渐开线齿轮的齿廓及传动比

1.齿廓啮合基本定律

对齿轮传动的基本要求之一是两轮的瞬时角速度比（ω1／ω2）恒定不变，否则当主动轮以等角速度ω1转动时，从动轮的角速度ω2为变量，这样将产生角加速度进而产生惯性力矩，不仅会影响机器寿命，而且还会引起机器的振动并产生噪声，影响其工作精度。因此需要研究齿廓曲线与传动比的关系，即齿廓啮合基本定律。

图7－2所示为相互啮合的齿轮，两轮的齿廓曲线分别为1和2。设轮1绕O1点处的轴以角速度ω1转动，轮2绕O2点处的轴以角速度ω2转动，图中K点为两齿廓的接触点，显然，两齿廓在K点的线速度分别为v K1和v K2。

图7－2 齿廓啮合

过K点作两齿廓的公法线N1N2，为保证两齿廓在啮合过程中始终保持接触，即彼此间不发生分离及互相嵌入，应使速度v K1和v K2在公法线N1N2上的分速度相等，即

v K1cosαK1＝v K2cosαK2

或

由此可得两轮的传动比为

过两轮心O1、O2分别作公法线N1N2的垂线，交N1N2于点N1、N2。由几何关系可知， ，，且△O1PN1∽△O2PN2，所以两齿轮的传动比又可写成

上式表明：相互啮合的一对齿轮，在任一瞬时的传动比等于该瞬时两轮连心线被其啮合齿廓接触点的公法线所分割的两段长度的反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

齿廓啮合基本定律表明：齿廓曲线的形状决定接触点处公法线的方向，进而决定公法线与连心线交点的位置，从而影响传动比的大小。要使一对齿轮的瞬时传动比恒定不变，即要求＝常量，因连心线O1O2为定长，则P点必为连心线上一定点。由此可知，满足传动比的齿廓形状必须符合：不论两齿廓在哪一点接触，过接触点的两齿廓公法线必须与连心线交于一定点。该定点P称为节点。分别以O1、O2为圆心，、为半径所作的圆称为两轮的节圆，节圆半径分别以r′1和r′2表示。

由式（7－1）可得ω1r′1＝ω2r′2，即两轮节圆的圆周速度相等。因此，一对齿轮的传动可视为两轮节圆作纯滚动，其传动比等于两轮节圆半径的反比。

一对能满足齿廓啮合基本定律的齿廓曲线称为共轭齿廓。共轭齿廓曲线从理论上讲有许多，但在生产实际中，除满足定传动比要求之外，还能满足使齿轮强度高，寿命长，制造、安装方便及传动效率高等条件的共轭齿廓曲线并不多。目前常用的齿廓曲线有渐开线、摆线和圆弧曲线等，其中渐开线齿廓因易于制造、安装方便，应用最为广泛。

2.渐开线的形成及其特性

如图7－3所示，当一直线在平面上沿半径为rb的圆作纯滚动时，此直线上任一点K的轨迹称为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，该直线称为渐开线的发生线。

由渐开线的形成过程可以知道渐开线具有下列特性。

（1）发生线在基圆上滚动过的线段长度等于基圆上被滚过的弧长，即。

（2）当发生线沿基圆作纯滚动时，N点为渐开线上K点的曲率中心，线段为曲率半径，它和基圆相切，也为渐开线上K点的法线（见图7－3）。由此可见，渐开线上各点的法线必切于基圆。而渐开线上任一点切于基圆的直线必为该点的法线。

（3）渐开线的形状取决于基圆的大小（见图7－4）。基圆半径越小，渐开线越弯曲；基圆半径越大，渐开线越平直；当基圆半径趋于无穷大时，渐开线成为一条直线，渐开线齿轮就变成了齿条，故直线齿廓的齿条是渐开线齿轮的一个特例。

图7－3 渐开线的形成图

图7－4 渐开线的形状与基圆的关系

（4）渐开线上各点的压力角不同。渐开线上任一点K处的法向压力Fn的方向线与该点速度v K的方向线之间所夹的锐角αK称为渐开线上K点处的压力角（见图7－3）。由于∠NOK＝αK，故

由上式可知，渐开线上各点压力角是变化的，离基圆愈远，压力角愈大，基圆上的压力角为零。

（5）基圆内无渐开线。

3.渐开线齿廓啮合特性

1）渐开线齿廓满足定传动比要求

图7－5所示为渐开线齿廓，设主动轮1以角速度ω1顺时针旋转，驱动从动轮2以角速度ω2逆时针转动。一对齿廓在任意点K相啮合，根据渐开线特性，过K点作的公法线N1N2必为两基圆的内公切线，在一对齿廓啮合过程中，无论齿廓在何处啮合（如在P点），由于其连心线O1O2为定线段，而两轮基圆为大小、位置均不变的定圆，它们在同一方向上的内公切线也是唯一的，因此O1O2与N1N2的交点P为定点。

图7－5 渐开线齿廓啮合

故渐开线齿廓满足定传动比要求，即

2）啮合角为常数

一对渐开线齿廓啮合传动时，两齿廓啮合点的轨迹称为啮合线。如图7－5所示，不论齿廓在哪一点啮合，过啮合点的齿廓公法线总是同时与两轮的基圆相切（根据渐开线特性），均为两基圆的内公切线N1N2，这就说明一对渐开线齿轮在啮合传动过程中，其啮合点始终在直线N1N2上，即啮合线为一条定直线。

啮合线N1N2与两节圆的公切线t－t所夹的锐角称为啮合角，以α′表示。由于啮合过程中N1N2和t－t线均不变，故啮合角α′为常数，且恒等于节圆压力角，所以两者用同一符号表示。

综上所述，N1N2线同时有四种含义：两基圆的内公切线；啮合点K的轨迹线——（理论）啮合线；两轮齿廓啮合点K的公法线；在两齿廓之间不计摩擦时的力的作用线。

3）传力平稳性

由N1N2为多线合一可知，当一对渐开线齿轮传递功率一定、两轮转速为定值时，传动力矩为定值。在传动过程中，主、从动轮的齿廓上所受的法向压力的大小和方向始终保持不变。此即渐开线齿轮传力平稳的特性，它对改善齿轮传动的动力特性和提高齿轮传动的承载能力都非常有利。

4）渐开线齿轮具有“可分性”

由式（7－3）可知：渐开线齿轮的传动比取决于两基圆半径的大小，当一对渐开线齿轮制成后，两轮的基圆半径就已确定，即使两轮中心距稍有变化而使节圆半径有变化，但由于两轮基圆半径不变，所以传动比保持不变。这种中心距变化，传动比保持不变的性质称为渐开线齿轮的“可分性”。在实际应用中，这一性质对齿轮的制造和安装都是十分有利的，是渐开线齿廓的一个重要优点。