随机误差的特征及其评定

1.随机误差的分布及其特征

前面提到，随机误差就其整体来说是有其内在规律的。例如，在相同测量条件下对一个工件的某一部位用同一方法进行150次重复测量，测得150个不同的读数（这一系列的测得值，常称为测量列），然后找出其中的最大测得值和最小测得值，用最大值减去最小值得到测得值的分散范围，将分散范围从7.131mm到7.141mm，每隔0.001mm为一组，分成11组，统计出每一组出现的次数ni，计算每一组的频率（次数与测量总次数N之比），列于表2-1中。

表2-1　数据表

以测得值xi为横坐标，频率ni/N为纵坐标，将表2-1中的数据以每组的区间与相应的频率为边长画成直方图，即频率直方图，如图2-8（a）所示。连接每个小方图的上部中点（每组区间的中值），得到一折线，称为实际分布曲线。如果将测量次数N无限增大（N→∞），而间隔Δx取得很小（Δx→0），且用误差δ来代替尺寸x，则得图2-8（b）所示的光滑曲线，即随机误差的理论正态分布曲线。

根据概率论原理，正态分布曲线方程为

图2-8　随机误差分布曲线
（a）频率直方图；（b）正态分布曲线

从式（2-9）、图2-8可以看出，遵循正态分布的随机误差具有以下四个基本特性：

（1）单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；

（2）对称性：绝对值相等的正、负误差出现的次数大致相等；

（3）有界性：在一定条件下，误差的绝对值不会超过一定界限（即3δσ±≤）；

（4）抵偿性：当测量次数N无限增加时，随机误差的算术平均值趋于零。

2.随机误差的评定指标

评定随机误差时，通常以正态分布曲线的两个参数，即算术平均值和标准偏差σ作为评定指标。

1）算术平均值

对同一尺寸进行一系列等精度测量，得到L1，L2，…，LN一系列不同的测量值，则

由此可知，当测量次数N增大时，算术平均值越趋近于真值L，由于真值未知，因此用算术平均值作为最后测量结果是可靠的、合理的。

2）标准偏差σ

用算术平均值表示测量结果是可靠的，但它不能反映测得值的精度。

有些数据测得值比较集中，而有些就比较分散，但可能有相同的平均值，这说明有一组测得值比另一组更接近于算术平均值L（即真值），即其中有一组测得值精密度比另一组的高，故通常用标准偏差σ反映测量精度的高低。

根据误差理论，等精度测量列中单次测量（任一测量值）的标准偏差σ可用下式计算：

由式（2-9）可知，概率密度y与随机误差δ及标准偏差σ有关。当δ=0时，概率密度最大，如图2-9所示，若三条正态分布曲线，σ1＜σ2＜σ3，则y1max＞y2max＞y3max。这表明σ越小，曲线越陡，随机误差分布也就越集中，即测得值分布越集中，测量的精密度也就越高；反之，σ越大，曲线越平缓，随机误差分布就越分散，即测得值分布越分散，测量的精密度也就越低。因此σ可作为随机误差评定指标来评定测得值的精密度。

由概率论可知，随机误差δ=±3σ范围之内的概率为99.73%，误差落在此区间之外的概率为0.27%，属于小概率事件，也就是说随机误差分布在±3σ之外的可能性很小，几乎不可能出现。所以可以把δ=±3σ看作随机误差的极限值，记作δlim=±3σ。很显然δlim也是测量列中任一测得值的测量极限误差，或称为概率为99.73%的随机不确定度，随机误差绝对值不会超出的限度，如图2-10所示。

图2-9　标准偏差对随机误差分布特性的影响

图2-10　3σ概率区间

3）残余误差ν

测量中各测得值与算术平均值的代数差称为残余误差iν，即

残余误差是由随机误差引申出来的。

4）标准偏差的估计值σ′

由式（2-11）计算σ值必须具备三个条件：

（1）真值L必须已知；

（2）测量次数要无限次（N→∞）；

（3）无系统误差。

但在实际测量中要达到这三个条件是不可能的。因为真值L无法得知，则δi=Li-L也无法得到；测量次数也是有限量。所以在实际测量中常采用残余误差νi代替δi来估算标准偏差。因此，标准偏差的估算值σ′为

式（2-13）中的N-1不同于式（2-11）中的分母N，因为受各剩余误差平方的代数和等于零这个条件的约束，所以，N个剩余误差只能等效于（N-1）个独立的随机变量。

5）算术平均值的标准偏差Lσ

标准偏差σ代表一组测量值中任一测得值的精密度。但在系列测量中，是以测得值的算术平均值作为测量结果的。因此，更重要的是要知道算术平均值的精密度，即算术平均值的标准偏差。根据误差理论，测量列算术平均值的标准偏差Lσ与测量列中任一测得值的标准偏差σ存在如下关系：

由式（2-14）可知，多次测量的算术平均值的标准偏差Lσ要比单次测量的标准偏差σ小倍。这说明，测量次数越多，Lσ越小，测量结果越接近于真值，测量精度越高。