相量，其长度按比例等于i的最大值Im，其幅角等于i的初相ψ。i的角频率为ω，令相量以ω大小的角速度绕原点逆时针旋转，t＝0时，在虚轴上的投影OA＝Imsinψ，即为i在t＝0时的值，经过时间t1，相量在虚轴上的投影OB＝Imsin（ωt1＋ψ），即为i在t1时刻的瞬时值，这样，一个旋转相量每个瞬间在虚轴上的投影就与正弦量的瞬时值对应起来了。这个相量的模是正弦量的最大值，辐角是正弦量的初相。

图3.2.2　用正弦波形和旋转有向线段来表示正弦量

正弦量可用旋转有向线段表示，有向线段可用复数表示，所以正弦量也可用复数来表示。由于在正弦电路中，所有电流、电压都是同频率的正弦量，表示它们的那些旋转相量角速度相同，相对位置始终不变，因此，无须考虑它们的旋转，只用起始位置的相量就能表示正弦量了。所谓相量表示法，就是用模等于正弦量的最大值（或有效值）、辐角等于正弦量初相的复数对应表示正弦量。模等于正弦量有效值的相量称为有效值相量，用表示，模等于正弦量最大值的相量称为最大值相量，用表示。

正弦电流

通常，用正弦量有效值相量的极坐标形式来表示，将同频率正弦量的相量画在同一复平面上所得的图称为相量图。

【例3.2.1】　已知正弦电压

写出u1和u2的相量，并画出相量图。

【解】　u1的有效值相量为

u2的有效值相量为

相量图如图3.2.3所示。

在进行电路分析时，常常需要对多个电流、电压比较相位的超前和滞后，可先设定一个初相为零的正弦量，即参考正弦量，其对应相量称为参考相量（用虚线表示），然后在相量图上画出其余相量。从相量图上可以直观地看出几个相量之间的相位关系，显然在图3.2.3中，超前。

图3.2.3　例3.2.1的图

在电路分析中，有时需要对两个正弦量进行相加或相减运算，如果直接用波形法或三角函数运算法则，过程是比较烦琐的。由数学知识可以证明，同频率正弦量相加或相减，所得结果仍是一个同频率正弦量。因此，就可以用相量来表示其相应的运算。

设有两个同频率正弦量u1、u2，要求出同频率正弦量之和u，若u＝u1＋u2，则有＝。因此，同频率正弦量相加的问题可以化成对应的相量相加的问题。其步骤如下。

（1）由相加的正弦量的解析式写出相应的相量，并表示为代数形式。

（2）按复数运算法则进行相量相加，求出和的相量。

（3）由和的相量的有效值和初相写出和的正弦量。

【例3.2.2】　已知u1＝220sinωt V，u2＝220sin（ωt－120°）V，若u＝u1＋u2，求u和。

【解】　（1）相量直接求和。

图3.2.4　例3.2.2的图

（2）作相量图求解。如图3.2.4所示，有效值相等，对应的两有向线段夹角为120°，解三角形可以得出对应的有向线段为等边三角形的一条边，其有效值为220V，初相为60°。

思考与练习

3.2.1　已知相量，试把它们化为极坐标式，并写成正弦量的瞬时值表达式。

3.2.2　写出下列各正弦量对应的相量，并画出相量图。

3.2.3　已知

u1＝8sin（ωt＋60°）V，u2＝6sin（ωt－30°）V

试用复数计算u＝u1＋u2，并作相量图。