轴的强度计算

1.轴的基本直径的估算

在开始设计轴时，轴的长度及结构形状往往是未知的，因此不求出支承反力，不画出弯矩图，应力集中情况也不清楚，无法对轴进行弯曲疲劳强度计算，所以常按抗扭强度公式来进行轴径的初步计算，并降低许用切应力来考虑弯矩的影响，以求出等直径的光轴。以该光轴为参考，按轴上零件及工艺要求进行轴的结构设计，得出轴的结构草图，从而确定各轴段的直径和长度、载荷作用点和支承位置等，进而进行轴的强度校核计算。经校核计算，判断轴是否符合强度准则，结构、尺寸是否作必要的修改。初步估算方法如下。

当主要考虑扭矩作用时，由力学知识可知，其强度条件为

式中：τ——扭转切应力（MPa）；

T——轴传递的扭矩（N·mm）；

Wn——轴的抗扭截面模数（mm3）；

P——轴所传递的功率（kW）；

n——轴的转速（r／min）；

d——轴的直径（mm）；

［τ］——轴材料的许用切应力（MPa），查表11－1。

对于实心轴，，故轴的直径为

对于空心轴，，故轴的外径为

式中：γ——空心轴的内径d0和外径d之比，；

A——系数，查表11－3。

表11－3 几种常用材料的［τ］及A值

注 ①表中［τ］值为考虑轴受弯矩影响而降低了的许用切应力。

②当弯矩相对扭矩较小或只受扭矩作用、载荷平稳、无轴向载荷或只有较小的轴向载荷、减速器的低速轴、轴单向旋转时，［τ］取较大值，A取较小值；反之，［τ］取较小值，A取较大值。

轴的强度计算应根据轴上所受载荷类型，采用相应的计算方法。对于仅（或主要）用于传递扭矩的传动轴，应按扭转强度计算；对于既受弯矩又受扭矩的转轴，应按弯扭合成强度计算。

机器传动机构中的轴多数是转轴，其应进行弯扭组合疲劳强度计算。轴的疲劳强度计算时要用到综合系数K和等效系数ψ，这两个系数均与轴的结构和尺寸有关，但这些因素在设计开始时尚不能确定。因此对于要求精确计算的轴，应先对轴进行初步估算，然后进行结构设计，画出轴的结构草图，确定轴的全部结构和尺寸，最后才能进行精确的强度校核。

2.按弯扭合成进行强度计算

对于转轴，当轴的支点和轴上的载荷大小、方向和作用点确定后，即可求出轴的支承反力，画出弯矩图和扭矩图，从而按弯扭合成强度计算、设计轴的直径。

在画轴的计算简图时，首先要确定轴承支反力的作用点。把轴视为一简支梁，作用在轴上的载荷一般按集中载荷考虑，其作用点取零件轮毂宽度的中点。轴上支反力的作用点（滚动轴承或滑动轴承）按有关手册选取。

通常外载荷不作用在同一平面内，这时应先将这些力分解到水平面和垂直面内，并求出各支点的反力，再给出水平面弯矩（MH）图、垂直面弯矩（MV）图，最后再按矢量法（）求得合成弯矩（M）图。

对于实心轴，应按照第三强度理论计算危险截面上弯扭合成的当量应力σ，其强度条件为

由此可得设计公式

式中：d——轴的直径（mm）；

T——轴在计算截面上的扭矩（N·mm）；

M——轴在计算截面上的合成弯矩（N·mm）；

［σ－1］——许用弯曲应力（MPa），查表11－1；

α——根据切应力变化性质而定的修正系数，切应力按对称循环变化时α＝1，切应力按脉动循环变化时，切应力不变时。

如果截面上有键槽，则应根据求得的直径按表11－4所列值增大。

表11－4 轴截面有键槽时轴径的增大值

式（11－3）是在判断最大当量弯矩后，针对危险截面进行计算的。

这种计算方法，在工作应力分析方面是比较准确的，但因应力集中系数、尺寸系数等不可能精确确定，使得许用应力比较保守，但对一般工作条件下工作的转轴已足够精确了。对于受重载、尺寸有限制或重要的轴，应采用更为精确的疲劳强度及安全系数校核。需要时可参考有关资料。

3.轴的强度计算实例

一般轴的强度计算步骤可以总结如下：

（1）选择轴的材料，确定许用应力；

（2）根据式（11－1）估算轴的直径；

（3）对轴进行结构设计；

（4）对轴按弯扭合成进行强度计算；

（5）对轴进行疲劳强度安全系数校核。

图11－16 斜齿圆柱齿轮减速器

例11－1 试设计图11－16所示的单级斜齿圆柱齿轮减速器中的从动轴。已知传递的功率P＝10kW，从动齿轮2的转速n2＝202r／min，分度圆直径d2＝356mm，所受的圆周力Ft2＝2 656N，径向力Fr2＝985 N，轴向力Fa2＝522N，轮毂宽度为80 mm，工作时为单向转动，齿轮1右旋，采用深沟球轴承。

解 （1）选择轴的材料，确定许用应力。

由于要设计的轴是单级减速器的从动轴，属一般轴的设计问题，选用45钢并经正火处理，由表11－1查得硬度为169～217HBS，抗拉强度［σ－1］＝55MPa。

（2）估算轴的基本直径。

由表11－3，取A＝115，根据式（11－1），得

由于有一个键槽，轴径加大3％，即

d＝42.2×（1＋3％）mm＝43.67mm

按照标准轴径，取d＝45mm。

（3）设计轴的结构。

进行轴的结构设计时，应一方面按比例绘制轴系结构草图（见图11－17），一方面考虑轴上的零件的定位和固定方式，逐步定出轴各部分的结构及尺寸。

①确定轴上零件的位置及轴上零件的定位与固定方式。由于采用的是单级齿轮减速器，故将齿轮布置在箱体内壁的中央，两轴承相对齿轮对称布置，轴的外伸端安装联轴器。

齿轮靠轴环和套筒实现轴向定位和轴向固定，靠平键和过盈配合实现周向固定。两端轴承分别靠轴肩和套筒实现轴向定位，靠过盈配合实现周向固定。轴通过两端轴承实现轴向定位。联轴器靠轴肩、平键和过盈配合分别实现轴向定位和周向固定。

②确定轴的各段直径。外伸端直径为45mm。为了使联轴器能轴向定位，在轴的外伸端设计一轴肩，所以通过轴承透盖、右端轴承和套筒的轴段直径取为55mm。考虑到便于轴承的装拆，与轴承透盖毡圈接触的轴段公差带取f7，即比安装轴承处的直径（该处公差带为k6）略小。根据轴承相关计算（参见项目12），选用两个6211型滚动轴承，故左、右两端轴承处轴颈取为55mm。为了便于齿轮的装配，齿轮处的轴头直径为60mm，轴环直径为70mm，其左端呈锥形。按轴承安装尺寸的要求，由于选用6211型轴承，左端轴承处的轴肩直径取为62mm，轴肩圆角半径取为1mm。齿轮与联轴器处的轴环、轴肩的圆角半径均取为1.5 mm。

图11－17 轴系结构草图

图11－18 轴的受力及弯矩、扭矩简图

③确定轴的各段长度。齿轮轮毂跨度是80mm，故取齿轮轴头长度为78 mm。由轴承相关标准查得6211型轴承宽度是21mm，因此左端轴径长度为21 mm。齿轮两端面、轴承端面应与箱体内壁保持一定的距离，故轴环、套筒宽度均取为20mm。根据箱体结构，要求和联轴器距箱体外壁要有一定的距离，穿过轴承透盖的轴段长度取为58mm。联轴器处的轴头长度取为70mm。由图11－17知，轴的支承跨距l＝141mm。

（4）按弯扭合成进行强度计算。

①作出轴的受力图（见图11－18a）。

②作水平平面内的弯矩图（见图11－18b）。

支反力为

截面C处的弯矩为

③作垂直平面内的弯矩图（见图11－18c）。

支反力为

负号说明受力方向与假设相反。

截面C左侧的弯矩为

截面C右侧的弯矩为

④作合成弯矩图（见图11－18d）。

截面C左侧的合成弯矩为

截面C右侧的合成弯矩为

⑤作扭矩图（见图11－18e）。

⑥按弯扭合成进行强度计算。

考虑到减速器单向旋转，故可认为转矩按脉动循环变化，因此取修正系数α＝0.6，由式（11－3），对截面C（因截面C右侧合成弯矩值大，故取右侧的合成弯矩值进行计算）进行强度计算，有

因截面C处轴的实际直径为60mm，故满足强度条件。